東大過去問 2013年数学｜AI解答・解説・シミュレーション

東大過去問 2013年数学｜AI解答・解説・シミュレーション｜アトリエファクトリー

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第1問

　実数 $a$ ， $b$ に対し平面上の点 $P_{n} (x_{n}, y_{n})$ を

(x_{0}, y_{0}) = (1, 0)

(x_{n + 1}, y_{n + 1}) = (a x_{n} - b y_{n}, b x_{n} + a y_{n}) (n = 0, 1, 2, \dots)

によって定める。このとき，次の条件 (i)，(ii) がともに成り立つような $(a, b)$ をすべて求めよ。

　(i)　 $P_{0} = P_{6}$

　(ii)　 $P_{0}, P_{1}, P_{2}, P_{3}, P_{4}, P_{5}$ は相異なる。

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第2問

　 $a$ を実数とし， $x > 0$ で定義された関数 $f (x)$ ， $g (x)$ を次のように定める。

f (x) = \frac{\cos x}{x}

g (x) = \sin x + a x

　このとき $y = f (x)$ のグラフと $y = g (x)$ のグラフが $x > 0$ において共有点をちょうど $3$ つ持つような $a$ をすべて求めよ。

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第3問

　 $A$ ， $B$ の $2$ 人がいる。投げたとき表裏の出る確率がそれぞれ $\frac{1}{2}$ のコインが $1$ 枚あり，最初は $A$ がそのコインを持っている。次の操作を繰り返す。

　(i)　 $A$ がコインを持っているときは，コインを投げ，表が出れば $A$ に $1$ 点を与え，コインは $A$ がそのまま持つ。裏が出れば，両者に点を与えず， $A$ はコインを $B$ に渡す。

　(ii)　 $B$ がコインを持っているときは，コインを投げ，表が出れば $B$ に $1$ 点を与え，コインは $B$ がそのまま持つ。裏が出れば，両者に点を与えず， $B$ はコインを $A$ に渡す。

　そして $A$ ， $B$ のいずれかが $2$ 点を獲得した時点で， $2$ 点を獲得した方の勝利とする。たとえば，コインが表，裏，表，表と出た場合，この時点で $A$ は $1$ 点， $B$ は $2$ 点を獲得しているので $B$ の勝利となる。

（1）　 $A$ ， $B$ あわせてちょうど $n$ 回コインを投げ終えたときに $A$ の勝利となる確率 $p (n)$ を求めよ。

（2）　 $\sum_{n = 1}^{\infty} p (n)$ を求めよ。

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第4問

　 $△ A B C$ において $∠ B A C = 90^{\circ}$ ， $| \vec{A B} | = 1$ ， $| \vec{A C} | = \sqrt{3}$ とする。 $△ A B C$ の内部の点 $P$ が

\frac{\vec{P A}}{| \vec{P A} |} + \frac{\vec{P B}}{| \vec{P B} |} + \frac{\vec{P C}}{| \vec{P C} |} = \vec{0}

を満たすとする。

（1）　 $∠ A P B$ ， $∠ A P C$ を求めよ。

（2）　 $| \vec{P A} |$ ， $| \vec{P B} |$ ， $| \vec{P C} |$ を求めよ。

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第5問

　次の命題 $P$ を証明したい。

　命題 $P$ 　次の条件 (a)，(b) をともに満たす自然数（ $1$ 以上の整数） $A$ が存在する。

　(a)　 $A$ は連続する $3$ つの自然数の積である。

　(b)　 $A$ を $10$ 進法で表したとき， $1$ が連続して $99$ 回以上現れるところがある。

　以下の問いに答えよ。

（1）　 $y$ を自然数とする。このとき不等式

x^{3} + 3 y x^{2} < (x + y - 1) (x + y) (x + y + 1) < x^{3} + (3 y + 1) x^{2}

　が成り立つような正の実数 $x$ の範囲を求めよ。

（2）　命題 $P$ を証明せよ。

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第6問

　座標空間において， $x y$ 平面内で不等式 $| x | ≦ 1$ ， $| y | ≦ 1$ により定まる正方形 $S$ の $4$ つの頂点を $A (- 1, 1, 0)$ ， $B (1, 1, 0)$ ， $C (1, - 1, 0)$ ， $D (- 1, - 1, 0)$ とする。正方形 $S$ を，直線 $B D$ を軸として回転させてできる立体を $V_{1}$ ，直線 $A C$ を軸として回転させてできる立体を $V_{2}$ とする。

（1）　 $0 ≦ t < 1$ を満たす実数 $t$ に対し，平面 $x = t$ による $V_{1}$ の切り口の面積を求めよ。

（2）　 $V_{1}$ と $V_{2}$ の共通部分の体積を求めよ。

第1問　回して r 倍する点：6 回でもとの場所にもどるには？

答えは東大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

点をうつす決まり $(x, y) \to (a x - b y, b x + a y)$ をくり返して、 $P_{0}, P_{1}, P_{2}, \dots$ を作る。6 回目でもとの点にもどり（条件 (i)）、しかも途中の 6 点がばらばら（条件 (ii)）になる $(a, b)$ を探す。

筋は 1 つ。この決まりは複素数のかけ算そのものだと気づくこと。 $z_{n} = x_{n} + y_{n} i$ とおくと

(a + b i) (x_{n} + y_{n} i) = (a x_{n} - b y_{n}) + (b x_{n} + a y_{n}) i = z_{n + 1}

なので、 $w = a + b i$ として $z_{n + 1} = w z_{n}$ 、 $z_{0} = 1$ から $z_{n} = w^{n}$ 。図形で言うと「原点のまわりに $w$ の偏角（向きの角） $θ$ だけ回して、原点からの距離を $| w | = r$ 倍する」をくり返している。

(答)

条件を $w$ の言葉に直す。(i) $P_{0} = P_{6}$ は $w^{6} = 1$ 。(ii) $P_{0}, \dots, P_{5}$ が相異なるのは、 $0 ≦ j < k ≦ 5$ で $w^{j} \neq w^{k}$ 、つまり $w^{j} (w^{k - j} - 1) \neq 0$ 。 $w^{6} = 1$ なら $w \neq 0$ なので、これは

w^{m} \neq 1 (m = 1, 2, 3, 4, 5)

と同じ。6 乗して初めて 1 になる $w$ を探せばよい。

$w^{6} = 1$ の両辺の絶対値から $r^{6} = 1$ 、 $r > 0$ なので $r = 1$ 。偏角は $6 θ$ が $2 π$ の整数倍なので、 $w = \cos \frac{k π}{3} + i \sin \frac{k π}{3}$ （ $k = 0, 1, \dots, 5$ ）の 6 個。円を 6 等分した点である。

このうち、もっと早く 1 にもどるものを除く。 $k = 0$ （ $w = 1$ ）は 1 回で、 $k = 3$ （ $w = - 1$ ）は 2 回で、 $k = 2, 4$ （ $w^{3} = 1$ の解）は 3 回でもどってしまう。残るのは $k = 1, 5$ 、つまり $θ = \pm \frac{π}{3}$ 。 $a = \cos θ$ 、 $b = \sin θ$ に戻すと、 $a = \frac{1}{2}$ 、 $b = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

このとき $P_{0}$ 〜 $P_{5}$ は半径 1 の円に内接する正六角形の頂点で、たしかにばらばら。条件 (i) だけなら 6 組あり、(ii) が 4 組を落としている。6 は 1, 2, 3, 6 で割れるので「途中でもどる回り方」が多く、残るのは 2 組だけになる。

答え

(a

b) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})

(\frac{1}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2})

（

z_{n} = x_{n} + y_{n} i

とおくと

z_{n + 1} = (a + b i) z_{n}

なので

z_{n} = w^{n}

w = a + b i

。(i) は

w^{6} = 1

、(ii) は

w^{k} \neq 1 (k = 1

\dots

5)

。

w^{6} = 1

の 6 個の解のうち、

w = \pm 1

w^{3} = 1

のものを除いた

w = \cos \frac{π}{3} \pm i \sin \frac{π}{3}

）

第2問　cos x / x と sin x ＋ ax：共有点がちょうど 3 つになる a

答えは東大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

2 つのグラフの共有点の数を数える問題。 $f (x) = g (x)$ のまま考えると、 $a$ を変えるたびに両方のグラフの形を追うことになって大変。

そこで文字 $a$ を切り離す。 $x > 0$ なので両辺に $x^{2}$ をかけても同じ意味のまま、

\frac{\cos x}{x} = \sin x + a x ⟺ a = \frac{\cos x - x \sin x}{x^{2}}

右辺を $h (x)$ とおくと、共有点の数は「 $y = h (x)$ のグラフと、横線 $y = a$ が交わる点の数」と同じになる。あとは $h$ のグラフの形（山と谷の位置と高さ）を調べればよい。

(答)

$h (x) = \frac{\cos x}{x^{2}} - \frac{\sin x}{x}$ を微分する。

h^{'} (x) = (- \frac{\sin x}{x^{2}} - \frac{2 \cos x}{x^{3}}) + (- \frac{\cos x}{x} + \frac{\sin x}{x^{2}}) = - \frac{(x^{2} + 2) \cos x}{x^{3}}

$x^{2} + 2 > 0$ 、 $x^{3} > 0$ なので、 $h^{'}$ の符号は $- \cos x$ の符号と同じ。 $h$ は $0 < x < \frac{π}{2}$ で減り、 $\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ で増え、…と、 $x = \frac{π}{2} + k π$ ごとに谷と山を交互にとる。

山・谷では $\cos x = 0$ なので、高さは $h = - \frac{\sin x}{x}$ 。順に

- \frac{2}{π}, \frac{2}{3 π}, - \frac{2}{5 π}, \frac{2}{7 π}, - \frac{2}{9 π}, \dots

谷は負、山は正で、どちらも 0 に近づいていく。また $x \to + 0$ で $\cos x - x \sin x \to 1$ 、 $x^{2} \to 0$ なので $h \to + \infty$ 。

これで横線 $y = a$ との交点を数える。 $a > 0$ のとき：最初の下り坂（ $+ \infty$ から $- \frac{2}{π}$ まで）で必ず 1 個。そのあと、 $a$ より高い山が 1 つあるごとに、上りと下りで 2 個ずつ増える。3 個になるのは「 $a$ より高い山がちょうど 1 つ」、つまり

\frac{2}{7 π} < a < \frac{2}{3 π}

（ $a = \frac{2}{3 π}$ なら山の頂上にふれて 2 個、 $a = \frac{2}{7 π}$ なら 4 個になる）。

$a < 0$ のとき： $a$ より低い谷が 1 つあるごとに、下りと上りで 2 個。だから数はふつう偶数になり、奇数になるのは横線が谷の底にちょうどふれるときだけ。3 個は「低い谷が 1 つ（ $- \frac{2}{π}$ ）＋ 2 つ目の谷 $- \frac{2}{5 π}$ にふれる 1 個」で、 $a = - \frac{2}{5 π}$ のとき。

$a = 0$ は $\cos x = x \sin x$ の解が無数にあるので当てはまらない。「ちょうど 3 つ」は正の側の区間と、負の側のただ 1 点、というのがこの問題の面白いところ。

答え

a = - \frac{2}{5 π}

\frac{2}{7 π} < a < \frac{2}{3 π}

（

f = g ⟺ a = h (x) = \frac{\cos x - x \sin x}{x^{2}}

。

h^{'} (x) = - \frac{(x^{2} + 2) \cos x}{x^{3}}

より

h

は

x \to + 0

で

+ \infty

から、

x = \frac{π}{2} + k π

で谷と山を交互にとり、その高さは

\frac{(- 1)^{k + 1}}{\frac{π}{2} + k π}

：

- \frac{2}{π}

\frac{2}{3 π}

- \frac{2}{5 π}

\frac{2}{7 π}

\dots

。横線

y = a

との交点が 3 個になるのはこの 2 通り）

第3問　表なら 1 点、裏なら相手に渡す：先に 2 点とるのは？

答えは東大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

コインを持っている人が投げ、表ならその人に 1 点、裏ならコインを相手に渡す。先に 2 点とった方が勝ち。ポイントは、誰がコインを持っているかは「それまでの裏の回数」だけで決まること。裏が偶数回なら A、奇数回なら B が持っている。

だから表・裏の並びを、裏で区切ったかたまりで見るとよい。裏を $2 m$ 回はさむと、かたまりは $2 m + 1$ 個できて、A の番・B の番・A の番・…・A の番と交互に並ぶ（A の番が $m + 1$ 個、B の番が $m$ 個）。それぞれのかたまりの中の表が、その番の人の点になる。

表・裏の出方はどれも同じ確率なので、長さ $n$ の並びは 1 つ $\frac{1}{2^{n}}$ 。(1) は「条件に合う並びの数」を数える問題になる。(2) はそれを無限に足す。

(1)

ちょうど $n$ 回目で A が勝つのは、 $n$ 回目に A がコインを持っていて表が出て、それで 2 点目になるとき。だから最初の $n - 1$ 回は

・裏が偶数回（ $2 m$ 回）…… $n$ 回目に A が持っているため

・A の表がちょうど 1 回…… $n$ 回目で 2 点目になるため

・B の表が 0 回か 1 回……それより前に B が勝っていないため

となっている。

B の表が 0 回のとき： $n - 1 = 2 m + 1$ 、つまり $n = 2 m + 2$ （偶数）。A の表 1 回を、A の番 $m + 1$ 個のどこに入れるかで $m + 1 = \frac{n}{2}$ 通り。確率は

p (n) = \frac{n}{2} \cdot \frac{1}{2^{n}} = \frac{n}{2^{n + 1}}

B の表が 1 回のとき： $n - 1 = 2 m + 2$ 、つまり $n = 2 m + 3$ （奇数）。A の表の入れ方 $m + 1$ 通り、B の表の入れ方 $m$ 通りで $(m + 1) m = \frac{n - 1}{2} \cdot \frac{n - 3}{2}$ 通り。確率は

p (n) = \frac{(n - 1) (n - 3)}{4} \cdot \frac{1}{2^{n}} = \frac{(n - 1) (n - 3)}{2^{n + 2}}

$n = 1$ と $n = 3$ ではこの式は 0 になる。たとえば $n = 3$ だと、前の 2 回が「表表」なら 2 回目で A が勝ってしまい、「裏裏」なら A に点が無い。偶数と奇数で式が分かれるのは、B の表の回数（0 か 1）で $n$ の偶奇が決まるから。

答え

p (n) = \frac{n}{2^{n + 1}} (n

が偶数

)

p (n) = \frac{(n - 1) (n - 3)}{2^{n + 2}} (n

が奇数

)

（

n

回目は A の表。前の

n - 1

回は裏が偶数

2 m

回、A の表 1 回、B の表

b

回（

b = 0

1

）。裏で区切られた A の番

m + 1

個・B の番

m

個に表を入れる。

b = 0

なら

n = 2 m + 2

で

m + 1

通り、

b = 1

なら

n = 2 m + 3

で

(m + 1) m

通り。どれも確率

\frac{1}{2^{n}}

）

(2)

(1) の式を偶数と奇数に分けて足す。偶数 $n = 2 k$ （ $k ≧ 1$ ）の部分は

\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{2 k}{2^{2 k + 1}} = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{k}{4^{k}}

奇数 $n = 2 m + 3$ （ $m ≧ 1$ ）の部分は

\sum_{m = 1}^{\infty} \frac{(2 m + 2) (2 m)}{2^{2 m + 5}} = \frac{1}{8} \sum_{m = 1}^{\infty} m (m + 1) {(\frac{1}{4})}^{m}

$\sum_{k ≧ 1} k x^{k} = \frac{x}{(1 - x)^{2}}$ 、 $\sum_{m ≧ 1} m (m + 1) x^{m} = \frac{2 x}{(1 - x)^{3}}$ （ $| x | < 1$ 。等比数列の和の公式を微分して作るか、 $S - x S$ の形の引き算をくり返して出す）に $x = \frac{1}{4}$ を入れると

\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{k}{4^{k}} = \frac{\frac{1}{4}}{{(\frac{3}{4})}^{2}} = \frac{4}{9}, \frac{1}{8} \cdot \frac{2 \cdot \frac{1}{4}}{{(\frac{3}{4})}^{3}} = \frac{1}{8} \cdot \frac{32}{27} = \frac{4}{27}

合わせて $\frac{4}{9} + \frac{4}{27} = \frac{16}{27}$ 。B が勝つ確率は $\frac{11}{27}$ で、合わせて 1（ゲームはいつかは必ず終わる）。最初にコインを持っている A のほうが有利になっている。

答え

\sum_{n = 1}^{\infty} p (n) = \frac{16}{27}

（偶数の和

\sum_{k ≧ 1} \frac{k}{4^{k}} = \frac{4}{9}

、奇数の和

\sum_{m ≧ 1} \frac{m (m + 1)}{2^{2 m + 3}} = \frac{1}{8} \cdot \frac{32}{27} = \frac{4}{27}

）

第4問　3 つの向きの矢印の和が 0：その点から見ると 120° ずつ

答えは東大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

$\frac{\vec{P A}}{| \vec{P A} |}$ は、P から A への向きの長さ 1 のベクトル（単位ベクトル）。条件は「P から A, B, C へ向く長さ 1 の矢印を 3 本足すと 0」ということ。

(1) は、この 3 本の矢印どうしの角を内積で出す。(2) は、(1) で分かった角を使って、P のまわりの 3 つの三角形に余弦定理を立てる。三角形 ABC は $∠ A = 90^{\circ}$ 、 $A B = 1$ 、 $A C = \sqrt{3}$ なので、斜辺は $B C = 2$ （30°・60°・90° の三角形）。

(1)

3 本の単位ベクトルを $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ とおく。条件は $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$ 、つまり

\vec{a} + \vec{b} = - \vec{c}

両辺の長さの 2 乗をとる。 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = | \vec{c} | = 1$ なので

1 + 2 \vec{a} \cdot \vec{b} + 1 = 1 ⟹ \vec{a} \cdot \vec{b} = - \frac{1}{2}

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \cos ∠ A P B$ なので $∠ A P B = \frac{2}{3} π$ （120°）。

同じように $\vec{a} + \vec{c} = - \vec{b}$ から $\vec{a} \cdot \vec{c} = - \frac{1}{2}$ で、 $∠ A P C = \frac{2}{3} π$ 。残りの $∠ B P C$ も 120° で、P から見ると 3 つの頂点が 120° ずつの向きにある。

長さ 1 の矢印 2 本の和が、また長さ 1 になるのは、2 本の間が 120° のときだけ、と言いかえてもよい。なお、この P は $P A + P B + P C$ を一番小さくする点でもある（3 本の矢印の和が、この和の「坂の向き」になっている）。

答え

∠ A P B = ∠ A P C = \frac{2}{3} π (120^{\circ})

（単位ベクトルを

\vec{a}

\vec{b}

\vec{c}

とすると

\vec{a} + \vec{b} = - \vec{c}

。両辺の長さの 2 乗から

2 + 2 \vec{a} \cdot \vec{b} = 1

、

\vec{a} \cdot \vec{b} = - \frac{1}{2}

。同じく

\vec{a} \cdot \vec{c} = - \frac{1}{2}

）

(2)

$x = P A$ 、 $y = P B$ 、 $z = P C$ とおく。P のまわりの 3 つの三角形はどれも P の角が 120°（ $\cos 120^{\circ} = - \frac{1}{2}$ ）なので、余弦定理は

x^{2} + x y + y^{2} = 1, x^{2} + x z + z^{2} = 3, y^{2} + y z + z^{2} = 4

（右辺は ${A B}^{2}$ 、 ${A C}^{2}$ 、 ${B C}^{2}$ ）。

3 つの三角形の面積の和が三角形 ABC の面積 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ なので、 $\frac{1}{2} \sin 120^{\circ} (x y + y z + z x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ より $x y + y z + z x = 2$ 。3 つの式を足すと $2 (x^{2} + y^{2} + z^{2}) + (x y + y z + z x) = 8$ なので $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 3$ 。よって

(x + y + z)^{2} = 3 + 2 \cdot 2 = 7, x + y + z = \sqrt{7}

次に式どうしを引く。2 つ目から 1 つ目を引くと $z^{2} - y^{2} + x (z - y) = 2$ 、つまり $(z - y) (x + y + z) = 2$ 。3 つ目から 1 つ目を引くと $(z - x) (x + y + z) = 3$ 。 $x + y + z = \sqrt{7}$ を入れて

z - y = \frac{2}{\sqrt{7}}, z - x = \frac{3}{\sqrt{7}}

これと $x + y + z = \sqrt{7}$ から $3 z = \sqrt{7} + \frac{5}{\sqrt{7}} = \frac{12}{\sqrt{7}}$ 、 $z = \frac{4}{\sqrt{7}}$ 、 $y = \frac{2}{\sqrt{7}}$ 、 $x = \frac{1}{\sqrt{7}}$ 。 $P A : P B : P C = 1 : 2 : 4$ というきれいな比になる。

$x + y + z = \sqrt{7}$ は、図でも見える。三角形 BPC を B のまわりに外側へ 60° 回して BP′C′ にすると、BPP′ は正三角形なので $P P^{'} = P B$ 、また $P^{'} C^{'} = P C$ 。P の角が 120° ずつなので A, P, P′, C′ は一直線に並び、 $P A + P B + P C = A C^{'} = \sqrt{7}$ になる。

答え

| \vec{P A} | = \frac{\sqrt{7}}{7}

| \vec{P B} | = \frac{2 \sqrt{7}}{7}

| \vec{P C} | = \frac{4 \sqrt{7}}{7}

（

x = P A

y = P B

z = P C

として 120° の余弦定理

x^{2} + x y + y^{2} = 1

x^{2} + x z + z^{2} = 3

y^{2} + y z + z^{2} = 4

。面積から

x y + y z + z x = 2

、合わせて

(x + y + z)^{2} = 7

。引き算で

(z - y) (x + y + z) = 2

(z - x) (x + y + z) = 3

）

第5問　連続する 3 つの数の積に、1 が 99 個ならぶ

答えは東大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

「連続する 3 つの自然数の積」で、10 進法で書くと 1 が 99 個以上続くものがある、を示す問題。1 つ実際に作ってみせればよい（存在の証明）。

作り方の筋は、大きな数 $x$ に小さな数 $y$ を足して 3 つかけると、 $x^{3} + 3 y x^{2}$ に近くなること。 $x = 10^{e}$ のような「1 のあとに 0 が並ぶ数」にすると、 $x^{3} + 3 y x^{2}$ は $3 y$ の字がそのまま途中に出てくる数になる。(1) の不等式は、積がその値から「下のけたにしか影響しないくらい」しかずれない、ということを保証する道具。

(1)

真ん中の積は、 $u = x + y$ とおくと $(u - 1) u (u + 1) = u^{3} - u$ 。展開すると

(x + y)^{3} - (x + y) = x^{3} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x + y^{3} - x - y

左の不等式は、両辺から $x^{3} + 3 y x^{2}$ を引いて

(3 y^{2} - 1) x + y^{3} - y > 0

$y$ は自然数なので $3 y^{2} - 1 ≧ 2 > 0$ 、 $y^{3} - y = y (y - 1) (y + 1) ≧ 0$ 。だからどの $x > 0$ でも成り立つ。

右の不等式は、 $x^{3} + (3 y + 1) x^{2}$ から真ん中を引いて

x^{2} - (3 y^{2} - 1) x - (y^{3} - y) > 0

左辺を 0 とおいた 2 次方程式の 2 つの解の積は $- (y^{3} - y) ≦ 0$ なので、小さい方の解は 0 以下、大きい方の解は正。正の $x$ で成り立つのは大きい方の解より右：

x > \frac{3 y^{2} - 1 + \sqrt{(3 y^{2} - 1)^{2} + 4 (y^{3} - y)}}{2}

根号の中を展開すると $9 y^{4} + 4 y^{3} - 6 y^{2} - 4 y + 1$ 。 $y = 1$ なら $x^{2} - 2 x > 0$ で $x > 2$ 。境目は $y$ が大きいとほぼ $3 y^{2}$ になる。

答え

x > \frac{3 y^{2} - 1 + \sqrt{9 y^{4} + 4 y^{3} - 6 y^{2} - 4 y + 1}}{2}

（

(x + y - 1) (x + y) (x + y + 1) = (x + y)^{3} - (x + y)

。左の不等式は

(3 y^{2} - 1) x + y^{3} - y > 0

で、

y ≧ 1

ならどの

x > 0

でも成り立つ。右の不等式は

x^{2} - (3 y^{2} - 1) x - (y^{3} - y) > 0

で、2 つの解の積が

- (y^{3} - y) ≦ 0

なので大きい方の解より右。

y = 1

なら

x > 2

）

(2)

1 が 99 個並んだ数 $\underset{99}{\underset{⏟}{11 \dots 1}}$ は、字の和が 99 で 3 の倍数なので 3 で割り切れる。そこで

3 y = \underset{99}{\underset{⏟}{11 \dots 1}}

となる自然数 $y$ をとる。 $x = 10^{200}$ が (1) の範囲に入ることを、目安ではなくきちんと確かめる。(1) の右の不等式の左辺 $x^{2} - (3 y^{2} - 1) x - (y^{3} - y)$ に $x = 4 y^{2}$ を入れると

16 y^{4} - (3 y^{2} - 1) \cdot 4 y^{2} - (y^{3} - y) = y^{3} (4 y - 1) + 4 y^{2} + y > 0

正の $x$ でこれが正になるのは境目より右だけなので、境目は $4 y^{2}$ より小さい。さらに $3 y < \frac{10^{99}}{9}$ より $y < \frac{10^{99}}{27}$ なので

4 y^{2} < \frac{4 \cdot 10^{198}}{729} < 10^{196} < 10^{200}

よって $x = 10^{200}$ は (1) の範囲に入る。

(1) の不等式から

10^{600} + 3 y \cdot 10^{400} < (x + y - 1) (x + y) (x + y + 1) < 10^{600} + (3 y + 1) \cdot 10^{400}

真ん中の数を $A$ とすると、 $A = 10^{600} + 3 y \cdot 10^{400} + r$ 、 $0 < r < 10^{400}$ と書ける。 $r$ は下の 400 けたの中におさまり、 $3 y \cdot 10^{400}$ の字（下から 401〜499 けた目の 1 が 99 個）にはくり上がりがとどかない。

$A$ は連続する 3 つの自然数 $x + y - 1, x + y, x + y + 1$ の積で（ $x + y - 1 ≧ 1$ ）、10 進法で 1 が 99 個続く所があるので、命題 P が成り立つ。 $x$ を十分大きくとる、というのが (1) の役目で、 $x$ が小さすぎるとくり上がりで 1 の列がくずれる。

答え示すこと：条件 (a)(b) をともに満たす

A

がある。要点：

3 y = \underset{99}{\underset{⏟}{11 \dots 1}}

（字の和 99 が 3 の倍数なので

y

は自然数）、

x = 10^{200}

とすると

x

は (1) の範囲に入る（(1) の右の不等式の左辺に

x = 4 y^{2}

を入れると

y^{3} (4 y - 1) + 4 y^{2} + y > 0

なので境目は

4 y^{2}

より小さく、

y < \frac{10^{99}}{27}

より

4 y^{2} < \frac{4 \cdot 10^{198}}{729} < 10^{196}

）。

A = (x + y - 1) (x + y) (x + y + 1)

は

10^{600} + 3 y \cdot 10^{400} < A < 10^{600} + (3 y + 1) \cdot 10^{400}

なので、

A = 10^{600} + 3 y \cdot 10^{400} + r (0 < r < 10^{400})

。下から 401〜499 けた目が 3y の字＝1 が 99 個

第6問　正方形を対角線のまわりに回した立体を、x = t で切る

答えは東大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

正方形 S を対角線 BD のまわりに回すと、どんな立体になるか。S は BD について左右対称で、BD 上の位置ごとに、BD に垂直な方向の幅が決まっている。回すとその幅が半径の円になるので、V1 は頂点 B と D をとがった先とし、真ん中（原点）で半径 $\sqrt{2}$ になる円すい 2 つをつないだ形。

式にするため、点 $(x, y, z)$ の「軸 BD の上の位置」と「軸からの距離」を使う。軸の向きは $\frac{1}{\sqrt{2}} (1, 1, 0)$ なので、軸の上の位置は $\frac{x + y}{\sqrt{2}}$ 、軸からの距離の 2 乗は $x^{2} + y^{2} + z^{2} - \frac{(x + y)^{2}}{2} = \frac{(x - y)^{2}}{2} + z^{2}$ 。円すいの半径は「 $\sqrt{2} -$ （中心からの位置の大きさ）」なので

\sqrt{\frac{(x - y)^{2}}{2} + z^{2}} ≦ \sqrt{2} - \frac{| x + y |}{\sqrt{2}} ⟺ \sqrt{(x - y)^{2} + 2 z^{2}} ≦ 2 - | x + y |

V2 は AC（向き $\frac{1}{\sqrt{2}} (1, - 1, 0)$ ）のまわりなので、 $x + y$ と $x - y$ を入れかえた式になる。

(1)

平面 $x = t$ の上で、点 $(t, y, z)$ が V1 に入る条件を $y, z$ の式にする。両辺を 2 乗して（右辺が 0 以上のとき）

2 z^{2} ≦ (2 - | t + y |)^{2} - (t - y)^{2}

右辺が 0 以上になるのは $| t + y | + | t - y | ≦ 2$ 、つまり $| y | ≦ 1$ のとき（ $0 ≦ t < 1$ ）。（ $2 - | t + y | ≧ 0$ は $| y | ≦ 1$ で成り立つ。もう1つの場合 $| t + y | - 2 ≧ | t - y |$ は、 $| t + y | - | t - y | ≦ 2 t < 2$ なので起きない。だから 2 乗した右辺が 0 以上になるのはこのときだけ）

絶対値をはずす。 $y ≧ - t$ なら $| t + y | = t + y$ で、右辺は $(2 - t - y)^{2} - (t - y)^{2} = (2 - 2 t) (2 - 2 y)$ 。 $y ≦ - t$ なら $(2 + t + y)^{2} - (t - y)^{2} = (2 + 2 y) (2 + 2 t)$ 。まとめると切り口のふちは

z^{2} = 2 (1 - t) (1 - y) (y ≧ - t), z^{2} = 2 (1 + t) (1 + y) (y ≦ - t)

の 2 本の放物線で、 $y = - t$ でつながる。

面積は、 $z$ の幅 $2 \sqrt{\dots}$ を $y$ で積分する：

\int_{- t}^{1} 2 \sqrt{2 (1 - t)} \sqrt{1 - y} d y + \int_{- 1}^{- t} 2 \sqrt{2 (1 + t)} \sqrt{1 + y} d y

$\int_{- t}^{1} \sqrt{1 - y} d y = \frac{2}{3} (1 + t)^{\frac{3}{2}}$ 、 $\int_{- 1}^{- t} \sqrt{1 + y} d y = \frac{2}{3} (1 - t)^{\frac{3}{2}}$ なので

\frac{4 \sqrt{2}}{3} {\sqrt{1 - t} (1 + t)^{\frac{3}{2}} + \sqrt{1 + t} (1 - t)^{\frac{3}{2}}} = \frac{4 \sqrt{2}}{3} \sqrt{1 - t^{2}} {(1 + t) + (1 - t)}

これを整理すると $\frac{8 \sqrt{2}}{3} \sqrt{1 - t^{2}}$ 。円すいの側面のまっすぐな線は軸と 45°、平面 $x = t$ も軸と 45° なので、円すいを側面の線と平行な平面で切っている。だからふちが放物線になる。 $- 1$ から $1$ まで積分すると $\frac{4 \sqrt{2}}{3} π$ で、円すい 2 つの体積と合う。

答え

\frac{8 \sqrt{2}}{3} \sqrt{1 - t^{2}}

（V1 は B, D を先とする円すい 2 つ：

\sqrt{(x - y)^{2} + 2 z^{2}} ≦ 2 - | x + y |

。

x = t

で切ると、ふちは

y ≧ - t

で

z^{2} = 2 (1 - t) (1 - y)

、

y ≦ - t

で

z^{2} = 2 (1 + t) (1 + y)

（

| y | ≦ 1

）。面積

\int_{- t}^{1} 2 \sqrt{2 (1 - t) (1 - y)} d y + \int_{- 1}^{- t} 2 \sqrt{2 (1 + t) (1 + y)} d y

）

(2)

V2 は V1 を $y \to - y$ で裏返したもの（軸 BD が AC にうつる）。だから平面 $x = t$ での V2 の切り口のふちは

z^{2} = 2 (1 - t) (1 + y) (y ≦ t), z^{2} = 2 (1 + t) (1 - y) (y ≧ t)

共通部分のふちは、2 つのうち小さいほう。 $0 ≦ y ≦ t$ では V1 が $2 (1 - t) (1 - y)$ 、V2 が $2 (1 - t) (1 + y)$ 。 $y ≧ t$ では V1 が $2 (1 - t) (1 - y)$ 、V2 が $2 (1 + t) (1 - y)$ 。どちらも V1 のほうが小さい。 $y < 0$ も左右対称なので、共通部分のふちは

z^{2} = 2 (1 - t) (1 - | y |)

面積は $2 \int_{0}^{1} 2 \sqrt{2 (1 - t)} \sqrt{1 - y} d y = \frac{8 \sqrt{2}}{3} \sqrt{1 - t}$ 。

$x \to - x$ とすると V1 と V2 が入れかわるので、共通部分は $x = 0$ について対称。体積は

2 \int_{0}^{1} \frac{8 \sqrt{2}}{3} \sqrt{1 - t} d t = 2 \cdot \frac{8 \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{2}{3}

$t = 0$ では 2 つの切り口がぴったり同じで、 $t$ が 1 に近づくほど共通部分は V1 より細くなる。

答え

\frac{32 \sqrt{2}}{9}

（V2 の切り口は V1 の切り口を

y \to - y

と裏返したもの。

0 ≦ t < 1

では共通部分のふちは

z^{2} = 2 (1 - t) (1 - | y |)

で、面積

\frac{8 \sqrt{2}}{3} \sqrt{1 - t}

。

x \to - x

で V1 と V2 が入れかわるので、体積は

2 \int_{0}^{1} \frac{8 \sqrt{2}}{3} \sqrt{1 - t} d t = \frac{32 \sqrt{2}}{9}

）

東大過去問 2013年数学｜AI解答・解説・シミュレーション｜アトリエファクトリー

このページの出典

問題・出題の意図・東京大学の解答例（東京大学の公表資料）

東京大学の利用規定について

解答とシミュレーション（AIで作成）

制作

修正履歴

お知らせ（2026年10月4日）

第1問　回して r 倍する点：6 回でもとの場所にもどるには？

問題の読み方

(答)

第2問　cos x / x と sin x ＋ ax：共有点がちょうど 3 つになる a

問題の読み方

(答)

第3問　表なら 1 点、裏なら相手に渡す：先に 2 点とるのは？

問題の読み方

(1)

(2)

第4問　3 つの向きの矢印の和が 0：その点から見ると 120° ずつ

問題の読み方

(1)

(2)

第5問　連続する 3 つの数の積に、1 が 99 個ならぶ

問題の読み方

(1)

(2)

第6問　正方形を対角線のまわりに回した立体を、x = t で切る

問題の読み方

(1)

(2)

東大 過去問 2013年 数学｜AI解答・解説・シミュレーション｜アトリエファクトリー

第1問 回して r 倍する点：6 回でもとの場所にもどるには？

問題の読み方

(答)

第2問 cos x / x と sin x ＋ ax：共有点がちょうど 3 つになる a

問題の読み方

(答)

第3問 表なら 1 点、裏なら相手に渡す：先に 2 点とるのは？

問題の読み方

(1)

(2)

第4問 3 つの向きの矢印の和が 0：その点から見ると 120° ずつ

問題の読み方

(1)

(2)

第5問 連続する 3 つの数の積に、1 が 99 個ならぶ

問題の読み方

(1)

(2)

第6問 正方形を対角線のまわりに回した立体を、x = t で切る

問題の読み方

(1)

(2)

東大過去問 2013年数学｜AI解答・解説・シミュレーション｜アトリエファクトリー

第1問　回して r 倍する点：6 回でもとの場所にもどるには？

第2問　cos x / x と sin x ＋ ax：共有点がちょうど 3 つになる a

第3問　表なら 1 点、裏なら相手に渡す：先に 2 点とるのは？

第4問　3 つの向きの矢印の和が 0：その点から見ると 120° ずつ

第5問　連続する 3 つの数の積に、1 が 99 個ならぶ

第6問　正方形を対角線のまわりに回した立体を、x = t で切る