東大過去問 2010年数学｜AI解答・解説・シミュレーション

東大過去問 2010年数学｜AI解答・解説・シミュレーション｜アトリエファクトリー

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第1問

　 $3$ 辺の長さが $a$ と $b$ と $c$ の直方体を，長さが $b$ の $1$ 辺を回転軸として $90^{\circ}$ 回転させるとき，直方体が通過する点全体がつくる立体を $V$ とする。

（1）　 $V$ の体積を $a$ ， $b$ ， $c$ を用いて表せ。

（2）　 $a + b + c = 1$ のとき， $V$ の体積のとりうる値の範囲を求めよ。

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第2問

（1）　すべての自然数 $k$ に対して，次の不等式を示せ。

\frac{1}{2 (k + 1)} < \int_{0}^{1} \frac{1 - x}{k + x} d x < \frac{1}{2 k}

（2）　 $m > n$ であるようなすべての自然数 $m$ と $n$ に対して，次の不等式を示せ。

\frac{m - n}{2 (m + 1) (n + 1)} < \log \frac{m}{n} - \sum_{k = n + 1}^{m} \frac{1}{k} < \frac{m - n}{2 m n}

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第3問

　 $2$ つの箱 $L$ と $R$ ，ボール $30$ 個，コイン投げで表と裏が等確率 $\frac{1}{2}$ で出るコイン $1$ 枚を用意する。 $x$ を $0$ 以上 $30$ 以下の整数とする。 $L$ に $x$ 個， $R$ に $30 - x$ 個のボールを入れ，次の操作（＃）を繰り返す。

（＃）　箱 $L$ に入っているボールの個数を $z$ とする。コインを投げ，表が出れば箱 $R$ から箱 $L$ に，裏が出れば箱 $L$ から箱 $R$ に， $K (z)$ 個のボールを移す。ただし， $0 ≦ z ≦ 15$ のとき $K (z) = z$ ， $16 ≦ z ≦ 30$ のとき $K (z) = 30 - z$ とする。

　 $m$ 回の操作の後，箱 $L$ のボールの個数が $30$ である確率を $P_{m} (x)$ とする。たとえば $P_{1} (15) = P_{2} (15) = \frac{1}{2}$ となる。以下の問（1），（2），（3）に答えよ。

（1）　 $m ≧ 2$ のとき， $x$ に対してうまく $y$ を選び， $P_{m} (x)$ を $P_{m - 1} (y)$ で表せ。

（2）　 $n$ を自然数とするとき， $P_{2 n} (10)$ を求めよ。

（3）　 $n$ を自然数とするとき， $P_{4 n} (6)$ を求めよ。

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第4問

　 $O$ を原点とする座標平面上の曲線

C : y = \frac{1}{2} x + \sqrt{\frac{1}{4} x^{2} + 2}

と，その上の相異なる $2$ 点 $P_{1} (x_{1}, y_{1})$ ， $P_{2} (x_{2}, y_{2})$ を考える。

（1）　 $P_{i} (i = 1, 2)$ を通る $x$ 軸に平行な直線と，直線 $y = x$ との交点を，それぞれ $H_{i} (i = 1, 2)$ とする。このとき $△ {O P}_{1} H_{1}$ と $△ {O P}_{2} H_{2}$ の面積は等しいことを示せ。

（2）　 $x_{1} < x_{2}$ とする。このとき $C$ の $x_{1} ≦ x ≦ x_{2}$ の範囲にある部分と，線分 $P_{1} O$ ， $P_{2} O$ とで囲まれる図形の面積を， $y_{1}$ ， $y_{2}$ を用いて表せ。

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第5問

　 $C$ を半径 $1$ の円周とし， $A$ を $C$ 上の $1$ 点とする。 $3$ 点 $P, Q, R$ が $A$ を時刻 $t = 0$ に出発し， $C$ 上を各々一定の速さで， $P, Q$ は反時計回りに， $R$ は時計回りに，時刻 $t = 2 π$ まで動く。 $P, Q, R$ の速さは，それぞれ $m$ ， $1$ ， $2$ であるとする。（したがって， $Q$ は $C$ をちょうど一周する。）ただし， $m$ は $1 ≦ m ≦ 10$ をみたす整数である。 $△ P Q R$ が $P R$ を斜辺とする直角二等辺三角形となるような速さ $m$ と時刻 $t$ の組をすべて求めよ。

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第6問

　四面体 $O A B C$ において， $4$ つの面はすべて合同であり， $O A = 3$ ， $O B = \sqrt{7}$ ， $A B = 2$ であるとする。また， $3$ 点 $O, A, B$ を含む平面を $L$ とする。

（1）　点 $C$ から平面 $L$ におろした垂線の足を $H$ とおく。 $\vec{O H}$ を $\vec{O A}$ と $\vec{O B}$ を用いて表せ。

（2）　 $0 < t < 1$ をみたす実数 $t$ に対して，線分 $O A$ ， $O B$ 各々を $t : 1 - t$ に内分する点をそれぞれ $P_{t}$ ， $Q_{t}$ とおく。 $2$ 点 $P_{t}$ ， $Q_{t}$ を通り，平面 $L$ に垂直な平面を $M$ とするとき，平面 $M$ による四面体 $O A B C$ の切り口の面積 $S (t)$ を求めよ。

（3）　 $t$ が $0 < t < 1$ の範囲を動くとき， $S (t)$ の最大値を求めよ。

第1問　直方体を 90° まわすと、通る所は「箱＋扇形の柱」

答えは東大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

直方体を、1 本の辺（長さ $b$ ）を軸にして $90^{\circ}$ まわす。軸の向きには形が変わらないので、軸に垂直な切り口で考え、面積に $b$ をかければ体積になる。

切り口は $a \times c$ の長方形で、その 1 つの角が軸（回転の中心）の上にある。問題は「長方形を角のまわりに $90^{\circ}$ まわしたとき、通る所の面積」になる。(2) はその体積を $a + b + c = 1$ のもとで動かし、とりうる値の範囲を調べる。

(1)

軸を原点 O とし、長方形を $0 ≦ x ≦ a$ 、 $0 ≦ y ≦ c$ に置いて反時計回りにまわす。原点から見た向き（角）ごとに、どこまで届くかを考える。

長方形の中で原点から一番遠いのは対角の角で、距離は $\sqrt{a^{2} + c^{2}}$ 。その向きを $φ_{0}$ （ $\tan φ_{0} = \frac{c}{a}$ ）とする。

向きが $0$ から $φ_{0}$ の所：まわす前の長方形の、対角線より下の三角形がいちばん遠くまで届く（まわすと届く距離が短くなるだけ）。面積 $\frac{a c}{2}$ 。

向きが $φ_{0}$ から $φ_{0} + \frac{π}{2}$ の所：対角の角がちょうどその向きを通るので、半径 $\sqrt{a^{2} + c^{2}}$ まで届く。中心角 $\frac{π}{2}$ の扇形で、面積 $\frac{π}{4} (a^{2} + c^{2})$ 。

その先：まわし終えた長方形のうち、はじめに対角線より上にあった三角形（まわった後は対角線の左下に来る）。面積 $\frac{a c}{2}$ 。

足すと切り口の面積は $a c + \frac{π}{4} (a^{2} + c^{2})$ 。三角形 2 つで $a c$ 、つまり箱の切り口と同じなので、 $V$ は「箱そのもの」と「対角線を半径とする $\frac{1}{4}$ 円柱」を合わせた体積になる。これに $b$ をかけて体積。

答え

V = b {a c + \frac{π}{4} (a^{2} + c^{2})}

（軸に垂直な切り口は、角が軸の上にある

a \times c

の長方形。通る所は、はじめとおわりの長方形の半分ずつの三角形（合わせて

a c

）と、半径

\sqrt{a^{2} + c^{2}}

の 4 分の 1 の円）

(2)

(1) の式を $a, c$ の和と積で書く。 $s = a + c = 1 - b$ 、 $p = a c$ とおくと $a^{2} + c^{2} = s^{2} - 2 p$ なので

V = b {\frac{π}{4} s^{2} + (1 - \frac{π}{2}) p}

$1 - \frac{π}{2} < 0$ なので、 $b$ を決めると $p$ が大きいほど $V$ は小さい。

$a, c > 0$ 、 $a + c = s$ のとき、 $p$ は $0$ より大きく、 $a = c$ のとき最大 $\frac{s^{2}}{4}$ 。 $p \to 0$ （どちらかの辺がとても短い、うすい板）には近づけるが $0$ にはならない。だから $b$ を決めたとき

\frac{π + 2}{8} b (1 - b)^{2} ≦ V < \frac{π}{4} b (1 - b)^{2}

次に $b$ を $0 < b < 1$ で動かす。 $g (b) = b (1 - b)^{2}$ は $g^{'} (b) = (1 - b) (1 - 3 b)$ より $b = \frac{1}{3}$ で最大 $\frac{4}{27}$ 、両はし $b \to 0, 1$ で $0$ に近づく。上のはし $\frac{π}{4} g (b)$ の一番大きい値は $\frac{π}{27}$ だが、そのときも $p \to 0$ が必要で届かない。下の方は $b \to 0$ などで $0$ にいくらでも近づくが $0$ にはならない。

$t = \frac{a}{a + c}$ とおくと $V = b (1 - b)^{2} \times {\frac{π}{4} + (1 - \frac{π}{2}) t (1 - t)}$ 。 $b$ と $t$ は別々に自由に動かせる。前の因子は $0$ より大きく $\frac{4}{27}$ 以下、後ろの因子は $\frac{π + 2}{8}$ 以上 $\frac{π}{4}$ 未満。どちらも区間の値をすき間なくとる正の数なので、かけた $V$ は $0$ より大きく $\frac{4}{27} \cdot \frac{π}{4} = \frac{π}{27}$ 未満の値を全部とる（両はしは入らない）。

答え

0 < V < \frac{π}{27}

（

s = a + c = 1 - b

p = a c

とおくと

V = b {\frac{π}{4} s^{2} + (1 - \frac{π}{2}) p}

。

0 < p ≦ \frac{s^{2}}{4}

から

\frac{π + 2}{8} b (1 - b)^{2} ≦ V < \frac{π}{4} b (1 - b)^{2}

。

b (1 - b)^{2}

は

0

より大きく

\frac{4}{27}

以下（

b = \frac{1}{3}

）。両はしの

0

と

\frac{π}{27}

は入らない）

第2問　log(m/n) と 1/k の和の差を、小さな三角形ではさむ

答えは東大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

(1) は積分する中身を上と下からはさんで、積分の値をはさむ。(2) は (1) の積分を「log と分数の差」に書きかえ、 $k$ について足しあわせる。

絵で見ると、 $\log \frac{m}{n}$ は $y = \frac{1}{x}$ の下の面積（ $x = n$ から $m$ ）、 $\sum_{k = n + 1}^{m} \frac{1}{k}$ は右はしの高さ $\frac{1}{k}$ で幅 1 の長方形の合計。差は、曲線と長方形の間の小さなすき間の合計になる。(1) はそのすき間 1 つ分をはさむ式になっている。

(1)

$0 < x < 1$ では $k < k + x < k + 1$ なので

\frac{1}{k + 1} < \frac{1}{k + x} < \frac{1}{k}

$1 - x > 0$ をかけても向きは変わらない。 $0 ≦ x ≦ 1$ で積分すると、両はし以外で等号が成り立たないので不等号は $<$ のまま。

\int_{0}^{1} (1 - x) d x = \frac{1}{2}

なので、左は $\frac{1}{2 (k + 1)}$ 、右は $\frac{1}{2 k}$ になる。

「 $1 - x$ が 0 以上」だからはさめる。 $k$ は 0 より大きければ自然数でなくても同じ理由で成り立つ。実際の値は、中身を $\frac{k + 1}{k + x} - 1$ と分けて積分すると $(k + 1) \log \frac{k + 1}{k} - 1$ 。 $k = 1$ なら $0.386$ で、 $0.25$ と $0.5$ の間。

答え示すこと：

\frac{1}{2 (k + 1)} < \int_{0}^{1} \frac{1 - x}{k + x} d x < \frac{1}{2 k}

。要点：

0 < x < 1

で

\frac{1}{k + 1} < \frac{1}{k + x} < \frac{1}{k}

。

1 - x > 0

をかけて 0 から 1 まで積分し、

\int_{0}^{1} (1 - x) d x = \frac{1}{2}

を使う

(2)

(1) の積分の値は

\int_{0}^{1} \frac{1 - x}{k + x} d x = \int_{0}^{1} (\frac{k + 1}{k + x} - 1) d x = (k + 1) \log \frac{k + 1}{k} - 1

(1) の不等式を $k + 1$ で割ると

\frac{1}{2 (k + 1)^{2}} < \log \frac{k + 1}{k} - \frac{1}{k + 1} < \frac{1}{2 k (k + 1)}

真ん中を $k = n, n + 1, \dots, m - 1$ で足すと、log は足し算でかけ算になって $\log \frac{m}{n}$ 、分数は $\frac{1}{n + 1} + \dots + \frac{1}{m}$ 。ちょうど示したい式の真ん中になる。

右側： $\frac{1}{2 k (k + 1)} = \frac{1}{2} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1})$ なので、足すと途中が消しあって $\frac{1}{2} (\frac{1}{n} - \frac{1}{m}) = \frac{m - n}{2 m n}$ 。

左側：そのままでは消しあわないので、少し小さい $\frac{1}{2 (k + 1)^{2}} > \frac{1}{2 (k + 1) (k + 2)} = \frac{1}{2} (\frac{1}{k + 1} - \frac{1}{k + 2})$ にかえてから足す。和は $\frac{1}{2} (\frac{1}{n + 1} - \frac{1}{m + 1}) = \frac{m - n}{2 (m + 1) (n + 1)}$ 。

絵で言うと（模型の絵と同じく、区間 $k - 1 ≦ x ≦ k$ の 1 つのすき間で言う。上の式の $k$ を 1 つずらした形）、1 つのすき間は接線の三角形（面積 $\frac{1}{2 k^{2}}$ ）より大きく、弦の三角形（面積 $\frac{1}{2 k (k - 1)}$ ）より小さい。 $\frac{1}{x}$ のグラフが下に出っぱっているから、曲線は弦より下、接線より上を通る。

答え示すこと：

\frac{m - n}{2 (m + 1) (n + 1)} < \log \frac{m}{n} - \sum_{k = n + 1}^{m} \frac{1}{k} < \frac{m - n}{2 m n}

。要点：

\int_{0}^{1} \frac{1 - x}{k + x} d x = (k + 1) \log \frac{k + 1}{k} - 1

なので (1) を

k + 1

で割ると

\frac{1}{2 (k + 1)^{2}} < \log \frac{k + 1}{k} - \frac{1}{k + 1} < \frac{1}{2 k (k + 1)}

。

k = n

\dots

m - 1

で足す。右は

\frac{1}{2} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1})

の和で

\frac{m - n}{2 m n}

。左は

\frac{1}{2 (k + 1)^{2}} > \frac{1}{2 (k + 1) (k + 2)}

にして足すと

\frac{m - n}{2 (m + 1) (n + 1)}

第3問　ボールを 2 倍にするか、空にするか：L が 30 個になる確率

答えは東大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

まず操作（＃）を、箱 L の個数 $z$ がどう変わるかで書きなおす。

$0 ≦ z ≦ 15$ のとき $K (z) = z$ ：表なら $z + z = 2 z$ 、裏なら $z - z = 0$ 。

$16 ≦ z ≦ 30$ のとき $K (z) = 30 - z$ ：表なら $30$ 、裏なら $z - (30 - z) = 2 z - 30$ 。

$z = 0$ と $z = 30$ では $K (z) = 0$ なので、一度 0 か 30 になったら、もう動かない。つまり 0 と 30 のあいだの $z$ からは、表か裏のどちらか一方で 0 か 30 に止まり、止まらない道は多くても 1 本しかない。止まらない道をたどると、L の個数は「2 倍して、30 をこえたら 30 を引く」で進む。ただし $z = 15$ だけは、表なら 30、裏なら 0 と、どちらでも止まる（止まらない道が無い）。はじめから 0 か 30 なら、もちろん止まらない道は無い。

(1)

1 回目の結果で場合分けする。1 回目のあとは、残り $m - 1$ 回で L が 30 になる確率を考えればよい。

$0 ≦ x ≦ 15$ のとき：表（確率 $\frac{1}{2}$ ）で $2 x$ になり、そこから $m - 1$ 回で 30 になる確率は $P_{m - 1} (2 x)$ 。裏（確率 $\frac{1}{2}$ ）で 0 になり、もう 30 にはなれない。だから

P_{m} (x) = \frac{1}{2} P_{m - 1} (2 x)

$16 ≦ x ≦ 30$ のとき：表で 30 になり、そのまま動かないので確率 1。裏で $2 x - 30$ になる。だから

P_{m} (x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} P_{m - 1} (2 x - 30)

$y$ は $x ≦ 15$ なら $2 x$ 、 $x ≧ 16$ なら $2 x - 30$ と選べばよい。たとえば $x = 15$ なら $y = 30$ で、 $P_{m} (15) = \frac{1}{2} P_{m - 1} (30) = \frac{1}{2}$ 。問題の例 $P_{1} (15) = P_{2} (15) = \frac{1}{2}$ と合う。

答え

P_{m} (x) = \frac{1}{2} P_{m - 1} (2 x) (0 ≦ x ≦ 15)

P_{m} (x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} P_{m - 1} (2 x - 30) (16 ≦ x ≦ 30)

（1 回目で、

x ≦ 15

なら表で

2 x

・裏で

0

（もう動かない）、

x ≧ 16

なら表で

30

（もう動かない）・裏で

2 x - 30

）

(2)

$x = 10$ から止まらない道をたどると $10 \to 20 \to 10 \to \dots$ と 2 回でもどる。(1) を 2 回使う。

P_{2 n} (10) = \frac{1}{2} P_{2 n - 1} (20) = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} P_{2 n - 2} (10)) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} P_{2 n - 2} (10)

$a_{n} = P_{2 n} (10)$ とおくと $a_{n} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} a_{n - 1}$ 。0 回では L は 10 個なので $a_{0} = 0$ （または $a_{1} = P_{2} (10) = \frac{1}{4}$ から始めてもよい）。 $α = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} α$ を満たす $α = \frac{1}{3}$ を引くと $a_{n} - \frac{1}{3} = \frac{1}{4} (a_{n - 1} - \frac{1}{3})$ なので

a_{n} = \frac{1}{3} - \frac{1}{3} {(\frac{1}{4})}^{n}

$n$ を大きくすると $\frac{1}{3} = \frac{10}{30}$ に近づく。表と裏で同じ数のボールが行き来するので、L の個数の平均はいつも 10 のまま。ほとんどが 0 か 30 に止まれば、30 になる確率は $\frac{10}{30}$ に近づくはず、と見当がつく。

答え

P_{2 n} (10) = \frac{1}{3} (1 - \frac{1}{4^{n}})

（

10 \to 20 \to 10

と 2 回でもどる。

P_{2 n} (10) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} P_{2 n - 2} (10)

P_{0} (10) = 0

）

(3)

$x = 6$ からは $6 \to 12 \to 24 \to 18 \to 6$ と 4 回でもどる。6 と 12 は 15 以下（表で 2 倍）、24 と 18 は 16 以上（裏で $2 z - 30$ ）。(1) を 4 回使う。

P_{4 n} (6) = \frac{1}{2} P_{4 n - 1} (12) = \frac{1}{4} P_{4 n - 2} (24) = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} P_{4 n - 3} (18))

P_{4 n - 3} (18) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} P_{4 n - 4} (6)

まとめると

P_{4 n} (6) = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} P_{4 n - 4} (6)) = \frac{3}{16} + \frac{1}{16} P_{4 n - 4} (6)

$b_{n} = P_{4 n} (6)$ 、 $b_{0} = 0$ 。 $β = \frac{3}{16} + \frac{1}{16} β$ から $β = \frac{1}{5}$ で、 $b_{n} - \frac{1}{5} = \frac{1}{16} (b_{n - 1} - \frac{1}{5})$ 。よって $b_{n} = \frac{1}{5} - \frac{1}{5} {(\frac{1}{16})}^{n}$ 。これも $\frac{6}{30} = \frac{1}{5}$ に近づく。

答え

P_{4 n} (6) = \frac{1}{5} (1 - \frac{1}{16^{n}})

（

6 \to 12 \to 24 \to 18 \to 6

と 4 回でもどる。

P_{4 n} (6) = \frac{3}{16} + \frac{1}{16} P_{4 n - 4} (6)

）

第4問　どこに点をとっても三角形の面積は 1、囲む面積は log

答えは東大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

曲線 $C$ の式は $\sqrt{}$ があって扱いにくいので、まず形を整える。 $y - \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{x^{2}}{4} + 2}$ の両辺を 2 乗すると

y^{2} - x y = 2, つまり y (y - x) = 2

（もとの式から $y - \frac{x}{2} > 0$ 、さらに $y > \frac{x}{2} + \frac{| x |}{2} ≧ 0$ なので $y > 0$ 、 $y - x = \frac{2}{y} > 0$ ）。これは双曲線の上の枝で、近づいていく 2 本の線が $y = 0$ と $y = x$ 。

「高さ $y$ 」と「横の幅 $y - x$ （直線 $y = x$ までの横の距離）」のかけ算がいつも 2、というのがこの曲線の正体。(1) も (2) もこれで解ける。

(1)

$P_{i} (x_{i}, y_{i})$ を通る横の線 $y = y_{i}$ と $y = x$ の交点は $H_{i} (y_{i}, y_{i})$ 。

三角形 ${O P}_{i} H_{i}$ は、底辺 $P_{i} H_{i}$ が横向きで長さ $y_{i} - x_{i}$ 、高さ（O からその横の線までの距離）が $y_{i}$ 。だから面積は

\frac{1}{2} y_{i} (y_{i} - x_{i}) = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1

$i = 1, 2$ のどちらでも 1 なので、2 つの三角形の面積は等しい。 $P$ を曲線の上のどこにとっても、形は変わるのに面積はずっと 1。

答え示すこと：

△ {O P}_{1} H_{1} = △ {O P}_{2} H_{2}

。要点：

y - \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{x^{2}}{4} + 2}

を 2 乗して

y (y - x) = 2 (y > 0)

。

H_{i} = (y_{i}

y_{i})

で、底辺

P_{i} H_{i} = y_{i} - x_{i}

、高さ

y_{i}

なので、面積はどちらも

\frac{1}{2} y_{i} (y_{i} - x_{i}) = 1

(2)

囲まれた図形（O と $P_{1}$ 、曲線、 $P_{2}$ で囲む）に、三角形 ${O P}_{2} H_{2}$ をくっつけてみる。すると、三角形 ${O P}_{1} H_{1}$ と、「曲線と直線 $y = x$ の間で、高さが $y_{1}$ から $y_{2}$ の帯」をくっつけた図形と同じになる（三角形 ${O P}_{2} H_{2}$ は線分 ${O P}_{2}$ をはさんで囲まれた図形の反対側、 $y = x$ に近い側にあるので、重ならずに足せる）。

(1) より 2 つの三角形は面積が等しいので、囲まれた面積＝帯の面積。

帯を横に細く切ると、高さ $y$ の所の幅は $y - x = \frac{2}{y}$ 。 $y$ で積分して

\int_{y_{1}}^{y_{2}} \frac{2}{y} d y = 2 \log \frac{y_{2}}{y_{1}}

$x_{1} < x_{2}$ のとき $y$ は $x$ とともに増えるので $y_{1} < y_{2}$ で、この値は正。

$x y = 1$ のグラフの下の面積が log になるのと同じしくみで、ここでは近づく線が $y = 0$ と $y = x$ の「斜めの座標」で見ている。面積は $y_{2}$ と $y_{1}$ の比だけで決まる。

答え

2 \log \frac{y_{2}}{y_{1}}

（囲まれた図形

+ △ {O P}_{2} H_{2} = △ {O P}_{1} H_{1} +

（曲線と直線

y = x

の間の、高さ

y_{1}

から

y_{2}

の部分）。三角形は等しいので、面積は帯の幅

y - x = \frac{2}{y}

を

y

で積分した

\int_{y_{1}}^{y_{2}} \frac{2}{y} d y

）

第5問　円の上を回る 3 点が直角二等辺三角形になる時刻

答えは東大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

円の中心を原点、A を $(1, 0)$ とすると、時刻 $t$ での向きの角は P が $m t$ 、Q が $t$ 、R が $- 2 t$ （時計回りなので負）。3 点とも半径 1 の円の上にある。

三角形 PQR が「PR を斜辺とする直角二等辺三角形」になる条件を、角の条件 2 つに分ける。円に内接する三角形では、角 Q が直角 ⇔ PR が直径。さらに QP＝QR ⇔ Q が弧 PR の真ん中（直径 PR に対して OQ が垂直）。

(答)

PR が直径：P と R の角の差が $π$ の奇数倍。

m t - (- 2 t) = (m + 2) t = (2 j + 1) π

Q が弧の真ん中：OQ と OP が垂直、つまり角の差が $\frac{π}{2}$ の奇数倍。

m t - t = (m - 1) t = \frac{(2 k + 1) π}{2}

（PR が直径なら、OP と OR は反対向きなので、OQ⊥OP だけで OQ⊥OR にもなる。）

1 つ目から $t = \frac{(2 j + 1) π}{m + 2}$ 。2 つ目に入れると

2 (m - 1) (2 j + 1) = (2 k + 1) (m + 2)

左は偶数なので $m + 2$ が偶数、 $m = 2 s$ とおくと $(2 s - 1) (2 j + 1) = (2 k + 1) (s + 1)$ 。左は奇数なので $s + 1$ が奇数、つまり $s$ が偶数で $m$ は 4 の倍数。 $1 ≦ m ≦ 10$ では $m = 4, 8$ 。

$m = 4$ ： $3 (2 j + 1) = 3 (2 k + 1)$ でどの $j$ でもよい。 $t = \frac{(2 j + 1) π}{6}$ で $0 < t ≦ 2 π$ なので、 $t = \frac{π}{6}, \frac{π}{2}, \frac{5}{6} π, \frac{7}{6} π, \frac{3}{2} π, \frac{11}{6} π$ の 6 つ。実は $m = 4$ では Q の角 $t$ がいつも P と R の角の平均 $\frac{4 t - 2 t}{2}$ になっていて、QP＝QR がずっと成り立っている。

$m = 8$ ： $7 (2 j + 1) = 5 (2 k + 1)$ なので $2 j + 1$ は 5 の倍数。 $t = \frac{(2 j + 1) π}{10}$ 、 $2 j + 1 ≦ 20$ から $2 j + 1 = 5, 15$ で $t = \frac{π}{2}, \frac{3}{2} π$ 。たとえば $t = \frac{π}{2}$ では P が $(1, 0)$ 、Q が $(0, 1)$ 、R が $(- 1, 0)$ で、たしかに直角二等辺三角形。

合わせて 8 組。 $t = 0$ や $2 π$ で 3 点が A に重なる時は三角形にならないので入らない（どちらも上の式の解でもない）。

答え

(m

t) = (4, \frac{π}{6})

(4, \frac{π}{2})

(4, \frac{5}{6} π)

(4, \frac{7}{6} π)

(4, \frac{3}{2} π)

(4, \frac{11}{6} π)

(8, \frac{π}{2})

(8, \frac{3}{2} π)

（PR が直径：

(m + 2) t

が

π

の奇数倍。QP=QR：

(m - 1) t

が

\frac{π}{2}

の奇数倍。

t = \frac{(2 j + 1) π}{m + 2}

を入れると

2 (m - 1) (2 j + 1) = (2 k + 1) (m + 2)

で、

m

は 4 の倍数）

第6問　4 つの面が合同な四面体を、たての平面で切る

答えは東大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

4 つの面が合同な四面体では、向かい合う辺の長さが等しい（OA＝BC、OB＝AC、AB＝OC）。どの面も 3 辺が 3, $\sqrt{7}$ , 2 の三角形で、どの辺もとなりの 2 つの面で共有される。面 OAB の辺 OA＝3, OB＝ $\sqrt{7}$ , AB＝2 から、面 OAC・OBC・ABC に長さを割りふっていくと、向かい合う辺が等しい形（OC＝2、AC＝ $\sqrt{7}$ 、BC＝3）しかない。

$\vec{a} = \vec{O A}$ 、 $\vec{b} = \vec{O B}$ 、 $\vec{c} = \vec{O C}$ とすると、内積は 3 辺の長さから出る（たとえば $| \vec{b} - \vec{a} |^{2} = | \vec{a} |^{2} - 2 \vec{a} \cdot \vec{b} + | \vec{b} |^{2}$ ）。

\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{9 + 7 - 4}{2} = 6, \vec{a} \cdot \vec{c} = \frac{9 + 4 - 7}{2} = 3, \vec{b} \cdot \vec{c} = \frac{7 + 4 - 9}{2} = 1

あとは内積の計算で進められる。平面 L を床と見て、C の真下の点 H と、床にたてた平面での切り口を考える。

(1)

$\vec{O H} = s \vec{a} + u \vec{b}$ とおく。H は C から床におろした垂線の足なので、 $\vec{H C} = \vec{c} - s \vec{a} - u \vec{b}$ は $\vec{a}$ とも $\vec{b}$ とも垂直。

(\vec{c} - s \vec{a} - u \vec{b}) \cdot \vec{a} = 3 - 9 s - 6 u = 0

(\vec{c} - s \vec{a} - u \vec{b}) \cdot \vec{b} = 1 - 6 s - 7 u = 0

これを解くと $u = - \frac{1}{3}$ 、 $s = \frac{5}{9}$ 。

$\vec{b}$ の係数が負なので、H は三角形 OAB の外（OB と反対の側）にある。高さは ${C H}^{2} = | \vec{c} |^{2} - | \vec{O H} |^{2} = 4 - \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$ で $C H = \frac{2 \sqrt{6}}{3}$ （(2) で使う）。

答え

\vec{O H} = \frac{5}{9} \vec{O A} - \frac{1}{3} \vec{O B}

（4 つの面が合同なので向かい合う辺が等しい：

O C = 2

A C = \sqrt{7}

B C = 3

。内積

\vec{a} \cdot \vec{b} = 6

\vec{a} \cdot \vec{c} = 3

\vec{b} \cdot \vec{c} = 1

。

\vec{H C}

が

\vec{a}

\vec{b}

と垂直から

9 s + 6 u = 3

6 s + 7 u = 1

）

(2)

平面 M は $P_{t} Q_{t}$ を通り床に垂直。 $P_{t} Q_{t} = t \vec{A B}$ なので M は AB と平行で、床に垂直な向きもふくむ。床の上の点 $s^{'} \vec{a} + u^{'} \vec{b}$ が M の上にあるのは $s^{'} + u^{'} = t$ のとき。C の真下の H は $s + u = \frac{5}{9} - \frac{1}{3} = \frac{2}{9}$ なので、M が C を通るのは $t = \frac{2}{9}$ 。これを境に切り口の形が変わる。

$0 < t ≦ \frac{2}{9}$ ：M は O と、C・A・B の間を通るので、切り口は辺 OA, OB, OC の上に頂点がある三角形。底辺 $P_{t} Q_{t} = 2 t$ （床の上、AB に平行）。OC の上の頂点は $\frac{t}{2 / 9} \vec{c} = \frac{9 t}{2} \vec{c}$ で、その高さは $\frac{9 t}{2} \cdot C H$ 。M は床に垂直なので、この高さがそのまま三角形の高さになる。

S (t) = \frac{1}{2} \cdot 2 t \cdot \frac{9 t}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{6}}{3} = 3 \sqrt{6} t^{2}

$\frac{2}{9} ≦ t < 1$ ：M は O・C と A・B の間を通り、切り口は OA, OB, CA, CB の上に頂点がある四角形。CA, CB の上の点は $\vec{c} + λ (\vec{a} - \vec{c})$ 、 $\vec{c} + λ (\vec{b} - \vec{c})$ で、M は床に垂直なので、空間の点が M の上にあるのは、その点の真下の点（床への正射影）が直線 $P_{t} Q_{t}$ の上にあるとき。 $\vec{c} + λ (\vec{a} - \vec{c})$ の真下は H と A を $λ : 1 - λ$ に分ける点で、係数の和は $\frac{2}{9} (1 - λ) + λ = \frac{2}{9} + \frac{7}{9} λ$ 。これが $t$ に等しいから $λ = \frac{9 t - 2}{7}$ 。この 2 点を結ぶ辺は AB に平行で長さ $2 λ$ 、高さは $(1 - λ) C H$ 。切り口は上の辺 $2 λ$ 、下の辺 $2 t$ の台形なので

S (t) = \frac{1}{2} (2 t + 2 λ) (1 - λ) \cdot \frac{2 \sqrt{6}}{3}

$t + λ = \frac{2 (8 t - 1)}{7}$ 、 $1 - λ = \frac{9 (1 - t)}{7}$ を入れて整理すると $S (t) = \frac{12 \sqrt{6}}{49} (1 - t) (8 t - 1)$ 。 $t = \frac{2}{9}$ で 2 つの式は同じ値 $\frac{4 \sqrt{6}}{27}$ になり、つながっている。

答え

S (t) = 3 \sqrt{6} t^{2} (0 < t ≦ \frac{2}{9})

S (t) = \frac{12 \sqrt{6}}{49} (1 - t) (8 t - 1) (\frac{2}{9} ≦ t < 1)

（

t = \frac{5}{9} - \frac{1}{3} = \frac{2}{9}

で平面

M

が C を通る。前は三角形、後は AB に平行な台形。高さは

C H = \frac{2 \sqrt{6}}{3}

を縮めたもの）

(3)

$0 < t ≦ \frac{2}{9}$ では $S = 3 \sqrt{6} t^{2}$ は増えるだけで、一番大きくても $\frac{4 \sqrt{6}}{27}$ 。

$\frac{2}{9} ≦ t < 1$ では $(1 - t) (8 t - 1) = - 8 t^{2} + 9 t - 1 = - 8 {(t - \frac{9}{16})}^{2} + \frac{49}{32}$ 。 $t = \frac{9}{16}$ は範囲の中なので、ここで最大 $\frac{12 \sqrt{6}}{49} \cdot \frac{49}{32} = \frac{3 \sqrt{6}}{8}$ 。

$\frac{3 \sqrt{6}}{8} ≒ 0.919$ は $\frac{4 \sqrt{6}}{27} ≒ 0.363$ より大きいので、これが最大値。台形の上の辺と下の辺の和 $2 t + 2 λ$ は増え、高さ $(1 - λ) C H$ は減るので、その積がちょうどつりあう所が $t = \frac{9}{16}$ 。

答え

\frac{3 \sqrt{6}}{8}

（

t = \frac{9}{16}

のとき。

0 < t ≦ \frac{2}{9}

では

S ≦ \frac{4 \sqrt{6}}{27}

で、それより小さい）

東大過去問 2010年数学｜AI解答・解説・シミュレーション｜アトリエファクトリー

このページの出典

問題・出題の意図・東京大学の解答例（東京大学の公表資料）

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修正履歴

お知らせ（2026年10月4日）

第1問　直方体を 90° まわすと、通る所は「箱＋扇形の柱」

問題の読み方

(1)

(2)

第2問　log(m/n) と 1/k の和の差を、小さな三角形ではさむ

問題の読み方

(1)

(2)

第3問　ボールを 2 倍にするか、空にするか：L が 30 個になる確率

問題の読み方

(1)

(2)

(3)

第4問　どこに点をとっても三角形の面積は 1、囲む面積は log

問題の読み方

(1)

(2)

第5問　円の上を回る 3 点が直角二等辺三角形になる時刻

問題の読み方

(答)

第6問　4 つの面が合同な四面体を、たての平面で切る

問題の読み方

(1)

(2)

(3)

東大 過去問 2010年 数学｜AI解答・解説・シミュレーション｜アトリエファクトリー

第1問 直方体を 90° まわすと、通る所は「箱＋扇形の柱」

問題の読み方

(1)

(2)

第2問 log(m/n) と 1/k の和の差を、小さな三角形ではさむ

問題の読み方

(1)

(2)

第3問 ボールを 2 倍にするか、空にするか：L が 30 個になる確率

問題の読み方

(1)

(2)

(3)

第4問 どこに点をとっても三角形の面積は 1、囲む面積は log

問題の読み方

(1)

(2)

第5問 円の上を回る 3 点が直角二等辺三角形になる時刻

問題の読み方

(答)

第6問 4 つの面が合同な四面体を、たての平面で切る

問題の読み方

(1)

(2)

(3)

東大過去問 2010年数学｜AI解答・解説・シミュレーション｜アトリエファクトリー

第1問　直方体を 90° まわすと、通る所は「箱＋扇形の柱」

第2問　log(m/n) と 1/k の和の差を、小さな三角形ではさむ

第3問　ボールを 2 倍にするか、空にするか：L が 30 個になる確率

第4問　どこに点をとっても三角形の面積は 1、囲む面積は log

第5問　円の上を回る 3 点が直角二等辺三角形になる時刻

第6問　4 つの面が合同な四面体を、たての平面で切る