東大過去問 2016年数学｜AI解答・解説・シミュレーション

東大過去問 2016年数学｜AI解答・解説・シミュレーション｜アトリエファクトリー

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第1問

　 $e$ を自然対数の底，すなわち $e = lim_{t \to \infty} {(1 + \frac{1}{t})}^{t}$ とする。すべての正の実数 $x$ に対し，次の不等式が成り立つことを示せ。

{(1 + \frac{1}{x})}^{x} < e < {(1 + \frac{1}{x})}^{x + \frac{1}{2}}

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第2問

　 $A, B, C$ の $3$ つのチームが参加する野球の大会を開催する。以下の方式で試合を行い， $2$ 連勝したチームが出た時点で，そのチームを優勝チームとして大会は終了する。

　(a)　 $1$ 試合目で $A$ と $B$ が対戦する。

　(b)　 $2$ 試合目で， $1$ 試合目の勝者と， $1$ 試合目で待機していた $C$ が対戦する。

なお，すべての対戦において，それぞれのチームが勝つ確率は $\frac{1}{2}$ で，引き分けはないものとする。

（1）　 $n$ を $2$ 以上の整数とする。ちょうど $n$ 試合目で $A$ が優勝する確率を求めよ。

（2）　 $m$ を正の整数とする。総試合数が $3 m$ 回以下で $A$ が優勝したとき， $A$ の最後の対戦相手が $B$ である条件付き確率を求めよ。

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第3問

　 $a$ を $1 < a < 3$ をみたす実数とし，座標空間内の $4$ 点 $P_{1} (1, 0, 1)$ ， $P_{2} (1, 1, 1)$ ， $P_{3} (1, 0, 3)$ ， $Q (0, 0, a)$ を考える。直線 $P_{1} Q$ ， $P_{2} Q$ ， $P_{3} Q$ と $x y$ 平面の交点をそれぞれ $R_{1}$ ， $R_{2}$ ， $R_{3}$ として，三角形 $R_{1} R_{2} R_{3}$ の面積を $S (a)$ とする。 $S (a)$ を最小にする $a$ と，そのときの $S (a)$ の値を求めよ。

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第4問

　 $z$ を複素数とする。複素数平面上の $3$ 点 $A (1)$ ， $B (z)$ ， $C (z^{2})$ が鋭角三角形をなすような $z$ の範囲を求め，図示せよ。

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第5問

　 $k$ を正の整数とし， $10$ 進法で表された小数点以下 $k$ 桁の実数

0 . a_{1} a_{2} \dots a_{k} = \frac{a_{1}}{10} + \frac{a_{2}}{10^{2}} + \dots + \frac{a_{k}}{10^{k}}

を $1$ つとる。ここで， $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k}$ は $0$ から $9$ までの整数で， $a_{k} \neq 0$ とする。

（1）　次の不等式をみたす正の整数 $n$ をすべて求めよ。

0 . a_{1} a_{2} \dots a_{k} ≦ \sqrt{n} - 10^{k} < 0 . a_{1} a_{2} \dots a_{k} + 10^{- k}

（2）　 $p$ が $5 \cdot 10^{k - 1}$ 以上の整数ならば，次の不等式をみたす正の整数 $m$ が存在することを示せ。

0 . a_{1} a_{2} \dots a_{k} ≦ \sqrt{m} - p < 0 . a_{1} a_{2} \dots a_{k} + 10^{- k}

（3）　実数 $x$ に対し， $r ≦ x < r + 1$ をみたす整数 $r$ を $[x]$ で表す。 $\sqrt{s} - [\sqrt{s}] = 0 . a_{1} a_{2} \dots a_{k}$ をみたす正の整数 $s$ は存在しないことを示せ。

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第6問

　座標空間内を，長さ $2$ の線分 $A B$ が次の $2$ 条件 (a)，(b) をみたしながら動く。

　(a)　点 $A$ は平面 $z = 0$ 上にある。

　(b)　点 $C (0, 0, 1)$ が線分 $A B$ 上にある。

このとき，線分 $A B$ が通過することのできる範囲を $K$ とする。 $K$ と不等式 $z ≧ 1$ の表す範囲との共通部分の体積を求めよ。

第1問　(1＋1/x) の x 乗と x＋1/2 乗で、e をはさむ

答えは東大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

$e$ は ${(1 + \frac{1}{t})}^{t}$ の $t \to \infty$ の行き先。 $x$ が大きいと ${(1 + \frac{1}{x})}^{x}$ は $e$ に下から近づくので、左の不等式は「まだ $e$ に届かない」と言っている。右の不等式は、指数に $\frac{1}{2}$ を足すだけで $e$ を追いこす、と言っている。

指数がからむ不等式は、log をとって、かけ算・べき乗を足し算にするのが筋。 $\log$ は増える関数なので、大小の向きは変わらない。さらに $t = \frac{1}{x}$ とおきかえると、 $x$ がどんな正の数でも $t$ はどんな正の数にもなり、式が $\log (1 + t)$ だけの形にまとまる。あとは差を微分して、 $t = 0$ から増えるだけであることを示す。

(答)

両辺の log をとる。 $e$ の log は 1 なので、示す不等式は

x \log (1 + \frac{1}{x}) < 1 < (x + \frac{1}{2}) \log (1 + \frac{1}{x})

と同じ。 $t = \frac{1}{x} (t > 0)$ とおいて $t$ をかけると、

\log (1 + t) < t, \log (1 + t) > \frac{t}{1 + \frac{t}{2}} = \frac{2 t}{2 + t}

の 2 つを示せばよい。 $\log (1 + t)$ を、上から $t$ 、下から $\frac{2 t}{2 + t}$ ではさむ形になった。

左の不等式： $g (t) = t - \log (1 + t)$ とおくと

g^{'} (t) = 1 - \frac{1}{1 + t} = \frac{t}{1 + t} > 0 (t > 0)

$g (0) = 0$ から増えるだけなので、 $t > 0$ で $g (t) > 0$ 。

右の不等式： $h (t) = \log (1 + t) - \frac{2 t}{2 + t}$ とおく。 $\frac{2 t}{2 + t} = 2 - \frac{4}{2 + t}$ なので、その微分は $\frac{4}{(2 + t)^{2}}$ 。

h^{'} (t) = \frac{1}{1 + t} - \frac{4}{(2 + t)^{2}} = \frac{(2 + t)^{2} - 4 (1 + t)}{(1 + t) (2 + t)^{2}} = \frac{t^{2}}{(1 + t) (2 + t)^{2}}

分子が $t^{2}$ にまとまるのがかなめ。 $t > 0$ で $h^{'} (t) > 0$ 、 $h (0) = 0$ なので $h (t) > 0$ 。

2 つを合わせて、もとの不等式が示せた。数で見ると $x = 1$ で $2 < 2.718 \dots < 2.828 \dots$ 、 $x = 100$ で $2.7048 < e < 2.71830$ 。

なるほど：右の式は $e$ にとても速く近づく（ずれは約 $\frac{e}{12 x^{2}}$ ）が、左の式のずれは約 $\frac{e}{2 x}$ と大きい。指数の $\frac{1}{2}$ をそれより少しでも小さくすると（たとえば $x + 0.49$ ）、 $x$ が大きい所（ $x > 7.8413 \dots$ ）で右の不等式が破れる。 $\frac{1}{2}$ は、どんな $x$ でもはさめるぎりぎりの値になっている。

答え示すこと：

{(1 + \frac{1}{x})}^{x} < e < {(1 + \frac{1}{x})}^{x + \frac{1}{2}}

。要点：log をとり

t = \frac{1}{x} (t > 0)

とおくと、左は

\log (1 + t) < t

、右は

\log (1 + t) > \frac{2 t}{2 + t}

と同じ。

g (t) = t - \log (1 + t)

は

g^{'} (t) = \frac{t}{1 + t} > 0

、

h (t) = \log (1 + t) - \frac{2 t}{2 + t}

は

h^{'} (t) = \frac{t^{2}}{(1 + t) (2 + t)^{2}} > 0

。どちらも

t = 0

で 0 なので

t > 0

で正

第2問　2 連勝で優勝：勝つチームの順番は A→C→B→A… と回る

答えは東大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

2 試合目からは、どの試合にも「前の試合の勝者」が出ている。その勝者がもう 1 回勝てば 2 連勝で優勝、負ければ大会は続く。だから2 試合目からは、毎試合 $\frac{1}{2}$ の確率で大会が終わる。

大会が続くのは、毎回「前の勝者が負ける」ときだけ。すると勝者の順番は決まってしまう。1 試合目に A が勝ったなら、A→C→B→A→C→B→…、B が勝ったなら B→C→A→B→C→A→… と、3 チームを順に回る。1 試合目の結果で流れが 2 本に分かれ、それぞれの流れの中身は 1 通り、というのがこの問題のかなめ。

(1)

ちょうど $n$ 試合目で優勝が決まるのは、 $n - 1$ 試合目までは毎回「前の勝者が負け」、 $n$ 試合目で「前の勝者が勝つ」とき。優勝するのは $n - 1$ 試合目の勝者。

1 試合目に A が勝った流れでは、 $j$ 試合目の勝者は $j = 1, 2, 3, \dots$ の順に A, C, B, A, C, B, … 。A が $n - 1$ 試合目の勝者になるのは $n - 1$ を 3 で割った余りが 1 のとき、つまり $n$ を 3 で割った余りが 2 のとき（ $n = 2, 5, 8, \dots$ ）。

1 試合目に B が勝った流れでは、勝者は B, C, A, B, C, A, … 。A が $n - 1$ 試合目の勝者になるのは $n - 1$ が 3 の倍数のとき、つまり $n$ を 3 で割った余りが 1 のとき（ $n = 4, 7, 10, \dots$ ）。

どちらの流れも、 $n$ 試合の勝ち負けがすべて決まった 1 通りなので、確率は ${(\frac{1}{2})}^{n}$ 。 $n$ を 3 で割った余りで 2 本のどちらか 1 本だけが A の優勝になり、 $n$ が 3 の倍数ならどちらの流れでも優勝するのは C（A ではない）。

たとえば $n = 4$ ：B が A に勝ち、C が B に勝ち、A が C に勝ち、A が B に勝つ。確率は $\frac{1}{16}$ 。

答え

n

が 3 の倍数のとき

0

,　それ以外のとき

{(\frac{1}{2})}^{n}

（2 試合目からは前の試合の勝者が勝てば優勝。決まらない流れでは勝者が A→C→B→A…（1 試合目に A が勝ったとき）か B→C→A→B…（B が勝ったとき）と回る。

n

試合目の優勝者は

n - 1

試合目の勝者で、A になるのは

n

を 3 で割った余りが 2（前者）か 1（後者、

n ≧ 4

）の 1 通りだけ）

(2)

(1) の 2 本の流れで、A の最後の相手を見る。 $n$ を 3 で割った余りが 2（1 試合目に A が勝った流れ）なら、 $n$ 試合目の相手は C。余りが 1（1 試合目に B が勝った流れ）なら、相手は B。たとえば $n = 2$ は A が B、C に続けて勝って相手は C、 $n = 4$ は上の例で相手は B。

総試合数が $3 m$ 以下で A が優勝する確率は、 $n = 2, 5, \dots, 3 m - 1$ （相手 C）と $n = 4, 7, \dots, 3 m - 2$ （相手 B）の和。どちらも公比 $\frac{1}{8}$ の等比数列の和で

\sum_{j = 0}^{m - 1} \frac{1}{2^{3 j + 2}} = \frac{2}{7} (1 - \frac{1}{8^{m}}), \sum_{j = 1}^{m - 1} \frac{1}{2^{3 j + 1}} = \frac{1}{14} (1 - \frac{1}{8^{m - 1}})

条件付き確率は、B の分を全体で割る。分母・分子に $14 \cdot 8^{m}$ をかけると

\frac{8^{m} - 8}{4 (8^{m} - 1) + (8^{m} - 8)} = \frac{8^{m} - 8}{5 \cdot 8^{m} - 12}

$m = 1$ では 0（3 試合以内に B に勝って優勝する流れは無い）、 $m = 2$ で $\frac{2}{11}$ 。

なるほど：B の分の各項（ $\frac{1}{16}, \frac{1}{128}, \dots$ ）は、1 つ前の C の分の項（ $\frac{1}{4}, \frac{1}{32}, \dots$ ）のちょうど $\frac{1}{4}$ 。だから上限を $3 m + 1$ にすると組がそろい、答えはどの $m$ でもちょうど $\frac{1}{5}$ になる。「 $3 m$ 回以下」で切ると、B の最後の 1 項（ $3 m + 1$ 試合目）だけが入らないので、答えが $m$ で変わる。

答え

\frac{8^{m} - 8}{5 \cdot 8^{m} - 12}

（A の優勝は

n \equiv 2 (m o d 3)

なら最後の相手 C、

n \equiv 1

なら B。

\sum_{j = 1}^{m - 1} \frac{1}{2^{3 j + 1}} = \frac{1}{14} (1 - \frac{1}{8^{m - 1}})

を、全体

\frac{2}{7} (1 - \frac{1}{8^{m}}) + \frac{1}{14} (1 - \frac{1}{8^{m - 1}})

で割る）

第3問　Q から 3 点を通して床にうつした三角形の、一番小さい面積

答えは東大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

$R_{1}, R_{2}, R_{3}$ は、Q と $P_{1}, P_{2}, P_{3}$ を結ぶ直線をのばして床（ $x y$ 平面）とぶつかる点。Q を電球と思うと $P_{1}, P_{2}$ の R は影と同じだが、Q より高い $P_{3}$ では光は上へ進むので影はできず、直線を Q の後ろ側へのばした所が $R_{3}$ になる。三角形の面積 $S (a)$ を Q の高さ $a$ の式にして、一番小さくなる所を探す。

筋は 2 つ。まず直線の式から交点を出す（媒介変数の直線で $z = 0$ とおく）。次に三角形の形を見る。3 つの点 R は $x$ 軸の上に 2 つ、その真上に 1 つと並ぶので、直角三角形になり面積がすぐ出る。あとは 1 変数の関数の最小を微分で求める。

(答)

直線 $P Q$ の上の点は $Q + s (P - Q)$ 。 $z$ 座標は $a + s (z_{P} - a)$ なので、 $z = 0$ になるのは $s = \frac{a}{a - z_{P}}$ 。 $x, y$ 座標は $s$ 倍になる。

$P_{1}$ 、 $P_{2}$ は高さ 1 なので $s = \frac{a}{a - 1}$ 、 $P_{3}$ は高さ 3 なので $s = \frac{a}{a - 3}$ 。よって

R_{1} (\frac{a}{a - 1}, 0, 0), R_{2} (\frac{a}{a - 1}, \frac{a}{a - 1}, 0), R_{3} (\frac{a}{a - 3}, 0, 0)

$1 < a < 3$ なので $\frac{a}{a - 1} > 0$ 、 $\frac{a}{a - 3} < 0$ 。 $R_{3}$ だけ反対の側に落ちる（Q が $P_{3}$ より低いので、Q から $P_{3}$ へ向かう向きは上向きで床に着かず、直線を Q の後ろ側へのばした所で床と交わる）。

$R_{1} R_{2}$ は $y$ 軸の向き、 $R_{1} R_{3}$ は $x$ 軸の上なので、 $R_{1}$ で直角。

R_{1} R_{3} = \frac{a}{a - 1} + \frac{a}{3 - a} = \frac{2 a}{(a - 1) (3 - a)}, R_{1} R_{2} = \frac{a}{a - 1}

S (a) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 a}{(a - 1) (3 - a)} \cdot \frac{a}{a - 1} = \frac{a^{2}}{(a - 1)^{2} (3 - a)}

最小を探すため、log をとって微分する（かけ算・割り算が足し算・引き算になる）。

\frac{S^{'} (a)}{S (a)} = \frac{2}{a} - \frac{2}{a - 1} + \frac{1}{3 - a} = \frac{- 2}{a (a - 1)} + \frac{1}{3 - a}

これが 0 になるのは $a (a - 1) = 2 (3 - a)$ 、つまり $a^{2} + a - 6 = (a - 2) (a + 3) = 0$ から $a = 2$ 。 $1 < a < 2$ で $S^{'} < 0$ 、 $2 < a < 3$ で $S^{'} > 0$ なので $a = 2$ で最小。 $S (2) = \frac{4}{1 \cdot 1} = 4$ 。

なるほど： $a$ を 1 や 3 に近づけると、直線が床とほとんど平行になってR が遠くへ飛び、面積はいくらでも大きくなる。逆に $1 < a < 3$ の外（たとえば $a = 0.5$ ）では 3 つの R が同じ側に来る。三角形はできる（ $a = 0.5$ で面積 $0.4$ ）が、 $a$ を 0 に近づけたり大きくしたりすると面積は 0 にいくらでも近づいてしまい、一番小さい値が無い。 $1 < a < 3$ は「 $R_{3}$ だけ反対の側に分かれて、面積に一番小さい値ができる」ための条件だった。

答え

a = 2

S (2) = 4

（

R_{1} (\frac{a}{a - 1}, 0, 0)

R_{2} (\frac{a}{a - 1}, \frac{a}{a - 1}, 0)

R_{3} (\frac{a}{a - 3}, 0, 0)

。

R_{1}

で直角なので

S (a) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 a}{(a - 1) (3 - a)} \cdot \frac{a}{a - 1} = \frac{a^{2}}{(a - 1)^{2} (3 - a)}

。

\frac{d}{d a} \log S = \frac{2}{a} - \frac{2}{a - 1} + \frac{1}{3 - a} = 0

から

a^{2} + a - 6 = 0

）

第4問　1, z, z² が鋭角三角形になる z は、帯から円をくりぬいた形

答えは東大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

複素数平面で角の大きさを調べるときは、2 辺の比の複素数の向き（偏角）を使う。頂点 P から Q、R へ向かう 2 辺のなす角は $\frac{r - p}{q - p}$ の偏角の大きさで、これが鋭角 ⇔ 比の実部が正。

3 点が $1, z, z^{2}$ なので、比がどれも $z^{2} - 1 = (z - 1) (z + 1)$ 、 $z^{2} - z = z (z - 1)$ のように因数分解できて、驚くほど簡単な形になる。3 つの角それぞれの条件を出して、全部を満たす範囲を図にする。

(答)

3 点が相異なり一直線上にないことが三角形の条件。まず 3 つの角を順に見る。

角 A： $\frac{z^{2} - 1}{z - 1} = z + 1$ 。鋭角 ⇔ $R e (z + 1) > 0$ ⇔ $x > - 1$ （ $z = x + y i$ ）。

角 B： $\frac{z^{2} - z}{1 - z} = \frac{z (z - 1)}{- (z - 1)} = - z$ 。鋭角 ⇔ $R e (- z) > 0$ ⇔ $x < 0$ 。

角 C： $\frac{z - z^{2}}{1 - z^{2}} = \frac{z (1 - z)}{(1 - z) (1 + z)} = \frac{z}{1 + z}$ 。分母の共役 $1 + \overset{―}{z}$ を上下にかけると、実部の符号は $z (1 + \overset{―}{z}) = z + | z |^{2}$ の実部の符号と同じ。鋭角 ⇔ $x + x^{2} + y^{2} > 0$ ⇔

{(x + \frac{1}{2})}^{2} + y^{2} > \frac{1}{4}

つまり中心 $- \frac{1}{2}$ ・半径 $\frac{1}{2}$ の円の外側。

一直線上に並ぶのは、角 A の比 $z + 1$ が実数のとき、つまり $y = 0$ のとき。ところが $- 1 < x < 0$ の実軸は上の円の内側にあるので、3 つの条件を満たす所には入っていない（自然に除かれる）。 $z = 0, \pm 1$ のように点が重なる場合も同じく除かれている。

合わせると、 $- 1 < x < 0$ のたての帯から、円 $| z + \frac{1}{2} | = \frac{1}{2}$ の内側を除いた所。境界の 2 本の直線と円周は入らない（その上では、点が重なって三角形にならない $z = - 1$ （A と C が同じ点）と $z = 0$ （B と C が同じ点）を除き、どれかの角がちょうど直角）。円は帯の両はしの線に $z = - 1$ 、 $z = 0$ で接するので、範囲は実軸の上と下の 2 つに分かれ、それぞれ上下にどこまでも続く。

なるほど：3 つの角の条件が、たての線 2 本と円 1 つにそのまま対応する。 $x = - 1$ の上では角 A、 $x = 0$ の上では角 B、円の上では角 C がちょうど $90^{\circ}$ になる（3 つが出会う $z = - 1$ 、 $z = 0$ だけは点が重なり、三角形そのものができない）。 $C$ を $z^{3}$ に変えると境目はもう直線や円にならず、 $z^{2}$ だったからこそ答えがきれいな図形になった。

答え

- 1 < R e z < 0

かつ

| z + \frac{1}{2} | > \frac{1}{2}

（

z = x + y i

で

- 1 < x < 0

{(x + \frac{1}{2})}^{2} + y^{2} > \frac{1}{4}

。たての帯から、中心

- \frac{1}{2}

・半径

\frac{1}{2}

の円の内側を除いた所。境界の 2 本の直線と円周はふくまない。帯と円は

z = - 1

0

で接するので、範囲は実軸の上と下の 2 つに分かれる。角 A：

\frac{z^{2} - 1}{z - 1} = z + 1

、角 B：

\frac{z^{2} - z}{1 - z} = - z

、角 C：

\frac{z - z^{2}}{1 - z^{2}} = \frac{z}{1 + z}

の実部がそれぞれ正）

第5問　√m の小数部分は、どんな小数ででも始められる

答えは東大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

$α = 0 . a_{1} a_{2} \dots a_{k}$ とおく。 $10^{k}$ 倍すると整数 $N = 10^{k} α$ になり、 $a_{k} \neq 0$ なので $N$ は 10 で割り切れない（ $α > 0$ でもある）。

(1)(2) の不等式は「 $\sqrt{n}$ の小数部分が $α$ で始まる（小数第 $k$ 位まで $α$ と同じ）」という意味。筋は、不等式を 2 乗して「 $n$ がある区間に入る」という形にし、区間の長さと位置から整数を数えること。(3) は逆に「ちょうど $α$ になる」ことはない、という話で、2 乗して整数の割り切れ方を見る。

(1)

不等式に $10^{k}$ を足すと $10^{k} + α ≦ \sqrt{n} < 10^{k} + α + 10^{- k}$ 。どの辺も正なので 2 乗してよい。

(10^{k} + α)^{2} = 10^{2 k} + 2 N + α^{2}

(10^{k} + α + 10^{- k})^{2} = 10^{2 k} + 2 N + 2 + (α + 10^{- k})^{2}

（ $2 \cdot 10^{k} α = 2 N$ 、 $2 \cdot 10^{k} \cdot 10^{- k} = 2$ を使った。）

$α > 0$ で $α < 1$ なので $0 < α^{2} < 1$ 。また $α$ は $k$ 桁の小数なので $α ≦ 1 - 10^{- k}$ 、つまり $0 < (α + 10^{- k})^{2} ≦ 1$ 。すると $n$ の範囲は

10^{2 k} + 2 N + (0 と 1 の間) ≦ n < 10^{2 k} + 2 N + 2 + (0 より大きく 1 以下)

この中の整数は $n = 10^{2 k} + 2 N + 1$ と $10^{2 k} + 2 N + 2$ のちょうど 2 つ。

たとえば $α = 0.25$ （ $k = 2$ 、 $N = 25$ ）なら $n = 10051, 10052$ 。実際 $\sqrt{10051} = 100.2546 \dots$ 、 $\sqrt{10052} = 100.2596 \dots$ 。 $\sqrt{n}$ の目盛りの間かくは約 $\frac{1}{2 \cdot 10^{k}}$ で、幅 $10^{- k}$ の窓のちょうど半分なので 2 つ入る、と見てもよい。

答え

n = 10^{2 k} + 2 \cdot 10^{k} α + 1

10^{2 k} + 2 \cdot 10^{k} α + 2

(α = 0 . a_{1} a_{2} \dots a_{k})

（2 乗して

10^{2 k} + 2 N + α^{2} ≦ n < 10^{2 k} + 2 N + 2 + (α + 10^{- k})^{2}

、

N = 10^{k} α

は整数。

0 < α^{2} < 1

、

(α + 10^{- k})^{2} ≦ 1

なので 2 つ）

(2)

(1) と同じく 2 乗すると、条件は

(p + α)^{2} ≦ m < (p + α + 10^{- k})^{2}

右はしと左はしの差（区間の長さ）は

\frac{2 (p + α)}{10^{k}} + \frac{1}{10^{2 k}}

$p ≧ 5 \cdot 10^{k - 1}$ なら $\frac{2 p}{10^{k}} ≧ 1$ なので、区間の長さは 1 より大きい。

長さが 1 以上の区間（左はしをふくむ）には必ず整数が入る：左はしを切り上げた整数 $m$ をとれば、 $m$ は左はし以上で、左はし＋1 より小さいから右はしより小さい。 $m ≧ (p + α)^{2} > 0$ なので正の整数。これで $m$ が存在する。

なるほど： $5 \cdot 10^{k - 1}$ はぎりぎりの値。 $k = 1$ で $p = 4$ 、 $α = 0.9$ とすると区間は ${4.9}^{2} = 24.01$ から $5^{2} = 25$ （ふくまない）までで、長さ $0.99$ 。整数が 1 つも入らない。 $\sqrt{m}$ の目盛りの間かく（約 $\frac{1}{2 p}$ ）が窓の幅 $10^{- k}$ より広いと、窓をすり抜けてしまう。

答え示すこと：

p ≧ 5 \cdot 10^{k - 1}

なら

m

がある。要点：条件は

(p + α)^{2} ≦ m < (p + α + 10^{- k})^{2}

。この区間の長さは

\frac{2 (p + α)}{10^{k}} + \frac{1}{10^{2 k}} > \frac{2 p}{10^{k}} ≧ 1

なので、左はしを切り上げた整数

m

が区間に入る（

m ≧ 1

）

(3)

あると仮定して矛盾を出す。 $p = [\sqrt{s}]$ とおくと $\sqrt{s} = p + α = p + \frac{N}{10^{k}}$ 。両辺を 2 乗して $10^{2 k}$ をかけると

10^{2 k} s = (10^{k} p + N)^{2} = 10^{2 k} p^{2} + 2 \cdot 10^{k} p N + N^{2}

よって

N^{2} = 10^{2 k} (s - p^{2}) - 2 \cdot 10^{k} p N

右辺はどちらの項も $10^{k}$ で割り切れるので、 $N^{2}$ は $10^{k}$ で割り切れる。 $k ≧ 1$ なので $N^{2}$ は 2 でも 5 でも割り切れ、2 と 5 は素数なので $N$ も 2 と 5 で割り切れる。つまり $N$ は 10 の倍数で、末尾の数字 $a_{k}$ が 0 になってしまう。これは $a_{k} \neq 0$ に反する。

なるほど：(1)(2) で「小数部分が $α$ で始まる」 $\sqrt{m}$ はいくらでも作れる（たとえば $\sqrt{25002017} = 5000.20169 \dots$ ）のに、「ちょうど $α$ で終わる」 $\sqrt{s}$ は 1 つも無い。 $\sqrt{s}$ が有限の小数なら分数になるが、分数になる $\sqrt{s}$ は整数しかない、と言いかえることもできる。

答え示すこと：

\sqrt{s} - [\sqrt{s}] = α

となる正の整数

s

は無い。要点：

p = [\sqrt{s}]

、

α = \frac{N}{10^{k}}

とおくと

10^{2 k} s = (10^{k} p + N)^{2}

。すると

N^{2} = 10^{2 k} (s - p^{2}) - 2 \cdot 10^{k} p N

は

10^{k} (k ≧ 1)

で割り切れ、

N

は 2 でも 5 でも割れて 10 の倍数。これは

a_{k} \neq 0

に反する

第6問　C を通る長さ 2 の線分が、C より上で通る範囲

答えは東大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

線分は必ず C $(0, 0, 1)$ を通り、A は床の上にある。 $z ≧ 1$ の部分は、線分のうち C から B までの部分だけ。A を軸（ $z$ 軸）のまわりに回しても同じ形なので、求める立体は $z$ 軸のまわりの回転体になる。

筋は、高さ $z$ で切った切り口を調べること。切り口は円（または円板）になるはずなので、その半径を高さの式で出し、 $π \times (半径)^{2}$ を高さで積分する。半径を出すには、A の軸からのきょり $r$ を 1 つ決めて、線分の C より上の部分がどこを通るかを式にする。

(答)

A が軸から $r$ はなれているとすると $| A C | = \sqrt{r^{2} + 1}$ 。これが 2 以下でないと C が線分にのらないので $0 ≦ r ≦ \sqrt{3}$ 。

A から C へ向かう向きに進むと、高さが 1 上がるごとに軸へ $r$ 近づく。C を過ぎると反対側へ出て、高さ $1 + t$ では軸から $r t$ の所を通る。C から B までの長さは $2 - \sqrt{r^{2} + 1}$ で、その間に高さは $\frac{2 - \sqrt{r^{2} + 1}}{\sqrt{r^{2} + 1}}$ だけ上がる。だから線分がとどく高さは

t ≦ \frac{2}{\sqrt{r^{2} + 1}} - 1

高さ $1 + t$ （ $t > 0$ ）の切り口で、軸から一番遠い点を考える。軸からのきょりは $r t$ なので、 $r$ をなるべく大きくしたい。ただし上の条件から $\sqrt{r^{2} + 1} ≦ \frac{2}{1 + t}$ 、つまり

r^{2} ≦ \frac{4}{(1 + t)^{2}} - 1

これは $t ≦ 1$ のときだけ意味がある。 $r$ を 0 からこの上限まで動かすと $r t$ も 0 から切れ目なく動くので、切り口は半径 $t \sqrt{\frac{4}{(1 + t)^{2}} - 1}$ の円板。

体積は

V = π \int_{0}^{1} t^{2} (\frac{4}{(1 + t)^{2}} - 1) d t

$u = 1 + t$ とおくと $\int_{0}^{1} \frac{t^{2}}{(1 + t)^{2}} d t = \int_{1}^{2} (1 - \frac{2}{u} + \frac{1}{u^{2}}) d u = \frac{3}{2} - 2 \log 2$ 。

V = π (4 (\frac{3}{2} - 2 \log 2) - \frac{1}{3}) = π (\frac{17}{3} - 8 \log 2)

およそ $0.3817$ 。

なるほど：切り口の一番外（半径が上限になる所）は、ちょうど先たん B の位置になっている。つまり立体のふちは B の通る道そのもの。 $r = 0$ なら線分はまっすぐ立って B は高さ 2、 $r = \sqrt{3}$ なら $| A C | = 2$ で B は C に重なる。切り口が一番広いのは $(1 + t)^{3} = 4$ の高さ $z = \sqrt[3]{4} ≒ 1.587$ で、半径は約 $0.450$ 。

答え

π (\frac{17}{3} - 8 \log 2)

（A が軸から

r

なら

| A C | = \sqrt{r^{2} + 1} ≦ 2

。C より上の部分は、高さ

1 + t

で軸から

r t

の所を

t ≦ \frac{2}{\sqrt{r^{2} + 1}} - 1

まで通る。高さ

1 + t (0 ≦ t ≦ 1)

の切り口は半径

t \sqrt{\frac{4}{(1 + t)^{2}} - 1}

の円。

V = π \int_{0}^{1} t^{2} (\frac{4}{(1 + t)^{2}} - 1) d t = π (6 - 8 \log 2 - \frac{1}{3})

）

東大過去問 2016年数学｜AI解答・解説・シミュレーション｜アトリエファクトリー

このページの出典

問題・出題の意図・東京大学の解答例（東京大学の公表資料）

東京大学の利用規定について

解答とシミュレーション（AIで作成）

制作

修正履歴

お知らせ（2026年10月4日）

第1問　(1＋1/x) の x 乗と x＋1/2 乗で、e をはさむ

問題の読み方

(答)

第2問　2 連勝で優勝：勝つチームの順番は A→C→B→A… と回る

問題の読み方

(1)

(2)

第3問　Q から 3 点を通して床にうつした三角形の、一番小さい面積

問題の読み方

(答)

第4問　1, z, z² が鋭角三角形になる z は、帯から円をくりぬいた形

問題の読み方

(答)

第5問　√m の小数部分は、どんな小数ででも始められる

問題の読み方

(1)

(2)

(3)

第6問　C を通る長さ 2 の線分が、C より上で通る範囲

問題の読み方

(答)

東大 過去問 2016年 数学｜AI解答・解説・シミュレーション｜アトリエファクトリー

第1問 (1＋1/x) の x 乗と x＋1/2 乗で、e をはさむ

問題の読み方

(答)

第2問 2 連勝で優勝：勝つチームの順番は A→C→B→A… と回る

問題の読み方

(1)

(2)

第3問 Q から 3 点を通して床にうつした三角形の、一番小さい面積

問題の読み方

(答)

第4問 1, z, z² が鋭角三角形になる z は、帯から円をくりぬいた形

問題の読み方

(答)

第5問 √m の小数部分は、どんな小数ででも始められる

問題の読み方

(1)

(2)

(3)

第6問 C を通る長さ 2 の線分が、C より上で通る範囲

問題の読み方

(答)

東大過去問 2016年数学｜AI解答・解説・シミュレーション｜アトリエファクトリー

第1問　(1＋1/x) の x 乗と x＋1/2 乗で、e をはさむ

第2問　2 連勝で優勝：勝つチームの順番は A→C→B→A… と回る

第3問　Q から 3 点を通して床にうつした三角形の、一番小さい面積

第4問　1, z, z² が鋭角三角形になる z は、帯から円をくりぬいた形

第5問　√m の小数部分は、どんな小数ででも始められる

第6問　C を通る長さ 2 の線分が、C より上で通る範囲