東大 過去問 2019年 物理｜AI解答・解説・シミュレーション｜アトリエファクトリー

物　理

第1問　水平な床面上にとった $x$ 軸に沿って動く台車の上の物体の運動について以下の設問Ⅰ，Ⅱに答えよ。

Ⅰ　図1—1に示すように，台車の上にばね定数 $k$ を持ち質量の無視できるばねを介して質量 $m$ の物体が取り付けられており，物体は台車上を滑らかに動く。台車に固定された座標軸 $y$ を，ばねの自然長の位置を原点として，$x$ 軸と同じ向きにとる。ばねは $y$ 軸方向にのみ伸び縮みし，ばねと台車は十分長い。台車は $x$ 軸方向に任意の加速度 $a$ で強制的に運動させることができる。$T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ として以下の設問に答えよ。

（1）　台車が $x=0$，物体が $y=0$ で静止している状態から，台車を表1—1に示す加速度で強制的に運動させる。加速度の大きさ $a_1$ は定数である。時刻 $t=t_1$ における台車の速度，および時刻 $t=0$ から $t=t_1+t_2$ までの間に台車が移動する距離を求めよ。

（2）　物体が $y=0$ で静止している状態から，表1—1で $t_1=\frac{T}{2}$，$t_2=nT$（$n$ は自然数）として台車を動かす。時刻 $t=t_1+t_2$ における物体の $y$ 座標および台車に対する相対速度を求めよ。

（3）　次に台車をとめた状態で物体を $y=y_0(<0)$ にいったん固定したのち，$t=0$ で物体を静かに放し，表1—2に示す加速度で台車を強制的に運動させる。

　加速度の大きさ $a_2$ がある定数のとき，時刻 $t=T$ において物体の $y$ 座標は $y=0$ となり，台車に対する物体の相対速度も $0$ となる。$a_2$ の値および $t=\frac{T}{2}$ における物体の $y$ 座標を求めよ。

Ⅱ　手のひらの上に棒を立て，棒が倒れないように手を動かす遊びがある。このしくみを図1—2に示す倒立振子で考える。倒立振子は質量の無視できる変形しない長さ $\ell$ の細い棒の先端に質量 $m$ の質点を取り付けたものとし，台車上の点Oを支点として $x$ 軸を含む鉛直平面内で滑らかに動くことができる。倒立振子の傾きは鉛直上向きから図1—2の時計回りの角度 $\theta$（ラジアン）で表す。$\theta$ の大きさは十分に小さく，$\sin \theta \fallingdotseq \theta$，$\cos \theta \fallingdotseq 1$ の近似が成り立つ。台車は倒立振子の運動の影響を受けることなく任意の加速度 $a$ で強制的に動かせるものとする。重力加速度の大きさを $g$，$T=2\pi \sqrt{\frac{\ell }{g}}$ として以下の設問に答えよ。

（1）　台車が加速度 $a$ で加速しているとき，台車上で見ると，$\theta$ だけ傾いた倒立振子の先端の質点には，図1—2に示すように重力 $mg$ と慣性力 $(-ma)$ が作用している。質点に働く力の棒に垂直な成分 $f$ を $\theta$，$a$，$m$，$g$ を用いて表せ。ただし $f$ の正の向きは $\theta$ が増える向きと同じとする。

（2）　時刻 $t=0$ で台車は静止しており，倒立振子を ${\theta }_0$ 傾けて静止させた状態から始まる運動を考える。時刻 $t=T$ で台車が静止し，かつ倒立振子が $\theta =0$ で静止するようにしたい。そのために倒立振子を図1—3に示すように運動させる。すなわち単振動の半周期分の運動で ${\theta }_0$ から $0$ を通過して $t=\frac{T}{2}$ で ${\theta }_1$ に至り，続いて ${\theta }_1$ から振幅の異なる単振動の半周期分の運動ののち，$t=T$ において $\theta =0$ に戻り静止する。このような運動となるように加速度 $a$ を変化させる。

　以下の式中の空欄 ア から オ に当てはまる式を選択肢①から⑰の中から選べ。選択肢は繰り返し使って良い。また空欄 i から iii に当てはまる数式を書け。

　時刻 $t=0$ から $t=\frac{T}{2}$ の間の $\theta$ は

$\theta =$ ア $\cos \sqrt{\frac{g}{\ell }}t+$ イ

と表される。このように単振動する質点に働く復元力 $F$ は

$F=$ ウ $(\theta -$ イ $)$

である。この運動を実現するためには設問Ⅱ(1)で求めた $f$ が $F$ と等しければよいので加速度 $a$ は次の式となる。

$a=($ エ $\cos \sqrt{\frac{g}{\ell }}t+$ オ $)g$

　この式の第1項が単振動の加速度と同じ形であることを考慮すると，時刻 $t=0$ から $t=\frac{T}{2}$ の台車の速度の変化 $v_1$ は ${\theta }_0$，${\theta }_1$，$g$，$\ell$ を用いて

$v_1=$ i

となる。

　時刻 $t=\frac{T}{2}$ から $t=T$ の運動についても単振動の半周期分であるので同様に考えれば，この区間の台車の速度の変化 $v_2$ は ${\theta }_1$，$g$，$\ell$ を用いて

$v_2=$ ii

となる。よって

${\theta }_1=$ iii ${\theta }_0$

を得る。

① $\frac{{\theta }_0+{\theta }_1}{2}$

② $\frac{{\theta }_0-{\theta }_1}{2}$

③ $({\theta }_0+{\theta }_1)$

④ $({\theta }_0-{\theta }_1)$

⑤ ${\theta }_0$

⑥ ${\theta }_1$

⑦ $0$

⑧ $\pi$

⑨ $-ma$

⑩ $-mg$

⑪ $-m(g+a)$

⑫ $-\frac{ma}{\ell }$

⑬ $-\frac{mg}{\ell }$

⑭ $-\frac{m(g+a)}{\ell }$

⑮ $-a\ell$

⑯ $-g\ell$

⑰ $-(g+a)\ell$

第2問　図2—1左に示すように，面積 $S$ の薄い円板状の電極2枚を距離 $d$ だけ隔てて平行に配置し，誘電率 $ϵ$，抵抗率 $\rho$ の物質でできた面積 $S$，厚さ $d$ の一様な円柱を電極間に挿入した。電極と円柱はすき間なく接触しており，電場は向かい合う電極間のみに生じると考えてよい。電極の抵抗は無視できるものとする。この電極と円柱の組み合わせは，図2—1右に示すように，並列に接続された抵抗値 $R$ の抵抗と電気容量 $C$ のコンデンサーによって等価的に表現することができる。以下の設問に答えよ。

Ⅰ　$R$ と $C$ をそれぞれ $ϵ$，$\rho$，$S$，$d$ のうち必要なものを用いて表せ。

Ⅱ　図2—2に示すように上記の電極と円柱の組み合わせを $N$ 個積み重ねて接触させ，素子Xを構成した。スイッチを切り替えることによって，この素子Xに電圧 $V_0$ の直流電源，抵抗値 $R_0$ の抵抗，電圧 $V_1\sin \omega t$ の交流電源のいずれかひとつを接続することができる。$\omega$ は角周波数，$t$ は時間である。以下の設問(1)〜(3)には $ϵ$ と $\rho$ は用いずに，$N$，$R$，$C$ のうち必要なものを含む式で解答せよ。

（1）　はじめにスイッチを端子 ${\mathrm{T}}_1$ に接続して素子Xに直流電圧 $V_0$ を加えた。スイッチを操作してから十分に長い時間が経過したとき，直流電源から素子Xに流れる電流の大きさと，素子Xの上端に位置する電極Eに蓄積される電気量を求めよ。

（2）　続いてスイッチを端子 ${\mathrm{T}}_1$ から ${\mathrm{T}}_2$ に切り替えたところ，抵抗 $R_0$ と素子Xに電流が流れた。ただしスイッチの操作は十分短い時間内に行われ，スイッチを操作する間に素子X内の電極の電気量は変化しないものとする。スイッチを操作してから十分長い時間が経過したところ，電流が流れなくなった。スイッチを端子 ${\mathrm{T}}_2$ に接続してから電流が流れなくなるまでに抵抗 $R_0$ で生じたジュール熱を求めよ。また，素子Xを構成する電極と円柱の組み合わせの個数 $N$ を増やして同様の操作を行ったとき，抵抗 $R_0$ で発生するジュール熱は $N$ の増加に対してどのように変化するかを次の①〜④から一つ選べ。

①　単調に増加する

②　単調に減少する

③　変化しない

④　上記①から③のいずれでもない

（3）　次にスイッチを端子 ${\mathrm{T}}_2$ から ${\mathrm{T}}_3$ に切り替え，素子Xに交流電圧 $V_1\sin \omega t$ を加えた。スイッチを操作してから十分に長い時間が経過したとき，交流電源から素子Xへ流れる電流を求めよ。

Ⅲ　設問Ⅱで用いた素子Xを構成する物質の $ϵ$ および $\rho$ の値が未知であるとき，これらの値を求めるためにブリッジ回路を用いる方法がある。図2—3のように素子X，設問Ⅱの交流電源，交流電流計，3つの抵抗と1つのコンデンサーを配置し，交流ブリッジ回路を構成した。抵抗値と電気容量の大きさを調節したところ，交流電流計に電流が流れなくなった。このとき，図2—3のように各抵抗の抵抗値は $R_1$，$2R_1$，$R_2$，コンデンサーの電気容量は $C_0=\frac{1}{\omega R_2}$ であった。次の ア から ク に入る適切な数式を書け。なお，J，K，L，Mは回路上の点を表す。

　K–M間の電圧は ア である。このことを用いて，抵抗 $R_2$ に流れる電流を，$C_0$ を含まない式で表すと，イ $\sin \omega t+$ ウ $\cos \omega t$ となる。一方，J–K間の電圧は エ であることから，J–L間を流れる電流を $C$ や $R$ を含む式で表すと オ $\sin \omega t+$ カ $\cos \omega t$ となる。以上のことから次式が得られる。

$ϵ=$ キ

$\rho =$ ク

　ただし，キ と ク は $R_1$，$R_2$，$\omega$，$N$，$S$，$d$ のうち必要なものを用いて表すこと。

第3問　光の屈折に関する以下の設問Ⅰ，Ⅱに答えよ。問題文中の屈折率は真空に対する屈折率（絶対屈折率）とする。また，角度は全てラジアンで表す。光源からは全方位に光が放射されているものとする。光の反射は無視してよい。

Ⅰ　図3—1に示すように，媒質1（屈折率 $n_1$）と媒質2（屈折率 $n_2$）の境界での光の屈折を考える。境界は点Oを中心とする半径 $r$ の球面の一部であり，左に凸とする。点Oと光源（点C）を通る直線を $x$ 軸とし，球面が $x$ 軸と交わる点をBとする。光源は点Bから左に $x_1$ だけ離れており，そこから発した図中の太矢印方向の光線は，$x$ 軸から高さ $h$ の球面上の点Pで屈折する。このときの入射角を ${\theta }_1$，屈折角を ${\theta }_2$ とする。

　境界の右側から光源を見ると，あたかも光源が点A（点Bから左に $x_2$ 離れた位置）にあるように見える。本設問Ⅰおよび次の設問Ⅱでは，これを「見かけ上の光源」と呼ぶことにする。以下，入射角が微小となる光線を考える。すなわち，図中の角度 ${\theta }_1$，${\theta }_2$，${\alpha }_1$，${\alpha }_2$，$\varphi$ について微小角度 $\beta$ に対する近似式 $\sin \beta \fallingdotseq \beta$ が成り立ち，$\mathrm{C}\mathrm{P}\fallingdotseq x_1$，$\mathrm{A}\mathrm{P}\fallingdotseq x_2$ と近似できる場合を考える。以下の問に答えよ。

（1）　$\frac{{\theta }_1}{{\theta }_2}$ を $n_1$，$n_2$ を用いて表せ。

（2）　${\theta }_1$，${\theta }_2$ をそれぞれ ${\alpha }_1$，${\alpha }_2$，$\varphi$ の中から必要なものを用いて表せ。

（3）　${\alpha }_1$，${\alpha }_2$，$\varphi$ をそれぞれ $x_1$，$x_2$，$r$，$h$ の中から必要なものを用いて表せ。

（4）　問(1)—(3)で得た関係式を組み合わせることで（式1）が導かれる。$x_1$，$x_2$ を用いて空欄 ア，イ を埋め，この式を完成させよ。

$n_1(\frac{1}{r}+$ ア $)=n_2(\frac{1}{r}+$ イ $)$　　（式1）

（5）　媒質1と媒質2の境界が右に凸の球面の場合を問(1)—(4)と同様に考える。このとき，光源が点Oより左側にある場合［図3—2(A)］と，右側にある場合［図3—2(B)］が考えられる。それぞれの場合に対し，$n_1$，$n_2$，$r$，$x_1$，$x_2$ の間に成り立つ関係式を（式1）と同様の形で表せ。

Ⅱ　（1）　図3—3に示すように，屈折率 $n_1$ の媒質1に光源があり，屈折率 $n_2$ の媒質2に観察者がいる。媒質1と媒質2の境界は平面であり，（式1）において $r$ が非常に大きい場合 $(\frac{1}{r}\fallingdotseq 0)$ とみなすことができる。境界から光源までの距離を $L_1$，境界から観察者までの距離を $L_2$，光源から観察者までの距離を $L_1+L_2$ とするとき，観察者から設問Ⅰで述べた「見かけ上の光源」までの距離を $n_1$，$n_2$，$L_1$，$L_2$ を用いて表せ。

（2）　設問Ⅱ(1)の状況で，屈折率 $n_f$ の透明な板を図3—4に示すように境界の上に置くことで，観察者から「見かけ上の光源」までの距離を $L_1+L_2$ にすることができた。このとき，板の厚さ $d$ を求めよ。また，$n_f$ と $n_1$，$n_2$ の大小関係を示せ。ただし，$n_1$，$n_2$，$n_f$ はすべて異なる値とする。

（3）　設問Ⅱ(2)で置いた板を取り除いたのち，媒質1と媒質2の境界を図3—5の(A)または(B)のように変形させた。変形した部分は半径 $r$ の球の一部とみなすことができる。ただし，境界面の最大変位 $\delta$ は $L_1$，$L_2$ に比べて十分小さく無視してよい。いま，$n_1=1.5$，$n_2=1$，$L_1=1\mathrm{m}$，$L_2=2\mathrm{m}$ とする。このとき，変形した部分を通して見ると，観察者から $4\mathrm{m}$ の位置に「見かけ上の光源」が見えた。この場合の球面は，下に凸［図3—5(A)］，または上に凸［図3—5(B)］のうちのいずれであるか。(A)または(B)の記号で答えよ。さらに，$r$ の値を求めよ。

（4）　設問Ⅱ(3)の状況で，観察者の位置に厚さの無視できる薄いレンズを一つ置き，その上から見たところ，「見かけ上の光源」が光源と同じ位置（レンズから $3\mathrm{m}$ の位置）に見えた。このとき，凸レンズと凹レンズのどちらを用いたか答えよ。また，このレンズの焦点距離を求めよ。