東大理系科目 AI解答・シミュレーション

問題・出題の意図・東京大学の解答例（東京大学の公表資料）

東京大学の利用規定について

東京大学は、入試問題と出題の意図・解答の2次利用について「東京大学第２次学力試験入学試験問題等の２次利用について」（令和6年7月1日改定）で条件を定めている。このサイトでの対応は次のとおり。

解答とシミュレーション（AIで作成）

制作

制作：アトリエファクトリー（aTELiER FACTORY） https://atelierfactory.jp/

修正履歴

お知らせ（2026年10月4日）

解答・解説・シミュレーションは、すべて Claude Opus 5.5 で作成しています。作ったあとの確かめ方は、科目によって違います。

どの科目も、東京大学が公表した解答ではありません。くわしくは「問題取得方法と回答生成方法」をご覧ください。

東大の理系の過去問 384問（物理・化学・生物・地学・数学、2003〜2026年）に、AIの解答・解説と動くシミュレーションをつけました。無料・登録なし。

2026年

  1. 第1問力学一輪車のカーブ（車輪つきの棒）一輪車と人を「下の端に車輪のついた棒」と考える。
  2. 第2問電磁気回る棒はコンデンサー磁場の中で、円いレールの上を回る導体の棒を回路につなぐ。
  3. 第3問波動望遠レンズとボケ遠くの物を凸レンズでスクリーンに写す。

2025年

  1. 第1問力学棒の三角形を上から糸で引く3つのおもり A・B・C を3本の棒で三角形につなぎ、A を軸に回れるようにする。
  2. 第2問電磁気磁場の入り口を通りぬける小さなコイル長いソレノイドの半分（x≥0）の入り口を、小さな円いコイル B が一定の速さで通りぬける。
  3. 第3問熱気体のクッションにぶつかる台車熱を通さない容器に閉じこめた気体（1モル）のピストンに、台車がぶつかって押しこみ、はね返される。

2024年

  1. 第1問力学ベルトコンベアの上の物体とばね斜めに置いたベルトコンベアの上で、物体Aをすべらせる。
  2. 第2問電磁気電気を閉じこめた板（エレクトレット）で発電する床の下の板（+Q）と、誘電体の中に埋めた板（−Q）の上に、ばねでつるした金属板がある。
  3. 第3問波動く音源・反射板・うなりで距離と速さを測る一定の速さで動く音源と、止まった反射板。

2023年

  1. 第1問電磁気・原子分裂する原子核を、磁場で選んで電場で飛ばす半減期のある原子核 X（質量 4m・電気 2q）が、A（m・q）と B（3m・q）に分かれる。
  2. 第2問電磁気電気で重さをはかる ― キッブルばかりと量子ホール抵抗滑車でつりあわせた円盤にコイルを巻き、外向きの磁場の中に置く。
  3. 第3問熱・力学つないだ2つの風船 ― 小さい方がしぼむ・温めると内圧が下がるゴム膜の風船は、膜が縮もうとする力（膜張力 σ）のせいで中の圧力が外より高い。

2022年

  1. 第1問力学潮の満ち干の力 ― 地球は回らずに「ゆらゆら」まわる地球の上に置いた物にはたらく力を、簡単なモデルで考える。
  2. 第2問電磁気磁場の帯を通りぬけるコイルの台車長円のレールを走る台車に正方形のコイルを載せ、幅 d のせまい磁場の帯（コイルより細い）を通りぬけさせる。
  3. 第3問熱力学膜で仕切った2種類の気体 ― ピストンに見えない気体 Yシリンダーを膜で上下に分ける。

2021年

  1. 第1問力学ブランコ ― 飛び降りる・立ってこぐ支点から長さ ℓ のブランコに人（点とみなす）が乗ってゆれる。
  2. 第2問電磁気板を差しこんだコンデンサーとコイル平行な2枚の金属板 A・B に電源をつなぐ。
  3. 第3問光・力学光ピンセット ― 光で小さな粒をつかむ屈折率 n>1 の小さな球（粒）を光線が通ると、入るときと出るときに曲がる。

2020年

  1. 第1問力学原点に引っぱられる小球 ― 面積速度とエネルギーの谷平面の上を動く小球と原点を結ぶ線が、同じ時間にえがく面積（面積速度）を考える。
  2. 第2問電磁気磁場の中のレールを走る導体棒 ― 棒はコンデンサー上から下向きの磁場の中で、電池・抵抗とつないだレールの上に導体棒を置いてスイッチを入れる。
  3. 第3問熱おもりの上げ下ろしで、冷たい所から温かい所へ熱をはこぶおもりをのせたピストンつきの容器 X（気体1モル）を、容器 Y（体積一定・1モル）と、温度 (4/5)T_A に保たれた物体 Z の間で行き来させる。

2019年

  1. 第1問力学台車の上のばねと、手のひらに立てた棒台車の上に、ばねでつないだ物体をのせる。
  2. 第2問電磁気少し電気を通す円板を積み重ねる ― 熱の行き先と、交流の橋少しだけ電気を通す材料（誘電率 ε・抵抗率 ρ）を2枚の電極ではさんだ円板は、抵抗 R とコンデンサー C を並べたものと同じ。
  3. 第3問波動曲がった境目の向こうの「見かけの光源」屈折率のちがう2つの物質の境目が、球の一部の形をしている。

2018年

  1. 第1問力学すべる台の上の振り子つるつるの床の上の台に柱を立て、その上の点 P から振り子をつるす。
  2. 第2問電磁気ばねの入ったコンデンサー平行な金属板の間にばねを入れ、下の板だけが動ける。
  3. 第3問熱つながった3本の容器と、温められる気体下でつながった3本の容器に液が入っている。

2015年

  1. 第1問力学ひもでつないだ2つの玉を天井から放す同じ重さの玉A・Bを長さ l のひもでつなぎ、天井に l だけ離して止める。
  2. 第2問電磁気磁場の中の坂のレールを N 本の棒がすべる坂になった2本のレールの上に、同じ棒が N 本ならんでいる。
  3. 第3問熱底のあいた筒に空気を入れて、水に浮かべる底のあいた筒の上のほうに空気（1モル）を入れ、水に浮かべる。

2014年

  1. 第1問力学ばねで坂の上へ打ち出す：一番飛ぶ角度坂の下にばねがあり、小球を押しつけて縮めてから放すと、坂の上の角 A から飛び出して平らな面に落ちる。
  2. 第2問電磁気太陽電池とコンデンサー・抵抗・もう1つの太陽電池太陽電池は、電圧が V₀ までは光の強さで決まる同じ電流 sP を流し、V₀ をこえると電流が r の割合で減る、という性質で考える。
  3. 第3問波間隔の変わるすき間で光を集める（ゾーンプレート）板に細いすき間をたくさん開け、外へ行くほど間隔がせまくなるようにならべる。

2013年

  1. 第1問力学向かい合ったばねの球がぶつかる（摩擦なし・あり）左右の壁からばねでつないだ同じ重さの球を2つ、間を d あけて置く。
  2. 第2問電磁気磁場で粒子を1点に集める（磁場のレンズと電磁石）幅 d の細い帯の中だけに、高さ y に比例する磁場 B = by をかける。
  3. 第3問波動超音波で板の中をさぐる（共振・縦波と横波の反射と屈折）板に縦波の超音波を垂直に入れて、共振する振動数から厚さを知る。

2012年

  1. 第1問力学坂と壁のある床で玉をぶつける高い床Hと低い床Lがなめらかな坂でつながり、Lの東の端に壁がある。
  2. 第2問電磁気ななめの磁場の境目を通りぬける四角い回路1辺 2a の正方形の回路を一定の速さ v で右へ動かす。
  3. 第3問波動・熱気体を入れると干渉の縞が動く（屈折率の測定）二重スリットの片方（S₁）の前の容器に気体をゆっくり入れる。

2010年

  1. 第1問力学宙返りするジェットコースターとぶつかる車両高い坂から車両Aを放し、半径 R の円のレールで宙返りさせる。
  2. 第2問電磁気4つの抵抗の「橋」と、レールの上を走り出す棒電池と4つの抵抗（1・2・3 は R、4 は 3R）とスイッチでできた「橋」の形の回路に、磁場の中の2本のレールをつなぎ、レールに抵抗 R の棒をわたす。
  3. 第3問波動管の中で鳴る音と、自転車のうなり両はしが開いた管と片方が閉じた管の鳴る振動数。

2009年

  1. 第1問力学ばねの上にのせた物体が、飛び出して、またぶつかるたてに立てた管の中で、ばねの上の物体1に、同じ重さの物体2をのせただけにする。
  2. 第2問電磁気磁場の帯の中を落ちるコイル長方形のコイル（高さ a、幅 b、抵抗 R、質量 m）を、厚さ a の水平な磁場の帯の上から落とす。
  3. 第3問熱水を温めてピストンを持ち上げ、冷やして下ろす上が真空のシリンダーに水を入れ、ピストンとおもりでふたをする。

2008年

  1. 第1問力学同じ時間で同じ距離、一番らくな押し方なめらかな床の上の箱を、止まった状態から動かして、ちょうど時刻 T に距離 L の所を通らせる。
  2. 第2問電磁気コンデンサー2つとネオンランプ（とびとびに光る）電圧を変えられる電源に、コンデンサー A と B を1列につなぎ、A と並べてネオンランプをつなぐ。
  3. 第3問熱背の高い容器の気体と、浮かぶ物体とても背の高い容器に気体を入れて温度を一定に保つと、重力のせいで下ほど気体が濃くなる。

2007年

  1. 第1問力学弓でこする弦のモデル（くっつく・すべる）ぴんと張った糸の真ん中に箱をつけると、横にずらした箱は単振動する（バイオリンの弦のモデル）。
  2. 第2問電磁気金属の筒の中をゆっくり落ちる磁石金属の筒の中に磁石を落とすと、途中から一定の速さでゆっくり落ちる。
  3. 第3問波壁のすき間を通る水面の波水面をまっすぐ進む波が壁に当たり、壁のすき間から円い波が広がる。

2006年

  1. 第1問力学・波恒星のふらつきで見えない惑星を見つける（視線速度法）恒星と惑星がおたがいの万有引力だけで回る。
  2. 第2問電磁気9 V の電池とコイルでネオンランプを光らせる80 V 以上でないと光らないネオンランプを、9 V の電池・コイル（1 H、35 Ω）・スイッチの回路で光らせる。
  3. 第3問熱・電子電子線を当てた金属板を、電子と気体の分子が押す力うすい気体の入った容器の中で、つり下げた金属の板に電子線を当てる。

2005年

  1. 第1問力学地球を貫くトンネルに落とした球地球の中心を通るまっすぐなトンネルの入口 A から、小球を静かに落とす。
  2. 第2問電磁気ボタン磁石とアルミ円板のモーター（単極モーター）上が N 極のボタン磁石にアルミ円板を貼り、釘で乾電池の−極につるす。
  3. 第3問原子落とした冷たい原子が二重スリットで作る干渉縞レーザーで冷やした原子の雲を放すと、原子は重力で落ちて L 下の二重スリット（間隔 d）を通り、さらに l 下のスクリーンに当たって光る。

2004年

  1. 第1問力学斜面をすべる三角の台と、その上の小さな物体45° の斜面に、断面が直角二等辺三角形の台 A（質量 M、上の面の長さ d）を置き、上の面の右はしに小さな物体 B（質量 m）をのせる。
  2. 第2問電磁気陽子を電場と磁場で曲げる止まっていた陽子を電圧 V で加速し、長さ l・すき間 2h の平らな板（上 c・下 d）の間に入れる。
  3. 第3問熱面積のちがうピストンでつないだ2つの気体容器1（気体1、1モル、ヒーターつき）と容器2（気体2、1モル）を、左の面が S₀・右の面が 2S₀ のピストン A でつなぐ。

2003年

  1. 第1問力学壁ぎわのばねに C がぶつかる。C はにげきれるか壁にくっついた A（2M）と B（M）がばねでつながって止まっている。
  2. 第2問電磁気とちゅうで交差してつないだレールの上を、2本の棒が走る2本の平行なレールのとちゅうに絶縁体があり、手前の区間（P・Q）と先の区間（P′・Q′）は、導線でたすきがけに（P と Q′、Q と P′）つながっている。
  3. 第3問波水そうの縁ではね返る波と、じっと動かない「節の線」まっすぐな縁の近く（高さ h）で波源 S がゆれ、水面に円い波が広がる。

2026年

  1. 第1問理論水素とエネルギー — 燃やす・作る・電池にする化学結合とエンタルピー、エタノールと水素の燃焼、メタンの水蒸気改質の平衡、ボルタ電池・燃料電池、食塩水の電気分解でできる気体からつくる塩酸、を順に問う小問の集まり。
  2. 第2問無機・理論ゼオライト — 穴のあいた石でイオンを入れかえるSi・Al・O でできた穴だらけの結晶（ゼオライト）が、骨格の負の電荷のぶんだけ陽イオンを穴の中の席に持ち、水の中の陽イオンと入れかえる。
  3. 第3問有機有機化合物の形 — 右手と左手、ねじれ、ひずみ6つの化合物を沸点・臭素・ヨードホルム反応・酸性でふるい分け、不斉炭素が2つある分子の鏡像を探し、C₆H₁₀ のアルキンから始まる反応でシス・トランスと臭素の付き方を追い、不斉炭素のないビフェニルに鏡像ができる理由を問う。

2025年

  1. 第1問理論氷・水・水蒸気 — 状態図で見る物の状態沸点と融点が何で決まるか（分子の間の力・イオンの引き合い・金属の結びつき）から始まり、水の状態図を使って、氷の密度、溶かした物による三重点と沸点のずれ、昇華を使った精製、臨界点の近くの水蒸気、を順に問う小問の集まり。
  2. 第2問理論・無機火山ガスを調べる — 溶かす・分ける・形・水素結合火山ガス（ほとんどが水蒸気で、CO₂・H₂S・SO₂・HCl をふくむ）を、冷やして分けたり、塩基の液やヨウ素の液に通したりして中身を量る話から始まり、炭酸水素カルシウムの溶けやすさ、ヨウ素を使った硫黄の分け方、亜硫酸イオンの形、溶媒の中で水素結合する相手が決まるしくみ（ミセルまで）を問う。
  3. 第3問有機・高分子ペプチド — 並びを決める・つなぐ・右手と左手アミノ酸がつながったペプチドについて、検出のしかた（ビウレット反応）、4 つのアミノ酸の並びを実験結果から決める問題、不斉触媒で右手・左手の片方を多く作るしくみ、保護基を使って ねらった並びだけをつなぐ方法、樹脂ビーズの上で伸ばす固相合成、を順に問う。

2024年

  1. 第1問有機水を抜くと、止まっていた反応が最後まで進むシュウ酸とエタノールからエステルを作る実験で、ふつうの装置では途中で止まるが、できた水を液だめに抜き取る装置にするとほぼ全部進む。
  2. 第2問無機・理論溶けにくさが平衡を引っぱる — クロム・銀・金両性金属（Zn・Sn・Pb）のイオンの反応、二クロム酸イオンとクロム酸イオンの平衡と鉛の沈殿、ヨウ素を使った過マンガン酸カリウムの濃度決定。
  3. 第3問理論溶けた気体を追い出す・pH を保つCO₂ を溶かした水から CO₂ を追い出す3つのやり方（ピストンを引いて気体の部屋をつくる／アルゴンを入れる／温める）を、ヘンリーの法則と気体の式で比べる。

2023年

  1. 第1問有機1680 通りの候補を実験でしぼると 1 つになる／いす形はゴーシュの数で比べる前半は、黒田チカが調べた色素に似た化合物 A（分子量 272）を、燃焼・亜鉛末蒸留・オゾン分解・ヨードホルム反応などの結果から決める。
  2. 第2問無機・理論HF は濃くすると 2 つ目の平衡が効く／Al は pH 7 でいちばん沈む／すべる面が 4 つある Al前半はフッ化水素：沸点の順、ガラスとの反応、二量体と凝固点降下、フッ化水素酸の 2 つの平衡（HF の電離と HF₂⁻ ができる反応）から [H⁺] と [HF] の関係を考える。
  3. 第3問理論吸着で触媒の表面を数える／浸透圧で粒の大きさを量る前半は先生と生徒の会話で、アンモニア合成の平衡移動と、触媒の表面積を気体の吸着量から求める方法（N₂ は一層で可逆に吸着、H₂ は金属の上で原子に分かれて離れない）を考える。

2022年

  1. 第1問有機油の形と、水をつけて外すアルケンは、グリセリンに脂肪酸が 3 本ついた油脂 A を、加水分解・水素の付加・オゾンで二重結合を切る実験から決める。
  2. 第2問理論アンモニアを燃やすと CO₂ は減るか — と、青い結晶のすき間は、石炭・天然ガス・アンモニアを燃やして同じエネルギーを得るときの CO₂ の量を、生成熱から比べる。
  3. 第3問理論CO₂ を深海に沈める — と、抗体がつかまえる速さは、酸化鉄を CO で 3 段階に還元して鉄をつくるときの CO₂ の量と、回収した CO₂ を海に放したときに気体・液体のどちらで、浮くか沈むかを、水深による圧力と CO₂ の状態図から考える。

2021年

  1. 第1問有機実験で形をしぼる・窒素の目じるし：炭素6・水素12・酸素1（C₆H₁₂O）で、不斉炭素を1つだけもつ6つの化合物A〜Fを、ナトリウム・水素の付加・酸化・ヨードホルム反応・オゾン分解の結果から1つずつ決める。
  2. 第2問理論水素をためる物質・アミノ酸と酵素：水素を吸う物質 X が入ったピストン付きの容器を 527 ℃ で押し縮める。
  3. 第3問理論銀の滴定・水素をためる合金：塩化物イオンの水に、目じるしのクロム酸イオンを入れて硝酸銀を落としていく（モール法）。

2020年

  1. 第1問有機糖と、セルロースからできる物 — 数と手がかりで形をしぼる：燃やした量と分子量から天然物 A の分子式を決め、加水分解でできる B・C と、2 種類の酵素で切れる・切れないの結果から、糖のつながり方（α か β か）と A の形を決める。
  2. 第2問理論・無機アルゴンの発見と、分子の形・結晶：空気から CO₂・O₂・H₂O を順に取りのぞいた気体が、化学反応で作った N₂ よりわずかに重いことから Ar を見つけた話。
  3. 第3問理論トロナ鉱石の滴定と、マグマ・火山ガス：炭酸ナトリウム・炭酸水素ナトリウム・水和水からなるトロナ鉱石を塩酸で 2 段階に滴定し、反応式・途中の pH・組成・はじめの pH・血液の緩衝作用を問う。

2019年

  1. 第1問有機フェノールから薬と樹脂 — つく場所で決まるフェノールのベンゼン環のどこに置換基をつけるかを決めながら、8つの実験で薬に関係する化合物 E（4-アセトアミドシクロヘキサノン）まで作る。
  2. 第2問無機・電気化学リン・燃料電池・銅と鉄 — 電子の数で全部決まる：リン酸カルシウムから黄リンを取り出す反応を2段に分け、十酸化四リンの形、リン酸を電解質にした燃料電池の電極の反応・電力量・発電効率を問う。
  3. 第3問理論ヨウ素の滴定とペロブスカイト — 引き算と大きさ合わせ：ヨウ素とヨウ化カリウムの溶液をチオ硫酸ナトリウムで滴定する。

2018年

  1. 第1問有機輪になったペプチドの正体さがし — 36 通りから 1 つへ2つのアミノ酸がつながって輪になった分子（ジケトピペラジン）A〜D について、側鎖の候補 ①〜⑧ の中からどれとどれでできているかを、分解・ナトリウムで溶かす・濃硝酸・塩化鉄・過酸化水素・臭素・燃焼・電気泳動の9つの実験で決める。
  2. 第2問無機・理論金属の酸化物 — 結晶の大きさ・さびの体積・アルミニウムの電気分解Mg・Al・Ca・Ba の酸化物について、つくり方の反応式、NaCl 型の結晶の大きさと融点、アルミが酸化されたときの体積の変わり方、アルミの錯イオンの形、ボーキサイトからの精製と、炭素の電極を使ったアルミの融解塩電解で出る CO と CO₂ の量を問う。
  3. 第3問理論アンモニアの pH の変化 ／ メタンとメタノール塩酸 2.0 L にアンモニアの気体を 40 分間溶かし続け、そのあと水酸化ナトリウム水溶液を 40 分間落とす。

2015年

  1. 第1問理論ドライアイスの圧力と、酢酸の pH：閉じた容器にドライアイスを入れて温め、CO₂ の状態図を見ながら、残る固体の量や圧力を求める。
  2. 第2問無機・理論銅の酸化物をヨウ素で数える・ハロゲン：銅の粉を空気中で熱して CuO にし、さらに高温で一部を Cu₂O に変えた固体A をつくる。
  3. 第3問有機二重結合を作って、切って、しぼりこむ：アルコールから水をとって二重結合をつくり（反応1）、過マンガン酸カリウムで二重結合を切る（反応2）。

2014年

  1. 第1問理論水素を燃料にする — 熱・しまい方・反応の道すじ水素を燃料にするときの話。
  2. 第2問無機・理論電子のやりとりを数える・溶けやすさは引き算で決まるはクロムとマンガンの化合物の実験 3 つ：二クロム酸カリウムで 2-プロパノールを酸化してアセトンを集める、過酸化水素を酸化マンガン(Ⅳ)で分解する、硫化鉄(Ⅱ)の純度を過マンガン酸カリウムの滴定で求める。
  3. 第3問有機・高分子糖の形を読む・つなぎ方を数える・ナイロンの長さはグルコース：水の中で環の形が入れかわること、還元のしかた、1→4 と 1→6 でつながった五糖を単位にしたポリマー P1 を酵素で切ったときの銀の量、条件を満たす五糖の数。

2013年

  1. 第1問理論中和滴定の液をつくる・はかる ／ ファントホッフの箱：空気中の CO₂ を吸う水酸化ナトリウムから、炭酸を取りのぞいた液をつくり、アミド硫酸で濃さを決め、酢酸を滴定する。
  2. 第2問無機・理論金属を取り出す・元素のすがた：金と銀を酸で分け、8-キノリノールでインジウムを有機溶媒へ抜き出し、不純物（Al・Ag・Fe）を含む粗銅を電気分解で精錬する。
  3. 第3問有機・高分子・生命航空宇宙のポリマー ／ うま味とアドレナリン：テトラメチルベンゼンの 1 つを酸化して酸無水物 M1 をつくり、ジニトロ化合物を還元したジアミン M2 と重合させ、加熱して N に H の残らないポリマー P（ポリイミド）をつくる。

2012年

  1. 第1問理論食塩水が凍るまで・大きな分子の浸透圧：食塩（NaCl）が水にとけるしくみと、食塩水をゆっくり冷やしたときの温度の変わり方（冷却曲線）を問う。
  2. 第2問理論・無機イオンの大きさ・格子エネルギー・錯体の形：NaCl と CsCl の単位格子の大きさから Na⁺ の半径を出し、金属ナトリウム（体心立方）の原子の半径とくらべる。
  3. 第3問有機チロキシンの合成・鏡の中の分子・炭素3つの化合物：アミノ酸のチロシンから、9 回の反応で甲状腺ホルモンの L–チロキシンをつくる道すじ。

2010年

  1. 第1問理論燃える氷と、酵素の「席」 — メタンハイドレートの燃焼と酵素反応の速さ：メタンと水が氷のかごのような固体（メタンハイドレート 4CH₄·23H₂O）になる反応について、できやすい条件、燃やしたときの熱の式、閉じた容器で燃やした後の水の量と圧力を問う。
  2. 第2問理論・無機リチウムの行き来と、正方形の形の数 — リチウムイオン電池とパラジウムの錯イオン：リチウムイオン電池で、充電すると Li が黒鉛の層のあいだに入り（化合物 X）、放電すると正極の LiCoO₂ にもどる。
  3. 第3問有機候補しぼりと、分液漏斗のリレー — C₄H₆O₅ の構造決定と向流分配：果汁の酸味成分 A（C₄H₆O₅）の構造を、滴定・金属ナトリウム・酸化・脱水の4つの実験で、候補を 5 → 3 → 2 → 1 としぼって決める。

2009年

  1. 第1問無機・理論鉄のさび・火星の水・プラスチックの燃える熱前半は、鉄が水と酸素で Fe(OH)₂ → Fe(OH)₃ → FeO(OH)・Fe₂O₃ とさびていく道すじと、火星のうすい酸素が水にとける量。
  2. 第2問無機・理論ガラスの中の金属をより分ける・同位体で数えるPb²⁺・Cu²⁺・Fe²⁺・Na⁺ をふくむガラスを溶かし、Pb は硫酸鉛、Cu は酸性での硫化物、Fe は水酸化物として順に取りのぞき、最後に残った Na⁺ を陽イオン交換樹脂で H⁺ に変えて滴定で数える。
  3. 第3問有機同じ C₈H₁₂O₄ から形をしぼる・結合を回して見る分子式が同じ C₈H₁₂O₄ の 4 つのエステル A〜D を、環の大きさ・不斉炭素・加水分解でできる物などの手がかりから決める。

2008年

  1. 第1問理論熱を「長さ」ではかる — 氷熱量計とボタン電池氷と水が入った容器の中で反応させると、出た熱で氷が融け（吸った熱なら水が凍り）、体積の変化が細い管の水面の上下になって見える。
  2. 第2問理論と無機ヨウ素はどこへ行く？ — 水・KI 水・四塩化炭素、そして NOx水にほとんど溶けないヨウ素が、ヨウ化物イオンがあると三ヨウ化物イオンになってよく溶けること、水と四塩化炭素のあいだでヨウ素がどう分かれるかを、平衡の式で計算する。
  3. 第3問有機候補をしぼる — 16 個の酢酸エステルと、6 つの酵素の流れ作業前半は、分子式が同じ 12 個の酢酸エステル A〜L を、元素分析・重水素の付き方・分けたときにできる物・不斉炭素・シス/トランスなどの手がかりで1つずつ決める。

2007年

  1. 第1問理論水にとけた粒は いくつに見えるか — アレニウスの電離説アレニウスの論文（1887年）の要約を読んで答える問題。
  2. 第2問無機・理論銅のめっきとゼオライト — 数の勘定で決まる形はホルムアルデヒドで銅イオンを銅にもどす「無電解めっき」。
  3. 第3問有機条件を 1 つずつ入れて しぼりこむ — エステルとペプチドは同じ分子式をもつ 3 つのエステルを、燃やしてできる水と二酸化炭素の重さ、分液漏斗での分け方（アルコール・フェノール・カルボン酸）、ヨードホルム反応・水素での還元・酸化の結果から決める。

2006年

  1. 第1問理論ファラデーのロウソク — 燃やすと重くなる？軽くなる？ファラデーの講演「ロウソクの化学」の文章を読み、炎の光の正体、ロウを燃やしてできる水の量、石灰石から二酸化炭素を取り出す方法、表の重さからの分子量を答える。
  2. 第2問無機・理論ケイ素の結晶・うすい膜・岩石の分け方半導体用の純粋なケイ素のつくり方と、リンを少し混ぜたケイ素の膜を基板の上に積もらせる話。
  3. 第3問有機手がかりで形をしぼる — C₃H₈O₂ と C₆H₁₂分子式 C₃H₈O₂ の 3 つの化合物を、ナトリウムで出る水素の量、ヨードホルム反応、酸化してできる酸の分子式、エステルかどうか、で 1 つずつ決める。

2005年

  1. 第1問理論水面にうかぶ1層の膜と、光を吸う気体：水面を板で仕切り、長い鎖のカルボン酸を1層だけ広げる。
  2. 第2問理論・無機川の水の汚れをはかる・アルミニウムを電気で取り出す：川の水に過マンガン酸カリウムを多めに入れて汚れ（有機物）を酸化させ、残りをシュウ酸で消し、余ったシュウ酸を滴定する。
  3. 第3問有機エステルの平衡と、C₇H₆O₂ の仲間を見分ける：プロピオン酸とエタノールのエステル化は平衡で止まる。

2004年

  1. 第1問理論押しつぶした酸素 と 白金の上でできる水：ダイヤモンドで酸素を百万気圧近くまで押しつぶす装置。
  2. 第2問理論結晶の中の「酸素の空き」と、ヨウ素で数える銅の電荷：ホタル石型の ZrO₂ に CaO を混ぜると、電荷をつりあわせるために O²⁻ の席に空きができ、O²⁻ が動けるようになる。
  3. 第3問有機・高分子ポリスチレンの分子量・アミノ酸の分け方・C₄H₁₀O の 8 つ：スチレンの重合で炭素のまわりの角がどう変わるか、半透膜の U 字管の液面の差からポリスチレンの分子量を出す、橋かけしたポリスチレンが溶けない理由、イオン交換樹脂で 3 つのアミノ酸が出てくる順。

2003年

  1. 第1問理論空のオゾンと、水素の電池高さ 30 km の空で、オゾンが紫外線でこわれて酸素原子ができ、その酸素原子がすぐ酸素分子とくっついてオゾンにもどる。
  2. 第2問理論・無機滴定で量をはかる — 窒素・シュウ酸・硫黄食品などの窒素を硫酸でアンモニウム塩にし、水酸化ナトリウムでアンモニアを追い出して塩酸に吸わせ、残った塩酸を滴定して窒素の量を出す（逆滴定）。
  3. 第3問有機炭素の形 — サッカーボール分子と、鏡に映した分子サッカーボールの形をした炭素の分子 C₆₀ の二重結合の数、ベンゼンの形、炭素の単体、C₆₀ にメトキシ基を付けた分子の数 n を凝固点降下で決める。

2026年

  1. 第1問生物・遺伝子の発現栄養で切りかわる mRNA の量 — 分裂酵母の遺伝子 N分裂酵母は、栄養が多いときは体細胞分裂で増え、栄養が切れると減数分裂に切りかえる。
  2. 第2問生物・進化と発生と生態棘と毛 — なくした回数・遺伝子の場所・毛の並び・多数派が損をするしくみはナス属の棘（とげ）。
  3. 第3問生物・動物の発生マウスの初期胚 — 表面にいるか内部にいるかで決まる細胞の運命は東京大学が公開した PDF で黒く塗りつぶされていて読めないため扱えない（ページ p60〜p64）。

2025年

  1. 第1問生物・動物の行動と遺伝子線虫の塩の好き嫌い — 同じ遺伝子から作る受容体のちがい線虫はえさといっしょに感じた塩の濃さに集まり、えさが無いと同じ濃さを避ける。
  2. 第2問生物・植物の生殖と遺伝雌花・雄花・両性花 — 性を決めるスイッチと、雄株が生き残るわけメロンでは G・M・A の3つの遺伝子が、めしべ・おしべを作るかどうかを抑え合いのしくみで決める。
  3. 第3問生物・生態系川の魚とダム — 競争・遺伝的多様性・つながった食物網生態的地位の近い2種の淡水魚が川の下流と上流にすみ分けている。

2023年

  1. 第1問生物・細胞周期とDNA修復DNA の傷と細胞周期 — 止める・直す・分ける遺伝性の乳がん・卵巣がんに関わるタンパク質 X と Y のはたらきを調べる。
  2. 第2問生物・植物の物質輸送と窒素同化糖の行き先と窒素 — 実のなり方は1年おきにゆれる葉（ソース）でつくられた糖は、師管を通って果実や根（シンク）へ運ばれる。
  3. 第3問生物・遺伝子の発現と免疫血液型の酵素とウイルスのペプチド — 1文字のちがい・1文字のずれ文1：ABO 式血液型を決める糖転移酵素は、A 型と B 型で4か所のアミノ酸がちがう。

2022年

  1. 第1問生物・動物の反応と行動光で記憶をよび起こす — 記憶の細胞の「組み合わせ」と「頻度」光で開く通り道（チャネルロドプシン）を、恐怖の記憶をつくったときに強く興奮した海馬の細胞にだけ作らせたマウスで、青い光を当てると別の部屋でもすくむかを調べる。
  2. 第2問生物・代謝と植物の環境応答昼と夜で切りかえる光合成 — 酵素のスイッチ・気孔・夜の節約・膜の脂質光合成生物は、昼は光合成を進め、夜は光合成の酵素を止めたり mRNA を消したりして、昼夜の切りかわりに合わせて自分を調節している。
  3. 第3問生物・発生と細胞間の情報伝達引っぱられて伝わるノッチ — エンドサイトーシスと DNA の紐神経幹細胞が一度にニューロンになってしまわないよう、となりの細胞のデルタタンパク質が受け手の細胞のノッチタンパク質を活性化する（ノッチシグナル）。

2020年

  1. 第1問生物・遺伝子の変異とがんつながった遺伝子と白血病 — 読みわく・PCR・薬が効かない細胞染色体の一部が入れかわって遺伝子 X と Y がつながった融合遺伝子 X–Y が白血病を起こす。
  2. 第2問生物・植物の環境応答と種間関係寄生植物ストライガ — 作物の合図を盗み、気孔を閉じずに水を奪うソルガムなどの作物は、リン酸や窒素が足りないと化合物 S を土に出して菌根菌を呼ぶ。
  3. 第3問生物・動物の系統と進化動物の系統と体のつくり — 口と肛門、どちらが先にできるか動物の系統樹の枝に「左右相称」「体腔の獲得」などの出来事を書き入れ、胚葉の数や、原口が口になるか肛門になるか、棘皮動物の育ち方から、どの仲間かを考える。

2019年

  1. 第1問生物・発生となりどうしで決める細胞の運命 — 線虫の2つの細胞と卵を産む穴線虫の生殖腺原基の A 細胞と B 細胞は、同じ細胞なのに必ず1つが C 細胞、もう1つが D 細胞になる。
  2. 第2問生物・代謝光合成の限界と、光化学系Ⅱ の修理 — 何が速さを決めているか葉の光合成の速さは、弱い光では光（ATP・NADPH の供給）で、強い光では酵素の量と CO2 の入りやすさで頭打ちになり、呼吸は酵素の量に比例する。
  3. 第3問生物・進化環境で変わる形と、その「変わり方」の進化 — 表現型可塑性生き物の形は遺伝子だけでなく環境でも変わる（表現型可塑性）。

2018年

  1. 第1問生物・遺伝子の発現つなぎ方で変わる mRNA — 読み枠・1文字の変化・リードの数え方は、1つの遺伝子からエキソンのつなぎ方を変えて何種類もの mRNA を作る「選択的スプライシング」。
  2. 第2問生物・免疫と進化うつる腫瘍 — タスマニアデビルの泳動像・目印（MHC）を隠す細胞・生息数タスマニアデビルの顔にできる悪性腫瘍を調べる。
  3. 第3問生物・植物の環境応答植物と温度 — 冬を覚える細胞・光の受容体が温度計になるは、冬の低温を経験してはじめて花芽をつけられるようになる「春化」。

2015年

  1. 第1問生物・恒常性水と塩をどれだけ取りもどすか ／ 仔が死ぬのはだれの遺伝子のせいか文1：ヒト・淡水魚・海水魚の腎臓について、ろ過する量、尿量とろ過量の比、Na+ の排出量とろ過量の比、尿と血しょうの浸透圧の比を並べた表から、細尿管で水と Na+ をどれだけ取りもどしているかを読む。
  2. 第2問生物・植物の生殖自分の花粉をことわるしくみ ／ 花粉管は何本入るか文1：アブラナ科の植物は、花粉のタンパク質 X と柱頭の受容体 Y が同じ株のタイプだと結合し、花粉の発芽を止めて自家受精を防ぐ。
  3. 第3問生物・生態系木はためこみ、草は入れかわる ／ バスを除くとトンボが減る？文1：森林・草原・湖沼で、純生産量・現存量・消費者に食べられる割合がどう違うかを考える。

2014年

  1. 第1問生物・動物の発生と遺伝胎盤と「父から来たか・母から来たか」 — 酸素の受けわたしとゲノム刷り込みほ乳類の胎仔は胎盤で母の血から酸素を受け取る。
  2. 第2問生物・植物の窒素同化と根粒窒素の行き先と、根粒を数える植物 — 全身で数えて全身で止める植物は土の中の NH4+ や NO3− を吸って、グルタミン合成酵素で窒素を有機物に取りこむ。
  3. 第3問生物・細胞周期と遺伝子のはたらき細胞周期の見張り役と、酵素のスイッチ — 止めて直す・外して動かす細胞は DNA が傷つくと G2 期で止まり、複製でできたもう一組を手本に直してから分裂する。

2013年

  1. 第1問生物・動物の系統と性の決まり方メダカの性と色の遺伝子 — 系統樹・組換え・性を先に見分ける文1は動物の生殖と性の決まり方（系統樹とホルモン）。
  2. 第2問生物・植物の環境応答と光合成気孔が開く・閉じる・並ぶ — 水・熱・並び方・光合成文1は気孔の開閉。
  3. 第3問生物・遺伝子と進化ダックスフントの短い脚 — mRNA から戻ってきた遺伝子文1は RNA から DNA をつくる逆転写と、ゲノムの中で広がるレトロトランスポゾン。

2012年

  1. 第1問生物・発生カエルの胚 — 背と腹を決める A・B と、横に集まって縦に伸びる中胚葉アフリカツメガエルの胚では、受精後に背側化因子が表層の回転で移動し、A タンパク質が背側でだけはたらいて背側（形成体）ができる。
  2. 第2問生物・遺伝と植物イネの品種改良 — 胚乳の遺伝子の組（3n）と、戻し交配・遺伝子を入れたイネコシヒカリに、病気に強い（品種 A）・米の粘りが強い（品種 B）・草丈が低い（品種 C）という性質を1つずつ加えた3品種を交配して、性質の遺伝のしかたと、3つを兼ね備えた株を作る道すじを考える。
  3. 第3問生物・生態と進化山の上下に動く森 — ルリクワガタの境目と、オオシラビソのいない山第四紀の寒冷期と温暖期のくり返しで、生物の分布は山の上下に動いてきた。

2010年

  1. 第1問生物・免疫抗体 — くじ引きで作る多様性・記憶・つながった Fab と Fc抗体（IgG）は重鎖2本と軽鎖2本でできたY字の分子で、先の Fab で抗原と結合し、根もとの Fc でマクロファージなどの受容体と結合する。
  2. 第2問生物・遺伝子の発現と形づくり遺伝子のスイッチ — 暗号表・花の ABC・動く花成ホルモン文1は、遺伝子突然変異が表現型を変えるしくみと、シロイヌナズナの花の4つの器官（がく・花弁・おしべ・めしべ）が3つの調節遺伝子 A・B・C の組み合わせで決まるしくみ（ABC モデル）。
  3. 第3問生物・神経目と脳 — 頭が回っても視線がぶれない回路・ゆがんだ視覚野の地図文1は、頭が不意に回ったとき、内耳の感覚器が回転を感じ、脳幹の神経核 A（前庭神経核）→ B（外転神経核）→ C（動眼神経核）→ 眼の筋肉 と信号が伝わって、眼を頭と逆向きに回す反射（前庭動眼反射）の回路（図3—1）。

2009年

  1. 第1問生物・発生母親から卵へのおくりもの — 母性効果因子卵の中には、母親の遺伝子から作られた mRNA があらかじめ入れてあり、受精後にタンパク質になって胚の発生を動かす（母性効果因子）。
  2. 第2問生物・植物の環境応答植物は重力をどう感じるか — オーキシンとアミロプラスト植物を横にたおすと茎は上へ、根は下へ曲がる。
  3. 第3問生物・遺伝と進化遺伝子に書かれた歴史 — ミトコンドリア DNA と ABO 式血液型ミトコンドリア DNA は母親からだけ子に伝わり、組換えも起きないので、祖先をさかのぼって集団の関係を調べるのに向いている。

2008年

  1. 第1問生物・細胞分裂と遺伝細胞分裂のしかけと染色体地図 — 引っぱり合い・中心体・乗換えの数え方体細胞分裂では、姉妹染色分体の動原体が両極から引かれて張力がつり合うまで、細胞が分裂中期で待つ。
  2. 第2問生物・恒常性腎臓のろ過・再吸収・分泌 — 尿の数字から体の中を逆算する水を飲むと血しょうがうすまり、視床下部がそれを感じて脳下垂体後葉からのバソプレッシンを減らし、尿がふえて元にもどる。
  3. 第3問生物・呼吸と窒素の循環硝化細菌・脱窒素細菌と水田 — 酸素があるか無いかで、窒素の行き先が変わる硝化細菌はアンモニウムイオンを亜硝酸イオン、硝酸イオンへと酸化して ATP を得る化学合成細菌で、1段目の反応には酸素分子そのものが材料として要る。

2007年

  1. 第1問生物・動物の反応と調節心臓のリズムと血液の流れ — ペースメーカー・自律神経・心室中隔の穴マウスの心房と小腸の筋肉を取り出して、液の中で縮む様子を記録する。
  2. 第2問生物・植物の物質の移動イネの葉のソースとシンク — 1枚の葉の一生と窒素の使い回し植物の体の中では、物を出す側（ソース）と受け取って使う側（シンク）が分業している。
  3. 第3問生物・遺伝と進化遺伝病の家系と分子進化 — 伴性遺伝・系統樹・3文字目の置換親から子へ伝わる遺伝子と、長い時間の中で遺伝子が変わっていく進化の両方を考える。

2006年

  1. 第1問生物・細胞細胞の中の運び屋 — イントロン・リボソームの材料・分泌の通り道真核細胞の中で、タンパク質や RNA がどこで作られ、どこへ運ばれるかを考える。
  2. 第2問生物・光合成と生態系光から有機物へ — 水1分子の値打ち・葉の並び方・何年で入れかわるかは光合成のエネルギーの流れ。
  3. 第3問生物・遺伝と進化マラリアとハマダラカ — うつさない蚊の遺伝子と、かま状赤血球が残るわけマラリア原虫は、ハマダラカの体内でオーシストを作り、吸血でヒトやネズミにうつる。

2005年

  1. 第1問生物・細胞と分裂標識した細胞の群れを追う — 細胞周期の長さと DNA の複製文1は体細胞分裂の進み方と、動物と植物の細胞のちがい。
  2. 第2問生物・植物の進化と生活環コケと葉緑体 — 葉のつくり・光への曲がり方・葉緑体の遺伝文1はゲノムの比較で調べる植物の系統と、葉緑体の起源（シアノバクテリアとの関係）。
  3. 第3問生物・遺伝と発生三毛猫と X 染色体 — 同じ遺伝子でも同じ模様にならない文1は左右の眼の情報が脳でどう合わさるかと盲点。

2004年

  1. 第1問生物・植物の細胞植物細胞をばらす・まぜる・運びこむ — プロトプラスト・体細胞雑種・葉緑体への輸送植物の細胞から細胞壁を取りのぞいたプロトプラストを作り、2種の植物のプロトプラストを融合させて体細胞雑種を作る。
  2. 第2問生物・感覚と遺伝苦味を感じるマウス・感じないマウス — 2本のびん・交配・受容体・染色体マウスに味のついた水と蒸留水の2本のびんを与え、どちらをどれだけ飲むかで味を感じているかを調べる。
  3. 第3問生物・遺伝子の本体と進化DNA を写す・RNA から戻す・偶然で広がる — 複製・逆転写・遺伝暗号・遺伝的浮動DNA は糖（デオキシリボース）・リン酸・塩基でできていて、新しいヌクレオチドは 3′ 末端にしかつかない。

2003年

  1. 第1問生物・動物の行動と進化鳥の「さがす目じるし」— ニワトリの米粒・ルリカケスのガ・オオシモフリエダシャク文1は、背景と同じ色の餌を鳥が見つけにくいこと、同じ種の獲物が続くと見つけ方（探索像）を覚えることを、ニワトリとルリカケスで調べる。
  2. 第2問生物・植物の環境応答と発生花を咲かせる時期と花の形 — 夜の長さ・冬の記憶・ABC の遺伝子文1は、花をつける時期を決める3つの道（ジベレリン・日の長さ・低温）と、光で決まる発芽の話。
  3. 第3問生物・遺伝子と細胞がん遺伝子とがん抑制遺伝子 — ras の1文字・Rb の2段階ヒット・4分子の p53文1は、がん原遺伝子 ras（1つに異常が起きれば活性化してがん化を進める）と、がん抑制遺伝子 Rb（2つともこわれて初めてがん化する）の話。

2026年

  1. 第1問宇宙遠ざかる銀河と、小さな天体の重力問1は、同じ方向に見える2つの銀河の赤方偏移とIa型超新星の明るさから、距離・ハッブル定数・宇宙の年齢を考える。
  2. 第2問大気と海洋雲の放射と、暖かい水の渦問1は、熱帯・亜熱帯・中高緯度の雲の模式図から、ハドレー循環と水蒸気の運ばれ方、雲の頂上から宇宙へ出る放射、温暖前線の雲、降水の潜熱による大気の加熱を考える。
  3. 第3問固体地球と地質地下を伝わる波と熱、水の流れと粒問1は、マグマが運んできた3種類の岩のかけらで、密度・地震波の速さ・熱の通しやすさを測り、地震の観測や掘った穴の温度とあわせて、地殻の厚さと地下から出てくる熱を求める。

2025年

  1. 第1問宇宙銀河の回転と、火星から地球の軌道を測る問1は、北銀極から見た銀河系の回転の模式図と、銀河面に沿った中性水素の電波の観測図から、太陽の1周の時間・視線速度の式・銀河系の回る向きを考え、星間塵で暗くなった星の減光の量を求める。
  2. 第2問大気と海洋気圧と風、塩からい縁海問1は、気圧が「上にある空気の重さ」であることから、冬の季節風の向き、大気の質量、冬に偏西風が強まるわけ、上空の気圧の谷が地上の低気圧からずれる向き、台風が発達するわけを考える。
  3. 第3問固体地球海嶺の地震と、重くなるプレート問1は、プレート境界の種類と地震の型、海嶺軸をつなぐトランスフォーム断層で起きる地震の P 波の初動、海嶺から離れて冷えた海洋プレートの密度をアイソスタシーから求め、沈み込みとの関係を考える。

2024年

  1. 第1問宇宙星団の年齢と、太陽風のとどく所問1は、年周視差の分かった2つの星団のHR図から、距離・最も明るい主系列星の光度と質量を求め、星団の年齢と種類（散開星団か球状星団か）を考える。
  2. 第2問大気と海洋雪になる氷晶と、北太平洋をめぐる海流問1は、水滴と氷晶が共存する雲の中で、氷と水の飽和水蒸気圧の差によって氷晶が育ちながら落ちるようすを式で追い、材料になる水滴の数と、氷晶核が多いときの違いを考える。
  3. 第3問地震と地質沈み込み帯の地震の波と、ななめの地層問1は、沈み込み帯の断面で起きた 3 つの地震（陸のプレート内の正断層 L、プレート境界 M、沈み込むプレート内 N）について、2 層の地下を伝わる P 波の走時と、観測点ごとの初動の押し引きを考える。

2023年

  1. 第1問宇宙連星の重さと、超新星の広がり問1は、明るい恒星Aのスペクトルしか見えない連星について、ピーク波長から表面温度を、ドップラー効果で測った公転の速さとケプラーの第3法則から2つの星の質量を求め、暗い恒星Bの一生を考える。
  2. 第2問大気と海洋夏の高気圧、雲のでき始め、潮と黒潮問1は、北半球の海面気圧の図から季節を見分け、カリフォルニア沖の点Aの風とエクマン輸送、そこでできる逆転層を考え、さらに2つの空気塊を持ち上げたとき、どちらが先に浮力を得るかを飽和水蒸気圧の表から計算する。
  3. 第3問固体地球重力の面（ジオイド）と、火山の調査問1は、ジオイド（重力の位置エネルギーが等しい面）の世界地図と平均海水面、人工衛星で測ったアマゾン盆地のジオイド高と降水量の季節変化、グリーンランドの氷床がとけたあとの地殻の上下を考える。

2022年

  1. 第1問宇宙星の明るさと、木星・水星の軌道問1は、シュテファン・ボルツマンの法則から恒星の光度・見かけの明るさ・面輝度（空の上の単位面積あたりの明るさ）を出し、食連星の2つの食の深さの違いと、星の円板の周辺が暗く見える理由を考える。
  2. 第2問大気と海洋等圧面のすき間と風、津波とうねり問1は、等圧面の間隔から気温の高い所を読み、夜の海陸風と南半球の地衡風の向き、摩擦があるときの風速、地上の風向から低気圧の位置と上空の偏西風波動の形、その熱を運ぶはたらきを考える。
  3. 第3問地震と地質地震の速報・動く震源と、海から来た岩問1は、1点の観測点で震源を決めて緊急地震速報を出すとき S 波に間に合わない地表の範囲と、断層の上を動く震源による初動の向き・揺れの継続時間を考える。

2021年

  1. 第1問宇宙天体までの距離と、彗星のガス問1は、金星の太陽面通過を地球の2か所から撮って太陽までの距離を出す方法と、Ia型超新星の明るさから遠い銀河までの距離を出す方法を考える。
  2. 第2問大気と海洋山を越える風と、海面の坂問1は、上昇する空気塊の温度の下がり方（乾燥断熱減率・湿潤断熱減率）から、大気の安定・不安定、積乱雲のできやすさ、逆転層、山を越える風（フェーン）の温度を考える。
  3. 第3問固体地球地球の形、地層の歴史、地震の走時差問1は、緯度の定義と測量、北極と赤道の振り子の周期のちがい、ニュートンとホイヘンスの偏平率と現実の地球、氷床がとけたあとの陸の隆起（図3—1 の貝の化石）を考える。

2020年

  1. 第1問宇宙ほかの恒星のまわりの惑星に住んだら恒星Sのまわりを同じ平面・同じ向きに円軌道で回る2つの惑星X1（内側）とX2（外側）。
  2. 第2問大気と海洋北極の海氷と、海が吐き出す二酸化炭素問1は、北極域の温暖化の文章から、温室効果ガス・ヒートアイランド・海氷が減ると温暖化が進むしくみ・雲の中の氷晶と過冷却の水滴・海氷が融けても海面が上がらない理由を考える。
  3. 第3問地震と地質海の底の地震波と、深海の泥問1は、海底をたたいて起こした地震波の走時曲線から2層の速さと厚さを求め、屈折波と反射波の走時を考える。

2019年

  1. 第1問宇宙星の燃料と、火星の大接近問1は、水素4個がヘリウム1個になるときに減る質量 0.7% から、太陽が毎秒使う水素の量と主系列の寿命を見積もり、重い O5 型星と「質量÷寿命」をくらべる。
  2. 第2問大気と海洋水蒸気の出入りと、日本海の流れ問1は、ある領域の降水と蒸発の差が、横から出入りする水蒸気の差とつり合うことを式にし、直方体の領域で風下の風速を求める。
  3. 第3問地質と地史褶曲した地層と、氷床が消えたあと問1は、等高線つきの地質図と断面図から、泥岩・砂岩・礫岩の走向と褶曲軸の向き、C 地点の下の砂岩層の傾きと厚さ、褶曲による水平方向のちぢみを求め、新潟県中越地方の褶曲と、GPS と地層で求めたひずみの速さの違いを考える。

2018年

  1. 第1問宇宙天体までの距離と、銀河の回転問1は、天体までの距離の測り方を近い順に考える：位置天文衛星ガイアの年周視差、種族Ⅰセファイドの周期光度関係（HR図の不安定帯）、もっと明るい標準光源。
  2. 第2問大気と海洋暖かい雨のでき方と、赤道の海のわき上がり問1は、上がっていく空気の中で雲粒が大きくなり、降水粒子になって落ちながら雲粒をとらえて雨粒になるまでを、雲水の量・円柱の体積・雨量の勘定で追う（円周率は 3.0）。
  3. 第3問地震と地質震源さがしと断層の動き、鉱床のでき方問1は、2 km おきに並べた地震計の P 波の到着時刻から、本震の震央と震源の深さを求め、余震域の面の向きと P 波の初動の向きから断層の動きを決める。

2015年

  1. 第1問宇宙星の色・重さ・年齢問Ⅰは、温度ごとの黒体放射のスペクトル（図1—1）から、星の色・黒点が黒く見えるわけ・太陽のX線を考える。
  2. 第2問大気と海洋雨がくれる熱と、沈んでいく海水問Ⅰは、緯度ごとの降水量と蒸発量のグラフ（図2—1）から、熱帯収束帯・ハドレー循環が水蒸気をどう運ぶか、赤道の近くで地衡風にならないわけ、雨の潜熱で大気がどれだけ温まるかを考える。
  3. 第3問固体地球と地質プレートの回転と、地層の歴史問Ⅰは、中央海嶺が断裂帯でずれている所（図3—2）の断層の種類とずれの向き、そこで起きる地震の押し引きの分布、海嶺をはさむ地磁気の縞（図3—3）、球の上のプレートの回転（図3—1）から海嶺の上の点の広がる速さを求める。

2014年

  1. 第1問宇宙よその星の惑星：温度と、星のゆれ恒星Sのまわりを回る惑星Pについて、問Ⅰは恒星の光を受けて温まる惑星の表面温度を放射のつり合いから求め、地球にあてはめる。
  2. 第2問大気と海洋海の大きな渦、持ち上げられる空気、回る水槽問Ⅰは太平洋の亜熱帯環流（黒潮をふくむ時計回りの大きな流れ）をつくる風、環流の真ん中の海面の高さ、海が北へ運ぶ熱から北向きと南向きの流れの水温差を考える。
  3. 第3問固体地球地球の熱、地震のエネルギー、コース石の割れ目問Ⅰは地球の内部が熱いわけ、地表全体から 1 年に出る熱、海嶺と海溝の熱流量のちがいを考え、グーテンベルグ・リヒター則（M が 1 小さいと数が 10 倍）を使って地震が 1 年に出すエネルギーを足しあげて熱とくらべる。

2013年

  1. 第1問宇宙2つの星がかくし合う（食変光星）20 パーセク先の、2つの主系列星が周期1年で回り合う食変光星の変光曲線（図1—1）から、どちらがどちらを隠しているか・それぞれの明るさと絶対等級を求める。
  2. 第2問大気と海洋梅雨前線の風と、本州の南の海問Ⅰは梅雨期の 850 hPa 高層天気図（図2—1）から、梅雨前線のまわりの気圧配置、等圧面の高さの差から気圧傾度力と地衡風を求め、湿った空気の水蒸気が全部雨になったときの降水量を計算する。
  3. 第3問固体地球火山のまわりの地震計と、冷えた岩の磁石火山のまわりに3本の観測線（南北2本・東西1本、長さ 8 km）で地震計を並べる。

2012年

  1. 第1問宇宙HR図で見る、恒星の大きさと一生太陽の近くの恒星のHR図（図1—1）と、球状星団CのHR図（図1—2）を読む。
  2. 第2問大気と海洋雲粒から雨粒へ、そして海の水温と塩分問Ⅰは、相対湿度と過飽和、雲粒ができるのに凝結核が要る理由、雲粒が雨粒に育つしくみ。
  3. 第3問固体地球と太陽系月の岩石の年代、クレーター、かんらん石問Ⅰは、アポロ計画で集めた月の岩石と地球の岩石の年代の分布（図3—1）、月の高地と海の写真（図3—2）、形成年代とクレーターの数の関係（図3—3）から、年代の測り方・地球と月のちがい・海のでき方を考える。

2010年

  1. 第1問宇宙渦巻銀河の回転で、距離を測る渦巻銀河は、回る速さの最大値 V₀ が大きいほど明るい（(1) 式）。
  2. 第2問大気と海洋海面の高さと、水のめぐり海面の高さを変えるいろいろな原因を順に考える。
  3. 第3問固体地球と岩石地殻と岩石のでき方海洋地殻と大陸地殻のでき方から始めて、地質年代の順番、大陸地殻が増えるしくみ、顕微鏡で見た鉱物の形から結晶ができた順番、鉱物の組成の表から岩石の中の鉱物の割合とマグマの結晶分化、風化の反応式から昔の大気の酸素を考える。

2009年

  1. 第1問宇宙恒星の前を横切る惑星問Ⅰは、惑星が恒星の前を横切るときに恒星が少し暗くなる現象（恒星面通過）から、惑星の公転の速さ・横切った道すじ・惑星の大きさと、惑星から見た恒星の明るさを求める。
  2. 第2問大気と海洋大気と海が運ぶ熱・水・塩問Ⅰは、700 hPa の高層天気図で寒気が気圧の谷より西にずれていることから、上空の風の向き・熱の南北の運ばれ方・地上の気圧を考え、ある領域の水と水蒸気の収支から、大気が運びこむ水と潜熱を式で表す。
  3. 第3問固体地球と地質活断層のずれと地震問Ⅰは、横ずれ活断層の地面をはぎとったスケッチと化石の年代から、地層の境界のずれの量とできた年代、地震ごとの横ずれを復元し、大地震のくり返しのきまりから次の大地震の時期を見積もる。

2008年

  1. 第1問宇宙広がる宇宙に、横向きの動きはあるか地球を原点に、x・y・z 軸の上の同じ距離 d の所に銀河 G1・G2・G3 を置き、それぞれが視線に垂直な（横向きの）速さを持つと仮定する。
  2. 第2問固体地球・月月のマグマは、どこで噴き出すかアポロ計画で持ち帰った月の岩石(a)(b)と鉱物の化学組成・密度の表から、月の海の溶岩と高地の岩石が何か、月の地殻とマントルがどうできたかを考える。
  3. 第3問大気・海洋・地球の歴史地球の温度を決めるつり合いと、全球凍結問Ⅰは、北大西洋で冷えて沈む表層水が大気から吸った炭素の量を、濃度の差と流量から求める。

2007年

  1. 第1問宇宙星の寿命と、超新星の数問1は、太陽の中心で水素がヘリウムに変わるときに消える質量（0.7 %）から、太陽が一生に出すエネルギーと寿命を出し、明るさが質量の4乗に比例することから、重い星の寿命を考える。
  2. 第2問大気と海洋海が気候を安定させる：ためる・運ぶ・めぐる問1は、海と大気を 1 ℃ 温めるのに要る熱をくらべ、海 1 ℃ ぶんの熱で大気が何度上がるかを求める。
  3. 第3問地質ルートマップを読む：V 字・断層・地層の歴史東西にのびる谷ぞいのルートマップと観察の記録から、地層の境界線が地形図の上でどう現れるか、断層の落差、火成岩と接触変成、この地域で起きたできごとの順番を考える。

2006年

  1. 第1問宇宙太陽の一生と、地球の温度太陽の一生（40億年前の暗い太陽、巨星、白色矮星）の各段階で、地球の表面温度がどうなるかを、シュテファン・ボルツマンの法則（1 m² から出る光は温度の4乗に比例）で考える。
  2. 第2問固体地球地球の形と、重力のはかり方エラトステネスが夏至の太陽高度の差から地球の半径を出した方法と、その観測だけでは「平らな地面と近い太陽」と区別できないこと、緯度 1° の弧の長さからわかる地球の形、万有引力と遠心力でできる重力が緯度で変わること、振り子で重力加速度を測ること、地下の重い物体による重力の変化を考える。
  3. 第3問岩石・鉱物石英のつくりと、地球の時計は、地殻とマントルの化学組成から石英（SiO₂）のつくり、花こう岩の中の石英の形、石英砂が集まるわけ、チャートのでき方を考える。

2005年

  1. 第1問宇宙金星と、超新星のリングで距離をはかるは、地球上の2人が同時に見た金星の位置のずれ（視差）から2人の間の距離を、いちばん近いときと遠いときの金星の見かけの大きさから地球と金星の軌道半径を求める。
  2. 第2問大気と海洋熱を運ぶ大気と海、そして黒潮は、緯度ごとの北向きの熱の運ばれる量のグラフ（合計・大気・海洋の3本）を読み、どの線が大気でどれが海洋か、熱がどちら向きに運ばれるかを語句のリストから選ぶ。
  3. 第3問岩石溶岩の中のまるい岩石は、どこから来たかある火山の溶岩と、その中に入っていた大きさ 10 cm ほどのまるい岩石を、偏光顕微鏡で見て4種類に分けた。

2004年

  1. 第1問宇宙星にしか見えない、いちばん明るい天体1963 年に見つかったクェーサー 3C273 について、スペクトルの赤方偏移から遠ざかる速さとハッブル定数を、見かけの等級と距離から絶対等級を求める。
  2. 第2問固体地球動く海底、津波、地下の境目は、大陸移動説からプレートテクトニクスまでの言葉と、海洋底の縞模様（テープレコーダーモデル）が海洋底拡大の証拠になった理由を考える。
  3. 第3問岩石と鉱物岬の火成岩体を読む岬の先に、立った地層と平行に入りこんだ幅 200 m の火成岩体がある。

2003年

  1. 第1問宇宙銀河の中心に、星が集まっていたら天の川銀河の中心には太陽の300万倍の質量が、半径0.1光年より小さい所に集まっている。
  2. 第2問海洋海の流れが運ぶ熱北半球の中緯度の海を時計回りに回る亜熱帯環流は、西岸の幅 200 km を 1.0 m/s で北へ流れ、残りの 8000 km を 2.5 cm/s でゆっくり南へ戻る。
  3. 第3問固体地球と地質物質のめぐりと、地質図の読み方は、地表・海底・地層・地殻・マントルの間を物質がめぐる図に、作用や岩石の名前を入れ、プレートの沈み込みと、大陸の花こう岩のでき方を考える。

2026年

  1. 第1問微分・積分sin を 3 次式でまねると、積分がはさめるsin θ と θ − θ³/6 の差 f(θ) の最大・最小を求め、それを使って ∫₀^{2π} sin(cos x − x) dx を上と下からはさむ。
  2. 第2問場合の数と確率3 列の点から 3 つ選ぶと三角形になる？横 3 列・たて n 行にならんだ 3n 個の点から 3 点を選ぶとき、三角形ができる確率 p_n を求める。
  3. 第3問空間図形・軌跡と領域球面の上の三角形：重心を決めると、弦の中点は円を描く半径 5 の球面の上に 3 点 P, Q, R をとる。
  4. 第4問微分3 次曲線の 3 本の接線が、どれも 60° で交わる曲線 y=x³−kx の原点 O と 2 点 P, Q での接線が、どの 2 本も 60° で交わる条件を考える。
  5. 第5問複素数平面円の上の点から α を引いて 3 乗すると、どこを通る？単位円の上を動く z に対して w=(z−α)³ が描く曲線 D を考える。
  6. 第6問整数約数を「3 で割った余り」で分けると、1 余るほうが多いn の約数のうち 3 で割って 1 余るものの数 f(n) と、2 余るものの数 g(n) をくらべる。

2025年

  1. 第1問ベクトル・曲線内分を 3 回くり返すと、なめらかな曲線ができる正方形 ABCD の辺を t:(1−t) に内分し、できた点どうしをまた内分し、もう 1 回内分して点 U_t を作る。
  2. 第2問微分・積分log x ≦ x − 1 で、極限を上と下からはさむlog x ≦ x − 1 を示し、それを使って n∫₁² log((1 + x^{1/n})/2) dx の n→∞ の極限を求める。
  3. 第3問三角関数平行四辺形を長方形で囲む：回すと面積が変わる∠ABC＝π/6 の平行四辺形 ABCD の 4 つの頂点が、それぞれ長方形 EFGH の 4 辺に乗るように長方形で囲む。
  4. 第4問整数n² + n − a が平方数になる n の数と、4a + 1 の約数a を正の整数として f_a(n)=n²+n−a が平方数（0 以上の整数の 2 乗）になる正の整数 n を考える。
  5. 第5問場合の数となりどうしをくらべて、行って帰る。並ぶのはどんな並べ方？1〜n の札の並びに、となりの 2 枚をくらべて大きいほうを右へ入れかえる操作を、左から右へ（行き）、続けて右から左へ（帰り）1 回ずつ行う。
  6. 第6問複素数平面原点を通る円は、1/z でうつすと直線になる中心 1/2・半径 1/2 の円から原点を除いた曲線 C の上の z について、1/z の実部がいつも 1 であることを示す。

2024年

  1. 第1問空間図形・ベクトル角の条件は「円すい」：xy 平面で切ると、だ円と 2 本の線空間の点 A(0,−1,1) と、xy 平面の上を動く点 P がある。
  2. 第2問微分・積分重みつきの「距離の合計」は、重さを半分に分ける所で一番小さいf(x)=∫₀¹ |t−x|/(1+t²) dt（0≦x≦1）は、点 t までの距離 |t−x| に重さ 1/(1+t²) をかけて足したもの。
  3. 第3問確率4 本の線で折り返して動く点：8 か所をめぐり、偶数秒後の確率は 1/4 に近づく点 P は (2,1) から出発し、1 秒ごとに x 軸・y 軸（確率 1/3 ずつ）、直線 y=x・y=−x（確率 1/6 ずつ）のどれかで折り返した点へ動く。
  4. 第4問微分放物線にふれる円：1 点を通る円は 1〜3 つ（境目の a＝√5 で 2 つ）放物線 y=−(√2/4)x²+4√2 の上の点 (t, f(t))（0<t<4）で放物線とふれ、中心が x 軸の上にある円 C_t を考える。
  5. 第5問積分三角形を x 軸のまわりに回す：切り口はドーナツ、穴の大きさが決め手A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1)、D は AC の中点。
  6. 第6問整数n(n²＋an＋b) が素数：かけ算の片方が ±1 のときだけ3 次式 f(x)=x³+10x²+20x で f(n) が素数になる整数 n を全部求め、一般に g(x)=x³+ax²+bx（a, b は整数）で g(n) が素数になる整数 n は 3 個以下だと示す。

2023年

  1. 第1問積分sin(x²) の山は細くなる：t＝x² で見ると高さだけが変わる|sin(x²)| を x=√(kπ) から √((k+1)π) まで積分した A_k（山 1 つ分の面積）を上と下からはさみ、それを n 個から 2n 個目まで足して √n で割った B_n の極限を求める。
  2. 第2問場合の数と確率赤玉が離れていると、黒玉も離れやすくなる黒 3・赤 4・白 5 の 12 個の玉を袋から 1 個ずつ出して 1 列に並べる。
  3. 第3問図形と方程式・微分放物線の中の円：接線を切り取った長さは、いつも増えるとは限らない中心 (0, a)・半径 1 の円 C が放物線 y=x² の上側に入る a の範囲を求める。
  4. 第4問空間ベクトルOP は平面 OAB に垂直：だから球面の問題は平面の円の問題になる空間の 4 点 O, A(2,0,0), B(1,1,1), C(1,2,3) から、OA・OB に垂直で OP·OC=1 の点 P、P から直線 AB への垂線の足 H を求める。
  5. 第5問整式の割り算(x−1)²(x−2) で割った余りは、x＝1 の値と傾き・x＝2 の値で決まるf(x)=(x−1)²(x−2) で割った余りを考える。
  6. 第6問空間図形・体積ふたの無い箱の中心から長さ √3 のひもで届く所立方体 |x|,|y|,|z|≦1 の表面のうち上の面をのぞいた所（ふたの無い箱）を S とする。

2022年

  1. 第1問微分・積分微分すると、2 つのかけ算に割れる関数log(cos x) と、その積分が入った関数 f(x) を 0≦x<π/2 で考える。
  2. 第2問整数2 乗して 1 を足す数列：割った余りがくり返すa₁=1 から「2 乗して 1 を足す」をくり返す数列 1, 2, 5, 26, 677, … を考える。
  3. 第3問図形と方程式正方形のすきまの面積：一番小さいのは「折れ目」「十分離れている」を「x か y のどちらかが 1 以上ちがう」と決める（相手を真ん中にした一辺 2 の正方形の外）。
  4. 第4問微分・積分3 次曲線を直線で切って、2 つの面積を等しく曲線 y=x³−x と、点 P を通る直線を考える。
  5. 第5問積分円すいの面と床をつなぐ棒の、真ん中が通る所線分 AB（A(0,0,2)、B(1,0,1)）を z 軸のまわりに回した円すいの面 S の上に P、xy 平面の上に Q をとり、PQ=2 のまま動かす。
  6. 第6問場合の数と確率コインで 3 つの向きに進む点が、原点にもどる確率コインを投げ、表なら 1 だけ進み、裏なら止まる。

2021年

  1. 第1問2 次関数・領域2 つの交わる点の場所を決めると、放物線はどこを通れる？放物線 y=x²+ax+b が y=−x² と 2 点で交わり、交わる点の x が −1〜0 と 0〜1 に 1 つずつあるとき、点 (a, b) の範囲と、放物線が通る範囲を図で答える。
  2. 第2問複素数平面3 か所の値が 1〜2 のとき、f(2) はどこまで動ける？2 次式 f(z)=az²+bz+c の、z=0, 1, i での値を α, β, γ とする。
  3. 第3問微分・積分接線をのばすと、グラフにもう一度ぶつかるy=x/(x²+3) のグラフ C の点 A(1, 1/4) での接線 ℓ が、C と A 以外でただ 1 回交わることを示し、その x 座標 α を求める。
  4. 第4問整数大きな組合せの数を 4 で割った余りを、小さな数から出すC(4a+1, 4b+1) と C(a, b) を 4 で割った余りをくらべる。
  5. 第5問微分転がる円の上の点が、A からいちばん遠くなるのはいつ？点 P(θ+sinθ, cosθ)（床 y=−1 の上を転がる半径 1 の円の上の点）と A(−α, −3) の距離の 2 乗 f(θ) を 0≦θ≦π で考える。
  6. 第6問式と証明・整数4 次式を 2 次式 2 つに分けられるのはいつ？x⁴+bx+c=(x²+px+q)(x²−px+r) となる条件を係数比較で調べる。

2020年

  1. 第1問2 次不等式・集合3 つの 2 次式が全部正になる所が「x＞p」なら、p は 0係数 a, b, c を回して並べた 3 つの 2 次式 ax²+bx+c, bx²+cx+a, cx²+ax+b がどれも正になる x の集まりが、ちょうど「x>p」になっているとする。
  2. 第2問平面図形・ベクトル3 つの三角形の面積の和が 2〜3 になる点は、6 角形の帯の中面積 1 の三角形 ABC と平面の点 X について、X と 2 つの頂点でできる 3 つの三角形 ABX, BCX, CAX の面積の和を考える。
  3. 第3問微分・積分曲線でかこんだ形を 90° 回すと、通る所はどこまで？t を −1 から 1 まで動かすと点 P((1+t)√(1+t), 3(1+t)√(1−t)) は原点から出て x 軸の点 (2√2, 0) まで山なりの曲線 C を描く。
  4. 第4問数列・整式1, 2, 4, 8, … から k 個選んだ積の和：2 の入ったパスカルの三角形1, 2, 4, …, 2ⁿ⁻¹ の n 個から k 個を選んで積をとり、選び方全部について足したものを a(n,k) とする。
  5. 第5問空間図形・積分円錐の点と A を結ぶ線分が通る所：切り口は「円を横にずらした形」底面が半径 1 の円・頂点が (0,0,2) の円錐 S（中身も入れる）と、頂点と同じ高さの点 A(1,0,2) を考える。
  6. 第6問三角関数・2 次曲線楕円に垂直に当たる点 Q が 4 個ある P は、どこまで？(1) は A sin2θ − sin(θ+α)=0 が A>1 なら 1 周の中に 4 個以上の解をもつことを示す。

2019年

  1. 第1問積分かけ算をほどくと、4 つのやさしい積分になる2 つのかっこのかけ算になった式を 0 から 1 まで積分する。
  2. 第2問図形と式・微分面積 1/3 の三角形を 2 つ：DR/AQ はどこまで動く？1 辺 1 の正方形 ABCD の辺 AB, AD, CD の上に P, Q, R をとる。
  3. 第3問空間図形八面体を平面で切ると、いつ八角形になる？正方形 ABCD（xy 平面）の上に P(p,0,2)、下に E(0,0,−2) をおいた八面体 PABCDE を、AB, AD の中点を通り AE に平行な平面 α で切る。
  4. 第4問整数n²＋1 と 5n²＋9：最大公約数は 1 か 2 だけ正の整数 n について、n²+1 と 5n²+9 の最大公約数 d_n を求め、2 つの積が平方数にならないことを示す。
  5. 第5問微分・極限aₙ は 1 に近づくのに、aₙⁿ は 1 にならないx^(2n−1)=cos x のただ 1 つの実数解 a_n について、それがあることと 0<a_n<1（cos a_n>cos 1）を示し、a_n、a_nⁿ、(a_nⁿ−b)/(a_n−a) の極限を求める。
  6. 第6問複素数と方程式4 つの解の組み合わせ：α＋β は双曲線の上を動く実数係数の 4 次方程式 z⁴−2z³−2az+b=0 の相異なる 4 つの解 α, β, γ, δ が、αβ+γδ の実部が 0・虚部が 0 でない、をみたす。

2018年

  1. 第1問微分x/sin x ＋ cos x：下がって、ちょうど π/2 で底をうつ0<x<π で f(x)=x/sin x + cos x の増え方・減り方を表（増減表）にまとめ、区間の両はしに近づけたときの値（極限）を調べる。
  2. 第2問数列・整数₂ₙ₊₁Cₙ ÷ n!：整数になるのは最初の 2 つだけa_n = ₂ₙ₊₁Cₙ / n! で決まる数列の、となりどうしの比を約分した形（分母 p_n・分子 q_n）と、a_n が整数になる n を求める。
  3. 第3問ベクトル・領域の面積放物線を縮めて横にずらす：面積は k ＝ √2 で式が変わる放物線 y=x²（−1≦x≦1）の上の点 P と、線分 OA の上の点 Q から OR = OP/k + k·OQ で決まる点 R が動く領域の面積 S(k) と、k→+0・k→∞ の極限を求める。
  4. 第4問微分3 次方程式のまん中の解が 1 より大きい (a, b)f(x)=x³−3a²x（a>0）について、f(x)=b が異なる 3 つの実数解をもち、しかもまん中の解 β が 1 より大きくなるような点 (a, b) の範囲を求めて図にする。
  5. 第5問複素数平面円の接線で 1 を折り返すと、w は放物線の上を動く単位円の上の点 P(z)（z≠1）での接線について点 A(1) を折り返した点を Q(u) とし、w=1/(1−u) を考える。
  6. 第6問空間図形・体積折れ線にそって球を転がした立体の体積折れ線 O→A→B→C（座標軸にそって長さ 1 ずつ、直角に曲がる）の各線分にそって半径 r の球（1/2<r<1）を動かした跡 V1, V2, V3 を考える。

2016年

  1. 第1問微分(1＋1/x) の x 乗と x＋1/2 乗で、e をはさむすべての正の x で、(1+1/x)^x は e より小さく、(1+1/x)^{x+1/2} は e より大きいことを示す。
  2. 第2問確率2 連勝で優勝：勝つチームの順番は A→C→B→A… と回るA・B・C の 3 チームが、勝者と待機していたチームで次々に対戦し、2 連勝したチームが優勝する。
  3. 第3問空間図形Q から 3 点を通して床にうつした三角形の、一番小さい面積z 軸の上の点 Q(0,0,a)（1<a<3）から 3 点 P₁(1,0,1)、P₂(1,1,1)、P₃(1,0,3) を通る直線を引き、xy 平面との交点 R₁、R₂、R₃ を作る。
  4. 第4問複素数平面1, z, z² が鋭角三角形になる z は、帯から円をくりぬいた形複素数平面の 3 点 A(1)、B(z)、C(z²) が鋭角三角形になるような z の範囲を求めて図示する。
  5. 第5問整数・実数√m の小数部分は、どんな小数ででも始められるk 桁の小数 α=0.a₁a₂…a_k（a_k≠0）を 1 つとる。
  6. 第6問空間図形C を通る長さ 2 の線分が、C より上で通る範囲長さ 2 の線分 AB が、A を床（z=0）の上に、点 C(0,0,1) を線分の上にのせて動く。

2015年

  1. 第1問微分法の応用・軌跡と領域放物線を a で動かすと、通る所の境目は双曲線正の数 a ごとに放物線 y=ax²+(1−4a²)/(4a) が 1 本決まる。
  2. 第2問確率さいころで AA・B・C・D を書き足す：n 番目が A になる確率さいころの目が 1,2,3 なら AA、4 なら B、5 なら C、6 なら D を右に書き足していく。
  3. 第3問微分y＝axᵖ と y＝log x がちょうどふれるとき、回した体積曲線 y=ax^p と y=log x がただ 1 点 Q で出会うように a を決め、2 つの曲線と x 軸で囲まれた所を x 軸のまわりに回した立体の体積を p で表し、それが 2π になる p を求める。
  4. 第4問数列割り算の漸化式なのに、いつも整数：フィボナッチ数の 1 つおきp₁=1, p₂=2, p_{n+2}=(p_{n+1}²+1)/p_n で決まる数列が、ある式を一定に保つこと、足し算の漸化式を満たすこと、フィボナッチ数の奇数番目と一致することを示す。
  5. 第5問整数₂₀₁₅Cₘ が初めて偶数になるのは m＝32m を 1〜2015 の整数として、組合せの数 ₂₀₁₅C_m が偶数になる一番小さい m を求める。
  6. 第6問積分面積 1 の細い山をかけて積分すると、真ん中の値だけが残る山の形の関数 g(nx)（面積が 1/n）を重みにした積分が、|x|≦1/n での f の最小と最大の間に入ることを示し、g の微分にあたる h を使った積分の極限を求める。

2014年

  1. 第1問空間図形・ベクトル四角柱をななめに切った面の広さ底面が 1 辺 1 の正方形の四角柱 OABC−DEFG の 3 本の辺の上に P, Q, R をとり、O, P, Q, R が同じ平面になるようにする。
  2. 第2問確率袋から赤が出る確率は、ゆれながら 1/(a+2) へ袋に白と赤の球が入っている。
  3. 第3問2 次関数・放物線2 つの放物線の共有点と、三角形の面積の積分上に開いた放物線 C₂（頂点 (u,u)）と下に開いた放物線 C₁: y=−x²+1 が共有点をもつ u の範囲を求め、共有点 P₁, P₂ から作る 2|x₁y₂−x₂y₁| を u の式 f(u) にし、それを u で積分する。
  4. 第4問微分・極限f をくり返すと 0 へ行くか、途中の点に落ち着くかf(x)=(1−p)x+(1−x)(1−e^{−qx}) を 0 と 1 の間の数に何回もくり返し当てる。
  5. 第5問整数余りの列は、0 が出ない限り前にさかのぼれるa₁=r、a₂=r+1、a_{n+2}=a_{n+1}(a_n+1) で決まる数列を素数 p で割った余り b_n を調べる。
  6. 第6問図形と方程式OP＋OQ＝6 の線分 PQ が通る所原点から右上・左上にのびる 2 本の線分（y=√3x と y=−√3x、長さ 4）の上に P, Q をとり、OP+OQ=6 をたもって動かす。

2013年

  1. 第1問図形と数列回して r 倍する点：6 回でもとの場所にもどるには？点 (x, y) を (ax − by, bx + ay) にうつすことをくり返して P₀=(1, 0), P₁, P₂, … を作る。
  2. 第2問微分cos x / x と sin x ＋ ax：共有点がちょうど 3 つになる ax > 0 で y = cos x / x と y = sin x + ax のグラフの共有点がちょうど 3 つになる a を全部求める。
  3. 第3問確率表なら 1 点、裏なら相手に渡す：先に 2 点とるのは？コインを持つ人が投げ、表ならその人に 1 点、裏ならコインを相手に渡す。
  4. 第4問ベクトル3 つの向きの矢印の和が 0：その点から見ると 120° ずつ∠A=90°, AB=1, AC=√3 の直角三角形の中の点 P で、P から A, B, C へ向く長さ 1 の矢印（単位ベクトル）を 3 本足すと 0 になるもの。
  5. 第5問整数・不等式連続する 3 つの数の積に、1 が 99 個ならぶ連続する 3 つの自然数の積で、10 進法で書くと 1 が 99 個以上続く所があるものが存在することを示す。
  6. 第6問積分正方形を対角線のまわりに回した立体を、x = t で切るxy 平面の正方形（|x|≦1, |y|≦1）を、対角線 BD のまわりに回した立体 V1 と、AC のまわりに回した立体 V2。

2012年

  1. 第1問図形と方程式・微分原点を通る弦を、縦の線で切る：いちばん長く残る向き中心 (0,1)・半径 1 の円の内側で、縦の線 x=√2/3 より右の部分を D とする。
  2. 第2問確率9 つの部屋を動く球：Q にいるのは偶数秒後だけ正三角形を 9 つの小さな正三角形の部屋に分ける。
  3. 第3問積分同じ領域を x 軸と y 軸で回す：体積はほとんど同じ放物線 y=x²/2 の上側で、楕円 x²/4+4y²=1/8 の内側の領域 S を、x 軸のまわりに回した体積 V1 と y 軸のまわりに回した体積 V2 を求め、どちらが大きいかをくらべる。
  4. 第4問整数連続する数をかけても、n 乗数にはならないn を 2 以上の整数とし、自然数の n 乗になる数を n 乗数と呼ぶ。
  5. 第5問行列行列 B をかけると、平行四辺形は面積 1 のまま横にずれる成分が整数で、行 (a,b)・(c,d) を 2 辺とする平行四辺形の面積が 1 の行列 A を考える。
  6. 第6問行列回した行列の Tr：2 本の「折り返しの線」がそろうとき最大対角行列 A=diag(a,b), B=diag(b,a) と回転 U(x) を使った関数 f(x)=Tr((U(t)AU(−t)−B)U(x)diag(1,−1)U(−x)) の最大値 m(t) を求め、それを使って、C=diag(a^c,b^c), D=diag(b^{1−c},a^{1−c}) の不等式を示す。

2011年

  1. 第1問図形と方程式円の中心と弦でできる三角形は、いつ一番大きい？中心 P(0,1)・半径 1 の円 C を、点 (−1,0) を通る傾き a（0<a<1）の直線で切る。
  2. 第2問数列・整数「逆数の小数部分」をくり返すと？実数 a の小数部分から始めて、「逆数をとって小数部分を取り出す」をくり返す数列 aₙ を考える（0 になったらそのあとはずっと 0）。
  3. 第3問微分・積分円の上を同じ道のりだけ進む点は、うず巻きを描くx 軸の上の点 P(t,0) から、原点中心・半径 t の円の上を反時計回りに道のり L だけ進んだ点 Q(u(t),v(t)) を考える。
  4. 第4問図形と方程式放物線の上の二等辺三角形：重心はどこを動く？放物線 y=x² の上の定点 P(1/2, 1/4) と、同じ放物線の上を動く 2 点 Q(α,α²), R(β,β²) で、PQ=PR（QR が底辺）の二等辺三角形をつくる。
  5. 第5問場合の数[a, b ; c] の並びを数える：全部で (p＋1)³ 個整数 a, b, c で −q≦b≦0≦a≦p、b≦c≦a を満たす組 [a,b;c] を (p,q) パターンと呼び、w=p−q−(a+b) とおく。
  6. 第6問2 次関数・領域・体積2 次関数のグラフを、高さ 1 の帯に入れられるかf(t)=xt²+yt（x>0）の 0≦t≦1 での最大と最小の差を求め、それが 1 以下になる (x,y) の領域 S（上下にずらして高さ 1 の帯に入れられる）を図示し、さらに 0≦x≦1 で全部の t について 0≦xt²+yt+z≦1 となる (x,y,z) の体積を求める。

2010年

  1. 第1問積分・体積・最大最小直方体を 90° まわすと、通る所は「箱＋扇形の柱」辺 a, b, c の直方体を、長さ b の辺を軸に 90° まわしたとき通る立体 V の体積を求め、a+b+c=1 のときの体積のとりうる範囲を求める。
  2. 第2問積分・不等式log(m/n) と 1/k の和の差を、小さな三角形ではさむ∫₀¹(1−x)/(k+x)dx を 1/(2(k+1)) と 1/(2k) ではさみ、それを k について足して log(m/n)−Σ_{k=n+1}^{m}1/k をはさむ。
  3. 第3問確率・漸化式ボールを 2 倍にするか、空にするか：L が 30 個になる確率箱 L に x 個、R に 30−x 個のボール。
  4. 第4問微分・積分どこに点をとっても三角形の面積は 1、囲む面積は log曲線 y=x/2+√(x²/4+2) の上の 2 点について、x 軸に平行な線と y=x の交点 H でできる三角形 OPH の面積が等しいことを示し、曲線と 2 本の線分で囲まれる面積を y₁, y₂ で表す。
  5. 第5問図形と式・三角関数円の上を回る 3 点が直角二等辺三角形になる時刻半径 1 の円の上を、P（速さ m）と Q（速さ 1）が反時計回り、R（速さ 2）が時計回りに A から 0≦t≦2π で動く。
  6. 第6問空間ベクトル・空間図形4 つの面が合同な四面体を、たての平面で切る4 つの面が合同で OA=3, OB=√7, AB=2 の四面体 OABC。

2009年

  1. 第1問整数二項係数を全部割り切る数 dₘ：素数なら m、偶数なら 1 か 2m ≧ 2 に対し、mC1, mC2, …, mC(m−1) の最大公約数を d_m とする。
  2. 第2問行列行列をかけ続けて 0 に近づくなら、c = 02 次の行列 A が、ある向き (r, 1) を s 倍（s > 1）にのばし、しかも A^n(1, 0) は 0 に近づく。
  3. 第3問確率2 回目からの玉は R へ：同じ 10 回で確率がほぼ 4 倍4 色の玉が等確率で 1 個ずつ出る。
  4. 第4問積分円板を半回転：x ≧ 0 の側の体積は a によらず 2π/3高さ a の所にある半径 1 の円板を、y 軸のまわりに 180° 回して高さ −a の円板に重ねる。
  5. 第5問微分0.99 は 0.9999 の 100 乗と 101 乗の間−1 < x < 1、x ≠ 0 で (1 − x)^(1 − 1/x) < (1 + x)^(1/x) を示し、それを使って 0.9999^101 < 0.99 < 0.9999^100 を示す。
  6. 第6問平面ベクトル・三角関数すれちがう距離 1 以下 ⇒ 向きのずれは 1/1000 ほど一辺 1000 の正三角形の 3 つの頂点から、内側へ向かう向きに 3 点が同じ速さでまっすぐ進む。

2008年

  1. 第1問図形と方程式・数列点を移すと直線が回る：全部の側に入る所は？点 (x, y) を (3x+y, −2x) へ移す移動 f で、直線 3x+2y=1 を何度も移してできる直線 l_n : a_n x + b_n y = 1 を考える。
  2. 第2問確率1 枚ずつ色をかえて、全部そろうのは何回目？白と黒のカードを k 枚持ち、1 枚を等確率で選んで違う色にとりかえることをくり返す。
  3. 第3問空間図形正八面体を真上から見る・軸のまわりに回す正八面体を 1 つの面を下にして置き、真上から見た図をかく。
  4. 第4問微分・図形と方程式長さの決まった棒を放物線にのせる：一番低いのは？放物線 y=x² の上の 2 点 P, Q を結ぶ線分の中点の高さ h を、線分の長さ L と傾き m で表し、L を決めたときの h の最小値を求める。
  5. 第5問整数1 を n 個ならべた数は、3 で何回割れる？1 を n 個ならべた数 (10ⁿ−1)/9 を [n]（問題では □ の中に n）と書く。
  6. 第6問積分x=cos 2t、y=t sin t が囲む面積x = cos 2t、y = t sin t（0≦t≦2π）で表される曲線が囲む領域の面積を求める。

2007年

  1. 第1問式と証明(1+x)ᵏ で割っても、係数は整数のまま(1+x)^k P(x) の n 次以下の係数がみな整数なら、P(x) の n 次以下の係数もみな整数であることを示す。
  2. 第2問数列と極限角をそろえた折れ線は、らせんに近づくO のまわりに角 π/n ずつ回した点 P_0, …, P_n を、∠O P_{k−1} P_k がみな同じになるように置く。
  3. 第3問図形と方程式放物線の上の 2 点の内分点は、どこまで動ける？P, Q が放物線 y = x²（−1≦x≦1）の上を動くとき、PQ を 1:2 に内分する点 R の動く範囲 D を求める。
  4. 第4問行列行列 A は「2 つの向きへののばし」に分かれるA = aP + (a+1)Q、P² = P、Q² = Q、PQ = QP = O をみたす 2 次の正方行列について、(P+Q)A = A を示し、A = (a 0／1 a+1)（a>0）のときの P, Q を求め、A_k = (k 0／1 k+1) の積 A_n⋯A_2 を求める。
  5. 第5問確率裏が出たら 0 から：最後の高さは「最後の裏」で決まる表（確率 p）でブロックを 1 つ積み、裏で全部くずす。
  6. 第6問積分接線と弦で 1/t の面積をはさむ → log 2 がわかる1/t の a−x〜a+x の積分を、t = a での接線の下の台形と、両はしを結ぶ弦の下の台形ではさむ。

2006年

  1. 第1問ベクトルP₃ ＝ (3/2)P₂ − P₁ で点を作っていく4 点 P₁〜P₄ が、となり 2 つのベクトルの和が真ん中の 3/2 倍になる関係でつながっている。
  2. 第2問確率× が 3 個出る前に ○ が n 個そろう確率○ と × を 1 つずつ出す。
  3. 第3問図形と方程式紙を折って、角を 3 等分するy 軸上の点 P(0, p) と直線 m: y＝(tan θ)x がある。
  4. 第4問整数x²＋y²＋z²＝xyz の組を、とりかえて増やすx ≦ y ≦ z の正の整数で x²＋y²＋z²＝xyz を満たす組を考える。
  5. 第5問数列の極限逆数 bₙ にすると、ほぼ 2 ずつ増えるa₁＝1/2、a_{n+1}＝a_n/(1＋a_n)² で決まる数列。
  6. 第6問微分・積分逆関数 g の積分は、長方形から f の積分を引くx＞0 で f(x)＝12(e^{3x}−3e^x)/(e^{2x}−1)。

2005年

  1. 第1問微分log x / x を何回微分しても「数＋数×log x」f(x)=log x / x を n 回微分したものが (aₙ＋bₙ log x)/xⁿ⁺¹ の形になることを示し、aₙ, bₙ の漸化式を作る。
  2. 第2問複素数平面z²−2z＝w の解が 2 つとも円の中に入る ww＝z²−2z となる z が、どれも |z|≦5/4 に入るような w を全部集めた集合 T を考える。
  3. 第3問微分・数列の極限xₙ₊₁＝f(xₙ) をくり返すと 1 に吸いこまれるf(x)＝(x/2){1＋e^(−2(x−1))} の傾き f′(x) が x＞1/2 で 0 以上 1/2 未満であることを示し、それを使って xₙ₊₁＝f(xₙ) の数列が x₀＞1/2 なら 1 に近づくことを示す。
  4. 第4問整数a² − a が 10000 で割り切れる奇数 a3 以上 9999 以下の奇数 a で、a²−a（＝a(a−1)）が 10000 で割り切れるものを全部求める。
  5. 第5問確率カードをもう 1 枚ひくか、やめておくか1〜N のカード（ひいたら戻す）で、甲が 1 枚ひいて a を見たあと、もう 1 枚ひくかどうかを選ぶ。
  6. 第6問積分円柱 2 本の共通部分から、3 本目の円柱をくりぬく半径 r の円柱 2 本（z 軸方向と y 軸方向）の共通部分のうち、x 軸方向の円柱の外（y²＋z²≧r²）にある部分の体積を求める。

2004年

  1. 第1問図形と方程式放物線 y＝x² に正三角形をのせる放物線 y＝x² の上の 3 点 P, Q, R が正三角形をつくり、PQ の傾きが √2 のとき、1 辺の長さ a を求める。
  2. 第2問整数平方数（2 乗した数）の下の桁平方数の 10 の位 a と 1 の位 b について、a＋b が偶数なら b は 0 か 4 であることを示す。
  3. 第3問積分円の内側を転がる円板の 1 点が描く曲線半径 10 の円 C の内側を、半径 3 の円板 D が滑らずに転がる。
  4. 第4問微分x³−3x をくり返すと、解が 3 倍ずつふえるf₁(x)＝x³−3x を n 回くり返した関数 f_n(x) について、f₁(x)＝a と f₂(x)＝a の実数解の個数を a で分けて求め、f_n(x)＝0 の実数解が 3ⁿ 個であることを示す。
  5. 第5問積分2 つの球を重ねたときの体積半径 1 の球 2 つを、中心の間の長さ r だけずらして重ねたときの和集合の体積 V を r の式で表し、V＝8 となる r を小数第 1 位まで求める（3.14＜π＜3.15 を使う）。
  6. 第6問確率さいころで 3 枚の板を 1 枚ずつ裏返す白黒の板 3 枚を「白白白」から始め、さいころの目で左・まん中・右のどれか 1 枚（それぞれ 1/3）を裏返す。

2003年

  1. 第1問2 次関数・積分放物線を天井の下におさめる2 点 (−1, −1), (1, 1) を通る放物線 f(x) が、−1≦x≦1 で「天井」3x²−1 をこえないとき、∫₋₁¹(f′(x))²dx のとりうる範囲を求める。
  2. 第2問複素数平面A と B がいつも 45° に見える点 P複素数平面の A(6), B(7+7i) と、正の数 t で決まる点 P=14(t−3)/((1−i)t−7) について、∠APB と、OP が一番長くなる t を求める。
  3. 第3問積分円錐と円柱の重なりを輪切りにする底の半径 2・高さ 1 の円錐と、O を通る半径 1・高さ 1 の円柱の共通部分 C を、高さ t の平面で切った切り口の面積 S(t) を θ（t=1−cosθ）で表し、体積を求める。
  4. 第4問数列αⁿ は ほとんど整数x²−4x−1=0 の 2 つの解 α>β について sₙ=αⁿ+βⁿ の漸化式を作り、β³ と α²⁰⁰³ の整数部分（1 の位）を求める。
  5. 第5問確率・極限さいころの目をかけ合わせるさいころを n 回振った目の積 Xₙ が 5 で・4 で割り切れる確率を求め、20 で割り切れる確率 pₙ について (1/n)log(1−pₙ) の極限を求める。
  6. 第6問三角関数・不等式の証明円周率が 3.05 より大きいわけ円周率が 3.05 より大きいことを証明する。