東大 過去問 2009年 物理｜AI解答・解説・シミュレーション｜アトリエファクトリー

物　理

第1問　図1—1のように，鉛直に固定した透明な管がある。ばね定数 $k$ のばねの下端を管の底面に固定し，上端を質量 $m$ の物体1に接続する。質量が同じく $m$ の物体2を，物体1の上に固定せずにのせる。地面上の一点Oを原点として鉛直上向きに $x$ 軸をとる。ばねが自然長になっている時の物体1の $x$ 座標は $h$ であり，重力加速度の大きさは $g$ である。

　なお，物体の大きさは小さく，管との摩擦や空気抵抗は無視でき，$x$ 方向以外の運動は考えない。ばねの質量は無視できる。また，管は十分長く，実験中に物体が飛び出すことはないものとする。

Ⅰ　物体1と物体2を，互いに接した状態で，物体1の $x$ 座標が $x_{\mathrm{A}}$ となる位置まで押し下げ，時刻 $t=0$ に初速度 $0$ で放したところ，物体1と物体2は互いに接した状態で単振動を開始した。

（1）　この時の，物体1の単振動の中心の $x$ 座標を答えよ。

（2）　物体1と物体2の $x$ 方向の運動方程式をそれぞれ書け。各物体の加速度を $a_1$，$a_2$，物体1の位置を $x$，互いに及ぼす抗力の大きさを $N(N\geqq 0)$ とせよ。

（3）　$x_{\mathrm{A}}$ の値によっては，運動中に物体1と物体2が分離することがある。図1—2はこのような場合の物体の位置の時間変化を示す。運動方程式を使って，分離の瞬間の物体1の $x$ 座標を求めよ。なお，図1—2では物体の大きさは無視されており，接している間の物体1と物体2の位置を1本の実線で表している。

（4）　分離の瞬間の物体1の速度を答えよ。また，分離が起きるのは，時刻 $t=0$ における物体1の位置 $x_{\mathrm{A}}$ がどのような条件を満たす場合か答えよ。

Ⅱ　物体1と物体2が分離した後の運動について考える。分離後，物体1は単独で単振動する。物体2は重力のために，分離後ある時間が経過した後に必ず物体1に衝突する。分離から衝突までの時間は時刻 $t=0$ における物体1の位置 $x_{\mathrm{A}}$ に依存する。ここで，分離から衝突までの時間が，物体1が単独で単振動する際の周期 $T$ に等しくなるように，$x_{\mathrm{A}}$ の値を設定した。衝突の時刻を $T_1$ とする。

（1）　物体1が単独で単振動する際の周期 $T$ を答えよ。また，物体1と物体2が衝突する瞬間（時刻 $T_1$）の物体1の $x$ 座標を答えよ。

（2）　分離の瞬間の物体2の速度を $V$ とする。分離から衝突までの時間が $T$ となるための $V$ の満たす式を書け。

（3）　物体1と物体2の間のはねかえり係数は1であるとし，時刻 $T_1$ における衝突以降の運動を考える。物体1と物体2が，$T_1$ 以降に再び接触する時刻 $T_2$ と，その時の物体1の $x$ 座標を答えよ。また，時刻 $t=0$ から $2T_1$ までの間で，横軸を時刻，縦軸を物体の位置とするグラフの概形を描け。物体の大きさは無視し，物体1と物体2が接した状態で運動している部分は実線，分離している部分は点線を用いよ。なお，横軸，縦軸共に，値や式を記入する必要はない。

（4）　この場合の $x_{\mathrm{A}}$ を $h$，$m$，$k$，$g$ を用いて表せ。

第2問　図2のように，紙面内の上から下向き（$x$ 軸の正の向き）に重力（重力加速度の大きさ $g$）がはたらき，紙面に垂直に裏から表の向きに一様な磁場（磁束密度の大きさ $B$）が，EFとGHの間の領域だけに加えられている。EFとGHは水平である。抵抗 $R$，質量 $m$ の一様な導線を一巻きにして作った高さ $a$，幅 $b$ の長方形のコイルABCDを，磁場のある領域の上方から落下させる。その際，ABCDは紙面内にあり，BCが $x$ 軸と平行となるように，常に姿勢を保つようにした。EFとGHの距離はコイルの高さ $a$ に等しい。導線の太さは $a$ や $b$ に比べ十分小さく，EFは $b$ に比べ十分長いものとする。また，自己誘導や空気抵抗は無視し，地面との衝突は考えないものとする。

Ⅰ　時刻 $t=0$ に，ABとEFの距離が $h$ となる位置から初速度 $0$ でコイルを落下させた。

（1）　ABがEFに到達する時刻 $t_1$ と，その時のコイルの速さ $v_1$ を $h$ を用いて表せ。

（2）　ABがGHに到達する時刻を $t_2$ とする。ある時刻 $t(t_1<t<t_2)$ に，コイルが速さ $v$ で落下しているとする。このとき，コイルにはたらく合力（$x$ 軸の正の向きを正とする）を $v$ を用いて表せ。

（3）　ABがEFに到達する時のコイルの速さ $v_1$ の値によって，時刻 $t_1$ から $t_2$ の間にコイルが加速する場合と減速する場合がある。それぞれの場合における，$v_1$ の条件を記せ。

Ⅱ　時刻 $t_1$ から $t_2$ の間コイルが等速度で落下するように，時刻 $t=0$ におけるコイルの位置をうまく調整してから，初速度 $0$ で落下させた。

（1）　この場合の，時刻 $t=0$ におけるABとEFの距離と時間 $t_2-t_1$ を求めよ。

（2）　時刻 $t_1$ から $t_2$ の間に，コイルで消費される電力 $P$ と熱として発生するエネルギー $W$ を求めよ。

（3）　DCがGHに到達する時刻を $t_3$ とする。時間 $t_3-t_2$ を求めよ。また，落下開始から，磁場のある領域を十分離脱するまでの，コイルの速さの時間変化を表すグラフを描け。グラフには，$t=t_1$，$t_2$，$t_3$（具体的な式は不要）と，それらの時刻における速さの式を記せ。

第3問　常温の水は液体（以後単に水という）と気体（水蒸気）の2つの状態をとることができる。どちらの状態をとるかは温度と圧力により，図3—1に示すように定まる。たとえば，水をシリンダーに密封して温度を $30℃$，圧力を $7000\mathrm{P}\mathrm{a}$ にしたときは水であり，熱を与えて，温度や圧力を多少変えても全部が水のままである。一方，同じ $30℃$ で，圧力を $1000\mathrm{P}\mathrm{a}$ にしたときはすべて水蒸気である。ただし，図3—1のB点，C点のような境界線上の温度と圧力のときは水と水蒸気が共存できる。逆に，水と水蒸気が共存しているときの温度と圧力はこの境界線（共存線）上の値をもつ。温度を与えたときに定まる共存時の圧力を，その温度での蒸気圧という。一定の圧力で共存している水と水蒸気に熱を与えると，温度は変わらずに，熱に比例する量の水が水蒸気に変わり，全体の体積は膨張する。単位物質量の水を水蒸気に変化させるために必要なエネルギーを蒸発熱と呼ぶ。

　このことを参考にして，図3—2に示す装置のはたらきを調べよう。断面積 $A[{\mathrm{m}}^2]$ で下端を閉じたシリンダーを鉛直に立てて，物質量 $n[\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}]$ の水を入れ，質量 $m_1[\mathrm{k}\mathrm{g}]$ のピストンで密閉し，その上に質量 $m_2[\mathrm{k}\mathrm{g}]$ のおもりをのせる。シリンダーの上端を閉じてピストンの上側を真空にする。ピストンはシリンダーと密着してなめらかに動くことができるが，シリンダーの上方にはストッパーが付いていて，ピストンの下面の高さが $L[\mathrm{m}]$ になるところまでしか上昇しないようになっている。シリンダーの底にはヒーターが置かれていて，外部からの電流でジュール熱を発生できるようになっている。以下の過程を通じて，各瞬間の水と水蒸気の温度はシリンダー内の位置によらず等しいものとする。また，圧力の位置による違いは無視する。

Ⅰ　$20℃$ での蒸気圧を $p_1[\mathrm{P}\mathrm{a}]$，$30℃$ での蒸気圧を $p_2[\mathrm{P}\mathrm{a}]$ と記す。ピストンのみでおもりをのせないときに内部の圧力が $p_1$ で，ピストンにおもりをのせたときに $p_2$ になるようにしたい。$m_1$ と $m_2$ を求めよ。重力加速度の大きさを $g[\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2]$ とする。

Ⅱ　圧力 $p_2$ での $20℃$ の水のモル体積（$1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}$ 当たりの体積）を $v_1[{\mathrm{m}}^3/\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}]$ とする。この温度でおもりをのせた状態でのシリンダー内の水の深さ $d[\mathrm{m}]$ を求めよ。なお，ヒーターの体積は無視できる。

Ⅲ　装置全体を断熱材で覆い，ピストンにおもりをのせたまま，はじめ $20℃$ であった水をヒーターでゆっくりと $30℃$ になるまで加熱する。このとき，水の状態は図3—1のA点からB点に移る。$20℃$ から $30℃$ までの水の定圧モル比熱は温度によらず，$c[\mathrm{J}/(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}·\mathrm{K})]$ であるとする。水を $30℃$ にするためにヒーターで発生させるジュール熱 $Q_1[\mathrm{J}]$ を求めよ。なお，シリンダー，ピストン，おもり，断熱材など，水以外の物体の熱容量は無視できるものとする。

Ⅳ　$30℃$ の水をさらにヒーターでゆっくりと加熱する。このときの温度と圧力はB点に留まり，水は少しずつ水蒸気に変化していく。図3—3のようにピストンがストッパーに達したときにも水が残っていた。B点での水のモル体積 $v_2[{\mathrm{m}}^3/\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}]$ とB点での水蒸気のモル体積 $v_3[{\mathrm{m}}^3/\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}]$ を用いて，このときの水蒸気の物質量 $x[\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}]$ を求めよ。

Ⅴ　$30℃$ の水を，その温度での蒸気圧の下で，水蒸気にするために必要となる蒸発熱を $q[\mathrm{J}/\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}]$ とする。問Ⅳの過程で，ピストンがストッパーに達するまでに，ヒーターで発生させるジュール熱 $Q_2[\mathrm{J}]$ を求めよ。

Ⅵ　ピストンがストッパーに達したときにヒーターを切り，おもりを横にずらして，ストッパーにのせる。つぎにまわりの断熱材を取り除き，$18℃$ の室内で装置全体がゆっくりと冷えるのを待つ。

（1）　時間の経過（温度の低下）とともに，圧力がどのように変化するか述べよ。

（2）　時間の経過（温度の低下）とともに，ピストンはストッパーに接した位置と水面に接した位置の間でどのように動くか，動く場合にはその速さ（瞬間的か，ゆっくりか）を含めて述べよ。