東大過去問 2007年数学｜AI解答・解説・シミュレーション

東大過去問 2007年数学｜AI解答・解説・シミュレーション｜アトリエファクトリー

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第1問

　 $n$ と $k$ を正の整数とし， $P (x)$ を次数が $n$ 以上の整式とする。整式 $(1 + x)^{k} P (x)$ の $n$ 次以下の項の係数がすべて整数ならば， $P (x)$ の $n$ 次以下の項の係数は，すべて整数であることを示せ。ただし，定数項については，項それ自身を係数とみなす。

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第2問

　 $n$ を $2$ 以上の整数とする。平面上に $n + 2$ 個の点 $O$ ， $P_{0}$ ， $P_{1}$ ， $\dots$ ， $P_{n}$ があり，次の $2$ つの条件をみたしている。

①　 $∠ P_{k - 1} {O P}_{k} = \frac{π}{n} (1 ≦ k ≦ n)$ ， $∠ {O P}_{k - 1} P_{k} = ∠ O P_{0} P_{1} (2 ≦ k ≦ n)$

②　線分 $O P_{0}$ の長さは $1$ ，線分 $O P_{1}$ の長さは $1 + \frac{1}{n}$ である。

　線分 $P_{k - 1} P_{k}$ の長さを $a_{k}$ とし， $s_{n} = \sum_{k = 1}^{n} a_{k}$ とおくとき， $lim_{n \to \infty} s_{n}$ を求めよ。

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第3問

　座標平面上の $2$ 点 $P$ ， $Q$ が，曲線 $y = x^{2} (- 1 ≦ x ≦ 1)$ 上を自由に動くとき，線分 $P Q$ を $1 : 2$ に内分する点 $R$ が動く範囲を $D$ とする。ただし， $P = Q$ のときは $R = P$ とする。

（1）　 $a$ を $- 1 ≦ a ≦ 1$ をみたす実数とするとき，点 $(a, b)$ が $D$ に属するための $b$ の条件を $a$ を用いて表せ。

（2）　 $D$ を図示せよ。

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第4問

　以下の問いに答えよ。

（1）　実数 $a$ に対し， $2$ 次の正方行列 $A$ ， $P$ ， $Q$ が， $5$ つの条件 $A = a P + (a + 1) Q$ ， $P^{2} = P$ ， $Q^{2} = Q$ ， $P Q = O$ ， $Q P = O$ をみたすとする。ただし $O = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix})$ である。このとき， $(P + Q) A = A$ が成り立つことを示せ。

（2）　 $a$ は正の数として，行列 $A = (\begin{matrix} a & 0 \\ 1 & a + 1 \end{matrix})$ を考える。この $A$ に対し，（1）の $5$ つの条件をすべてみたす行列 $P$ ， $Q$ を求めよ。

（3）　 $n$ を $2$ 以上の整数とし， $2 ≦ k ≦ n$ をみたす整数 $k$ に対して $A_{k} = (\begin{matrix} k & 0 \\ 1 & k + 1 \end{matrix})$ とおく。行列の積 $A_{n} A_{n - 1} A_{n - 2} \dots A_{2}$ を求めよ。

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第5問

　表が出る確率が $p$ ，裏が出る確率が $1 - p$ であるような硬貨がある。ただし， $0 < p < 1$ とする。この硬貨を投げて，次のルール（R）の下で，ブロック積みゲームを行う。

（R）　①　ブロックの高さは，最初は $0$ とする。

　　　　②　硬貨を投げて表が出れば高さ $1$ のブロックを $1$ つ積み上げ，裏が出ればブロックをすべて取り除いて高さ $0$ に戻す。

　 $n$ を正の整数， $m$ を $0 ≦ m ≦ n$ をみたす整数とする。

（1）　 $n$ 回硬貨を投げたとき，最後にブロックの高さが $m$ となる確率 $p_{m}$ を求めよ。

（2）　（1）で，最後にブロックの高さが $m$ 以下となる確率 $q_{m}$ を求めよ。

（3）　ルール（R）の下で， $n$ 回の硬貨投げを独立に $2$ 度行い，それぞれ最後のブロックの高さを考える。 $2$ 度のうち，高い方のブロックの高さが $m$ である確率 $r_{m}$ を求めよ。ただし，最後のブロックの高さが等しいときはその値を考えるものとする。

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第6問

　以下の問いに答えよ。

（1）　 $0 < x < a$ をみたす実数 $x$ ， $a$ に対し，次を示せ。

\frac{2 x}{a} < \int_{a - x}^{a + x} \frac{1}{t} d t < x (\frac{1}{a + x} + \frac{1}{a - x})

（2）　（1）を利用して，次を示せ。

0.68 < \log 2 < 0.71

　ただし， $\log 2$ は $2$ の自然対数を表す。

第1問　(1+x)ᵏ で割っても、係数は整数のまま

答えは東大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

$(1 + x)^{k} P (x)$ の係数が分かっていて、そこから $P (x)$ の係数を逆にたどる問題。ふつう「かけ算の結果から元を出す」には割り算が要り、割り算をすると分数が出てきそうに見える。

かなめは $(1 + x)^{k}$ の定数項が $1$ であること。係数を低い次数から順に比べると、 $P (x)$ の係数は 1 つずつ「引き算とかけ算」だけで決まっていき、割り算が一度も出てこない。これを数学的帰納法の形で書けば証明になる。

(答)

$P (x) = p_{0} + p_{1} x + p_{2} x^{2} + \dots$ 、 $(1 + x)^{k} P (x) = c_{0} + c_{1} x + c_{2} x^{2} + \dots$ とおく。仮定は $c_{0}, c_{1}, \dots, c_{n}$ が整数であること。

$(1 + x)^{k} = \sum_{j = 0}^{k}_{k} C_{j} x^{j}$ なので、 $x^{i}$ の係数をくらべると

c_{i} = p_{i} +_{k} C_{1} p_{i - 1} +_{k} C_{2} p_{i - 2} + \dots

（ $p$ の添字が負になる項と、 $j > k$ の項は無い）。 $p_{i}$ の前の数が $_{k} C_{0} = 1$ なのがポイントで、

p_{i} = c_{i} - \sum_{j = 1}^{min (i, k)}_{k} C_{j} p_{i - j}

と書き直せる。右辺には $p_{i}$ より下の係数しか出てこない。

そこで $i$ についての帰納法。 $i = 0$ では $p_{0} = c_{0}$ で整数。 $p_{0}, \dots, p_{i - 1}$ が整数だと仮定すると（ $i ≦ n$ ）、上の式の右辺は整数 $c_{i}$ から「整数 $_{k} C_{j}$ × 整数 $p_{i - j}$ 」を引いたものなので整数。よって $p_{i}$ も整数。これを $i = n$ まで続ければ、 $P (x)$ の $n$ 次以下の係数がすべて整数であることが示せた。

$n$ 次より上の係数は、 $c_{0}, \dots, c_{n}$ の式に出てこないので何でもよい（整数でなくてよい）。「 $n$ 次以下」に限っているのはそのため。

もし $(1 + x)$ の代わりに $(2 + x)$ だったら、 $p_{i}$ の前の数が $2^{k}$ になり、決めるたびに $2^{k}$ で割ることになる。 $n = k = 1$ で $(2 + x) (\frac{1}{2} + \frac{3}{4} x) = 1 + 2 x + \frac{3}{4} x^{2}$ のように、1 次以下の係数 1, 2 が整数でも $P$ の係数が分数になる例ができる。定数項が $\pm 1$ であることが、この問題を成り立たせている条件だった。

答え示すこと：

(1 + x)^{k} P (x)

の

n

次以下の係数が整数なら、

P (x)

の

n

次以下の係数も整数。要点：

P (x) = \sum p_{i} x^{i}

(1 + x)^{k} P (x) = \sum c_{i} x^{i}

とすると

c_{i} = p_{i} + \sum_{j = 1}^{min (i, k)}_{k} C_{j} p_{i - j}

。

(1 + x)^{k}

の定数項が

1

なので

p_{0} = c_{0}

p_{i} = c_{i} - \sum_{j ≧ 1}_{k} C_{j} p_{i - j}

。

i

についての帰納法で

p_{0}

\dots

p_{n}

はみな整数（引き算と整数のかけ算だけ）

第2問　角をそろえた折れ線は、らせんに近づく

答えは東大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

点 O のまわりに、角 $\frac{π}{n}$ ずつ回した半直線の上に $P_{0}, P_{1}, \dots$ が並び、折れ線 $P_{0} P_{1} \dots P_{n}$ ができる。条件①の後半は「三角形 ${O P}_{k - 1} P_{k}$ の $P_{k - 1}$ の角がみな同じ」という意味。角はふつうの角（向きなし）なので、毎回同じ向きに回るとは限らない（行ったり来たりしてもよい）。どちらでも下の三角形はみな相似なので、辺の長さも答えも同じ。

筋は 3 つ。三角形がみな相似（同じ形）だと気づく → 辺の長さが等比数列になる → 和を出して $n \to \infty$ の極限をとる。極限では ${(1 + \frac{1}{n})}^{n} \to e$ と、 $\frac{1 - \cos θ}{θ^{2}} \to \frac{1}{2}$ を使う。

(答)

三角形 ${O P}_{k - 1} P_{k}$ は、O の角がどれも $\frac{π}{n}$ 、 $P_{k - 1}$ の角がどれも $∠ O P_{0} P_{1}$ で、2 つの角が等しいのでみな相似。相似の比は $\frac{{O P}_{k}}{{O P}_{k - 1}}$ で、 $k = 1$ では $\frac{O P_{1}}{O P_{0}} = 1 + \frac{1}{n}$ 。これを $r$ とおくと、 ${O P}_{k} = r^{k}$ で、辺 $a_{k} = P_{k - 1} P_{k}$ も $a_{k} = r^{k - 1} a_{1}$ と等比数列になる。

$a_{1}$ は三角形 $O P_{0} P_{1}$ に余弦定理を使って

a_{1}^{2} = 1 + r^{2} - 2 r \cos \frac{π}{n} = (r - 1)^{2} + 2 r (1 - \cos \frac{π}{n})

等比数列の和は

s_{n} = a_{1} \cdot \frac{r^{n} - 1}{r - 1} = n a_{1} (r^{n} - 1)

（ $r - 1 = \frac{1}{n}$ を使った）。

極限をとる。 $r^{n} = {(1 + \frac{1}{n})}^{n} \to e$ 。また

(n a_{1})^{2} = 1 + 2 r \cdot n^{2} (1 - \cos \frac{π}{n})

で、 $θ = \frac{π}{n}$ とおくと $n^{2} (1 - \cos θ) = π^{2} \cdot \frac{1 - \cos θ}{θ^{2}} \to \frac{π^{2}}{2}$ 、 $r \to 1$ なので $(n a_{1})^{2} \to 1 + π^{2}$ 。

合わせて $s_{n} \to \sqrt{1 + π^{2}} (e - 1)$ 。数値では $5.665$ で、 $n = 6$ で $5.327$ 、 $n = 40$ で $5.617$ と下から近づく。

毎回同じ向きに回す置き方で $n$ を大きくすると、点 $P_{k}$ は角 $φ = \frac{k π}{n}$ で原点からの距離が ${(1 + \frac{1}{n})}^{k} ≒ e^{φ / π}$ の所にあり、らせん $ρ = e^{φ / π}$ （ $0 ≦ φ ≦ π$ ）に乗っていく。この極限は、そのらせんの長さと同じ値になっている。

答え

lim_{n \to \infty} s_{n} = (e - 1) \sqrt{1 + π^{2}}

（三角形

{O P}_{k - 1} P_{k}

はみな相似で

{O P}_{k} = r^{k}

r = 1 + \frac{1}{n}

。

a_{k} = r^{k - 1} a_{1}

、

s_{n} = a_{1} \frac{r^{n} - 1}{r - 1} = n a_{1} (r^{n} - 1)

。

n a_{1} = \sqrt{1 + 2 r n^{2} (1 - \cos \frac{π}{n})} \to \sqrt{1 + π^{2}}

、

r^{n} \to e

）

第3問　放物線の上の 2 点の内分点は、どこまで動ける？

答えは東大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

$P (p, p^{2})$ 、 $Q (q, q^{2})$ （ $- 1 ≦ p, q ≦ 1$ ）とおくと、 $P Q$ を $1 : 2$ に内分する点は $R = \frac{2 P + Q}{3}$ で、その座標は

(\frac{2 p + q}{3}, \frac{2 p^{2} + q^{2}}{3})

2 つの文字 $p, q$ が動く範囲を調べるのはむずかしいので、(1) で R の $x$ 座標を $a$ に固定して、1 つの文字だけの問題にする。これは「縦の線 $x = a$ の上で、R がどこからどこまで動けるか」を調べることにあたる。(2) はそれを $a$ を動かしてつなげるだけ。

(1)

$\frac{2 p + q}{3} = a$ より $q = 3 a - 2 p$ 。これを $y$ 座標に入れると

b = \frac{2 p^{2} + (3 a - 2 p)^{2}}{3} = 2 p^{2} - 4 a p + 3 a^{2} = 2 (p - a)^{2} + a^{2}

と、 $p$ の 2 次関数になる。

$p$ の動ける範囲は、 $| p | ≦ 1$ と $| q | = | 3 a - 2 p | ≦ 1$ の両方で決まる区間 $max (- 1, \frac{3 a - 1}{2}) ≦ p ≦ min (1, \frac{3 a + 1}{2})$ 。 $p = a$ はいつもこの区間に入る（ $p = q = a$ 、つまり $P = Q$ のとき）ので、一番下は $b = a^{2}$ 。

一番上は、区間の両はしのうち $a$ から遠い方。 $a ≧ 0$ で考える（ $a < 0$ は左右を入れかえるだけ）。 $0 ≦ a ≦ \frac{1}{3}$ では区間は $\frac{3 a - 1}{2} ≦ p ≦ \frac{3 a + 1}{2}$ で、 $a$ からの距離は左はし $\frac{1 - a}{2}$ 、右はし $\frac{1 + a}{2}$ 。遠いのは右はし（このとき $q = - 1$ ）で、 $b = 2 {(\frac{1 + a}{2})}^{2} + a^{2} = \frac{3 a^{2} + 2 a + 1}{2}$ 。

$\frac{1}{3} ≦ a ≦ 1$ では右はしが $1$ に止まり、区間は $\frac{3 a - 1}{2} ≦ p ≦ 1$ 。距離は左はし $\frac{1 - a}{2}$ 、右はし $1 - a$ で右はし（ $p = 1$ ）が遠く、 $b = 2 (1 - a)^{2} + a^{2} = 3 a^{2} - 4 a + 2$ 。 $a = \frac{1}{3}$ ではどちらの式も $1$ になってつながる。 $b$ は区間の上で途切れずに動くので、一番下と一番上の間の値は全部とれる。

答え

a^{2} ≦ b ≦ {\begin{matrix} \frac{3 a^{2} + 2 | a | + 1}{2} & (| a | ≦ \frac{1}{3}) \\ 3 a^{2} - 4 | a | + 2 & (\frac{1}{3} ≦ | a | ≦ 1) \end{matrix}

（

q = 3 a - 2 p

を入れて

b = 2 (p - a)^{2} + a^{2}

。

p

は

| p | ≦ 1

| 3 a - 2 p | ≦ 1

の区間を動く。一番下は

p = a

、一番上は区間の

a

から遠いほうの端）

(2)

(1) の範囲を $a$ を $- 1$ から $1$ まで動かしてつなげる。下の境目は放物線 $y = x^{2}$ 。上の境目は、 $| x | ≦ \frac{1}{3}$ では $y = \frac{3 x^{2} + 2 | x | + 1}{2}$ 、 $\frac{1}{3} ≦ | x | ≦ 1$ では $y = 3 x^{2} - 4 | x | + 2$ 。

上の境目の意味を見ると形がつかみやすい。 $| x | ≧ \frac{1}{3}$ の部分は「P が端の点 $(\pm 1, 1)$ に止まって Q が動く」ときの R の道で、 $| x | ≦ \frac{1}{3}$ の部分は「Q が反対側の端に止まって P が動く」ときの R の道。P か Q のどちらかを端の点に止めたときの R の道（4 本の曲線）のうち、一番上に来るものが上の境目になる。

いくつかの点で値を見ておく。 $x = 0$ で $\frac{1}{2}$ 、 $x = \pm \frac{1}{3}$ で $1$ （とがった山）、 $x = \pm \frac{2}{3}$ で $\frac{2}{3}$ （谷）、 $x = \pm 1$ で $1$ になり、ここで放物線とくっつく。上の境目は、谷が 3 つ（ $x = - \frac{2}{3}, 0, \frac{2}{3}$ ）、とがった山が 2 つ（ $x = \pm \frac{1}{3}$ ）の形に波うつ（V を 3 つ横に並べた形。真ん中の谷 $(0, \frac{1}{2})$ が一番深い）。境目はすべて D に含まれる（(1) の不等式に等号が入っている）。

面積は $2 {\int_{0}^{1 / 3} (\frac{x^{2}}{2} + x + \frac{1}{2}) d x + \int_{1 / 3}^{1} 2 (x - 1)^{2} d x} = \frac{23}{27}$ 。

答え放物線

y = x^{2} (- 1 ≦ x ≦ 1)

と、上の境目

y = \frac{3 x^{2} + 2 | x | + 1}{2} (| x | ≦ \frac{1}{3})

y = 3 x^{2} - 4 | x | + 2 (\frac{1}{3} ≦ | x | ≦ 1)

ではさまれた部分（境目を含む）。上の境目は

(0

\frac{1}{2})

(\pm \frac{1}{3}

1)

(\pm \frac{2}{3}

\frac{2}{3})

を通り、

(\pm 1

1)

で放物線とくっつく。面積は

\frac{23}{27}

第4問　行列 A は「2 つの向きへののばし」に分かれる

答えは東大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

条件 $P^{2} = P$ 、 $Q^{2} = Q$ 、 $P Q = Q P = O$ は、「P と Q は 2 回かけても変わらず、互いにかけると消える」という意味。こういう行列を使うと、 $A = a P + (a + 1) Q$ のかけ算がとても楽になる：かけたとき「P の部分どうし」「Q の部分どうし」だけが残る。

(1) はこの性質の練習、(2) は (1) を使って P と Q を A から取り出す、(3) は (2) の P と Q が $a$ によらないことを使って、たくさんの行列の積を一気に出す。

(1)

そのまま展開する。行列のかけ算は順番を変えられないので、 $Q P$ と $P Q$ を区別して書く。

(P + Q) A = (P + Q) {a P + (a + 1) Q} = a P^{2} + (a + 1) P Q + a Q P + (a + 1) Q^{2}

条件を入れると $P^{2} = P$ 、 $Q^{2} = Q$ 、 $P Q = Q P = O$ なので、右辺は $a P + (a + 1) Q = A$ 。これで $(P + Q) A = A$ が示せた。

答え示すこと：

(P + Q) A = A

。要点：

(P + Q) A = a P^{2} + a Q P + (a + 1) P Q + (a + 1) Q^{2} = a P + (a + 1) Q = A

(2)

(1) の $(P + Q) A = A$ を使う。 $A = (\begin{matrix} a & 0 \\ 1 & a + 1 \end{matrix})$ の行列式は $a (a + 1)$ で、 $a > 0$ なので $0$ でない。だから $A$ には逆行列があり、右から $A^{- 1}$ をかけると $P + Q = E$ （単位行列）。

$Q = E - P$ を $A = a P + (a + 1) Q$ に入れると $A = (a + 1) E - P$ 、つまり

P = (a + 1) E - A = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ - 1 & 0 \end{matrix}), Q = E - P = A - a E = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix})

ここまでは「条件をみたすならこれしかない」という話なので、逆に 5 つの条件をみたすことを確かめる。 $P^{2} = P$ 、 $Q^{2} = Q$ 、 $P Q = Q P = O$ は計算するとすべて成り立ち、 $a P + (a + 1) Q = A$ も成り立つ。

P は点を直線 $y = - x$ の上へ、Q は $y$ 軸の上へ移す行列で、 $v = P v + Q v$ と 2 つの向きに分けている。A はその 2 つをそれぞれ $a$ 倍、 $a + 1$ 倍する。 $a = 0$ や $a = - 1$ では行列式が $0$ になって逆行列が無く、条件をみたす組が 2 つ出てくる（たとえば $a = 0$ なら $P = O$ も条件をみたす）。「 $a$ は正」は答えを 1 つに決めるための条件だった。

答え

P = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ - 1 & 0 \end{matrix})

Q = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix})

（

det A = a (a + 1) > 0

で

A^{- 1}

があるので (1) から

P + Q = E

。

A = a P + (a + 1) (E - P)

より

P = (a + 1) E - A

、

Q = A - a E

。5 つの条件をみたすことも確かめられる）

(3)

(2) の P, Q は $a$ によらない。だから $A_{k} = k P + (k + 1) Q$ と、どの $k$ でも同じ P, Q で書ける。

2 つをかけると

A_{k} A_{k - 1} = {k P + (k + 1) Q} {(k - 1) P + k Q} = k (k - 1) P + (k + 1) k Q

（ $P Q = Q P = O$ で交わる項が消え、 $P^{2} = P$ 、 $Q^{2} = Q$ ）。これをくり返すと、P の前の数は $n (n - 1) \dots 2 = n!$ 、Q の前の数は $(n + 1) n \dots 3 = \frac{(n + 1)!}{2}$ になる：

A_{n} A_{n - 1} \dots A_{2} = n! P + \frac{(n + 1)!}{2} Q

成分で書くと、左下は $- n! + \frac{(n + 1)!}{2} = \frac{n! (n - 1)}{2}$ 。 $n = 2$ で $A_{2}$ そのもの $(\begin{matrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{matrix})$ になることで確かめられる。P, Q が $k$ によらないので、かける順番を逆にしても同じ行列になる。

答え

A_{n} A_{n - 1} \dots A_{2} = (\begin{matrix} n! & 0 \\ \frac{(n - 1) n!}{2} & \frac{(n + 1)!}{2} \end{matrix})

（(2) の

P

Q

は

a

によらないので

A_{k} = k P + (k + 1) Q

。かけると

n! P + \frac{(n + 1)!}{2} Q

）

第5問　裏が出たら 0 から：最後の高さは「最後の裏」で決まる

答えは東大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

裏が出るとブロックが全部なくなるので、最後の高さは最後に裏が出たあと、表が何回続いたかだけで決まる。それより前に何が起きたかは関係ない。だから、前から順に追うより後ろから数えるほうがかんたん。

(1) は最後の高さがちょうど $m$ の確率、(2) は (1) を足すか、「どこかに裏がある」と読みかえる。(3) は 2 度の高い方の高さで、「高い方が $m$ 以下 ⇔ 2 度とも $m$ 以下」と読みかえるのがかなめ。

(1)

$m ≦ n - 1$ のとき、最後の高さが $m$ になるのは、最後の $m$ 回がすべて表で、その 1 つ前（後ろから $m + 1$ 回目）が裏のとき。それより前の $n - m - 1$ 回は何でもよい。硬貨は 1 回ごとに独立なので、確率は $(1 - p) p^{m}$ 。

$m = n$ のときは「その 1 つ前」が無い。最後の高さが $n$ になるのは $n$ 回全部が表のときだけで、確率は $p^{n}$ 。 $m < n$ の確率が $n$ によらないのがおもしろいところ。全部足すと $\sum_{m = 0}^{n - 1} (1 - p) p^{m} + p^{n} = (1 - p^{n}) + p^{n} = 1$ となって、確かに確率の合計が $1$ 。

答え

p_{m} = {\begin{matrix} (1 - p) p^{m} & (0 ≦ m ≦ n - 1) \\ p^{n} & (m = n) \end{matrix}

（高さ

m < n

は「最後の

m

回が表、その前が裏」）

(2)

$m ≦ n - 1$ なら、(1) を $0$ から $m$ まで足して

q_{m} = \sum_{j = 0}^{m} (1 - p) p^{j} = 1 - p^{m + 1}

言葉で考えると、高さが $m$ 以下 ⇔ 最後の $m + 1$ 回のどこかに裏がある、の余事象が「最後の $m + 1$ 回が全部表」なので $1 - p^{m + 1}$ でも出せる。 $m = n$ なら高さはいつも $n$ 以下なので $q_{n} = 1$ 。

答え

q_{m} = {\begin{matrix} 1 - p^{m + 1} & (0 ≦ m ≦ n - 1) \\ 1 & (m = n) \end{matrix}

（

\sum_{j = 0}^{m} (1 - p) p^{j}

、または「最後の

m + 1

回のどこかに裏」）

(3)

2 度の最後の高さを $X, Y$ とする。「高い方が $m$ 以下」は「 $X ≦ m$ かつ $Y ≦ m$ 」と同じで、2 度は独立なので確率は $q_{m}^{2}$ 。高い方がちょうど $m$ なのは、「 $m$ 以下」から「 $m - 1$ 以下」を除いたものなので

r_{m} = q_{m}^{2} - q_{m - 1}^{2} (q_{- 1} = 0 とする)

$1 ≦ m ≦ n - 1$ では $(1 - p^{m + 1})^{2} - (1 - p^{m})^{2}$ を展開して $p^{m}$ でくくると $p^{m} (1 - p) {2 - p^{m} (1 + p)}$ 。 $m = 0$ では $q_{0}^{2} = (1 - p)^{2}$ で、これは同じ式に $m = 0$ を入れた値と一致する。 $m = n$ では $1 - (1 - p^{n})^{2} = p^{n} (2 - p^{n})$ 。

直接「 $X$ と $Y$ のどちらが高いか、等しいか」で場合分けしても出せるが、「両方 $m$ 以下」を使うと 1 行ですむ。

答え

r_{m} = {\begin{matrix} p^{m} (1 - p) {2 - p^{m} (1 + p)} & (0 ≦ m ≦ n - 1) \\ p^{n} (2 - p^{n}) & (m = n) \end{matrix}

（高い方が

m

以下

⟺

両方

m

以下。

r_{m} = q_{m}^{2} - q_{m - 1}^{2}

、

q_{- 1} = 0

。

m = 0

では

(1 - p)^{2}

）

第6問　接線と弦で 1/t の面積をはさむ → log 2 がわかる

答えは東大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

$\int_{a - x}^{a + x} \frac{d t}{t}$ は、 $y = \frac{1}{t}$ のグラフの下で $t = a - x$ から $a + x$ までの面積。 $\frac{1}{t}$ は下に凸（グラフが下向きにふくらむ）なので、接線はグラフより下、両はしを結ぶ弦はグラフより上にある。(1) の左右の式は、その接線の下の台形と弦の下の台形の面積になっている。

(2) は $\log 2 = \int_{1}^{2} \frac{d t}{t}$ に (1) を当てはめる。ただし区間を分けないと精度が足りない。

(1)

$f (t) = \frac{1}{t}$ とおくと $f^{″} (t) = \frac{2}{t^{3}} > 0$ （ $t > 0$ ）で下に凸。 $0 < x < a$ なので区間 $a - x ≦ t ≦ a + x$ は $t > 0$ の中にある。

左の不等式： $t = a$ での接線は $y = \frac{1}{a} - \frac{t - a}{a^{2}}$ 。下に凸なので $t \neq a$ では $\frac{1}{t} > \frac{1}{a} - \frac{t - a}{a^{2}}$ 。両辺を $a - x$ から $a + x$ まで積分すると、右辺の $t - a$ の部分は $a$ の左右で打ち消し合って $0$ になり、残りは $\frac{1}{a} \times 2 x = \frac{2 x}{a}$ 。等号は $t = a$ の 1 点だけなので、積分では等号が外れて $\frac{2 x}{a} < \int_{a - x}^{a + x} \frac{d t}{t}$ 。

右の不等式：両はしの点 $(a - x, \frac{1}{a - x})$ 、 $(a + x, \frac{1}{a + x})$ を結ぶ弦は、下に凸なので両はし以外ではグラフより上。弦の下の部分は台形で、面積は $\frac{2 x}{2} (\frac{1}{a - x} + \frac{1}{a + x}) = x (\frac{1}{a + x} + \frac{1}{a - x})$ 。弦とグラフが重なるのは両はしの 2 点だけなので、積分では等号が外れて、グラフの下の面積はこれより小さい。これで右の不等式も示せた。

$x$ が小さいとき、接線の台形のずれは弦の台形のずれのおよそ半分で、左の値のほうが真の値に近い。

答え示すこと：

\frac{2 x}{a} < \int_{a - x}^{a + x} \frac{d t}{t} < x (\frac{1}{a + x} + \frac{1}{a - x})

。要点：

\frac{1}{t}

は下に凸（

{(\frac{1}{t})}^{″} = \frac{2}{t^{3}} > 0

）なので、

t = a

での接線

\frac{1}{a} - \frac{t - a}{a^{2}}

は曲線より下（

t \neq a

で）、両はしを結ぶ弦は曲線より上（両はし以外で）。接線の下の台形の面積は

2 x \cdot \frac{1}{a}

、弦の下の台形は

\frac{2 x}{2} (\frac{1}{a - x} + \frac{1}{a + x})

(2)

まず分けずに $a = \frac{3}{2}$ 、 $x = \frac{1}{2}$ で (1) を使うと $\frac{2}{3} < \log 2 < \frac{3}{4}$ 。 $\frac{2}{3} ≒ 0.667$ 、 $\frac{3}{4} = 0.75$ で、 $0.68$ にも $0.71$ にも届かない。

そこで $[1, 2]$ を $[1, \frac{3}{2}]$ と $[\frac{3}{2}, 2]$ に分け、それぞれに (1) を使う。前半は $a = \frac{5}{4}$ 、 $x = \frac{1}{4}$ 、後半は $a = \frac{7}{4}$ 、 $x = \frac{1}{4}$ 。

下からは $\frac{2 x}{a}$ を足して $\frac{2}{5} + \frac{2}{7} = \frac{24}{35}$ 。 $\frac{24}{35} = 0.6857 \dots$ で $0.68$ より大きい。

上からは $\frac{1}{4} (\frac{2}{3} + 1) + \frac{1}{4} (\frac{1}{2} + \frac{2}{3}) = \frac{5}{12} + \frac{7}{24} = \frac{17}{24}$ 。 $\frac{17}{24} = 0.7083 \dots$ で $0.71$ より小さい。

2 つの積分を足すと $\log 2$ なので、 $0.68 < \log 2 < 0.71$ が示せた。実際の値は $0.6931$ 。問題の $0.68$ ・ $0.71$ は「2 つに分ければちょうど言える」ように選ばれている。3 つに分けると $0.6898$ と $0.7$ で、さらにせまくはさめる。

答え示すこと：

0.68 < \log 2 < 0.71

。要点：

\log 2 = \int_{1}^{3 / 2} \frac{d t}{t} + \int_{3 / 2}^{2} \frac{d t}{t}

。(1) を

(a

x) = (\frac{5}{4}, \frac{1}{4})

(\frac{7}{4}, \frac{1}{4})

で使うと下は

\frac{2}{5} + \frac{2}{7} = \frac{24}{35} = 0.6857 \dots > 0.68

、上は

\frac{5}{12} + \frac{7}{24} = \frac{17}{24} = 0.7083 \dots < 0.71

東大過去問 2007年数学｜AI解答・解説・シミュレーション｜アトリエファクトリー

このページの出典

問題・出題の意図・東京大学の解答例（東京大学の公表資料）

東京大学の利用規定について

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修正履歴

お知らせ（2026年10月4日）

第1問　(1+x)ᵏ で割っても、係数は整数のまま

問題の読み方

(答)

第2問　角をそろえた折れ線は、らせんに近づく

問題の読み方

(答)

第3問　放物線の上の 2 点の内分点は、どこまで動ける？

問題の読み方

(1)

(2)

第4問　行列 A は「2 つの向きへののばし」に分かれる

問題の読み方

(1)

(2)

(3)

第5問　裏が出たら 0 から：最後の高さは「最後の裏」で決まる

問題の読み方

(1)

(2)

(3)

第6問　接線と弦で 1/t の面積をはさむ → log 2 がわかる

問題の読み方

(1)

(2)

東大 過去問 2007年 数学｜AI解答・解説・シミュレーション｜アトリエファクトリー

第1問 (1+x)ᵏ で割っても、係数は整数のまま

問題の読み方

(答)

第2問 角をそろえた折れ線は、らせんに近づく

問題の読み方

(答)

第3問 放物線の上の 2 点の内分点は、どこまで動ける？

問題の読み方

(1)

(2)

第4問 行列 A は「2 つの向きへののばし」に分かれる

問題の読み方

(1)

(2)

(3)

第5問 裏が出たら 0 から：最後の高さは「最後の裏」で決まる

問題の読み方

(1)

(2)

(3)

第6問 接線と弦で 1/t の面積をはさむ → log 2 がわかる

問題の読み方

(1)

(2)

東大過去問 2007年数学｜AI解答・解説・シミュレーション｜アトリエファクトリー

第1問　(1+x)ᵏ で割っても、係数は整数のまま

第2問　角をそろえた折れ線は、らせんに近づく

第3問　放物線の上の 2 点の内分点は、どこまで動ける？

第4問　行列 A は「2 つの向きへののばし」に分かれる

第5問　裏が出たら 0 から：最後の高さは「最後の裏」で決まる

第6問　接線と弦で 1/t の面積をはさむ → log 2 がわかる