東大過去問 2008年数学｜AI解答・解説・シミュレーション

東大過去問 2008年数学｜AI解答・解説・シミュレーション｜アトリエファクトリー

PDFの 2 枚目

第1問

　座標平面の点 $(x, y)$ を $(3 x + y, - 2 x)$ へ移す移動 $f$ を考え，点 $P$ が移る行き先を $f (P)$ と表す。 $f$ を用いて直線 $l_{0}$ ， $l_{1}$ ， $l_{2}$ ， $\dots$ を以下のように定める。

　・ $l_{0}$ は直線 $3 x + 2 y = 1$ である。

　・点 $P$ が $l_{n}$ 上を動くとき， $f (P)$ が描く直線を $l_{n + 1}$ とする $(n = 0, 1, 2, \dots)$ 。

以下 $l_{n}$ を $1$ 次式を用いて $a_{n} x + b_{n} y = 1$ と表す。

（1）　 $a_{n + 1}$ ， $b_{n + 1}$ を $a_{n}$ ， $b_{n}$ で表せ。

（2）　不等式 $a_{n} x + b_{n} y > 1$ が定める領域を $D_{n}$ とする。 $D_{0}$ ， $D_{1}$ ， $D_{2}$ ， $\dots$ すべてに含まれるような点の範囲を図示せよ。

PDFの 3 枚目

第2問

　白黒 $2$ 種類のカードがたくさんある。そのうち $k$ 枚のカードを手もとにもっているとき，次の操作（A）を考える。

　　（A）　手持ちの $k$ 枚の中から $1$ 枚を, 等確率 $\frac{1}{k}$ で選び出し, それを違う色のカードにとりかえる。

以下の問（1）, （2）に答えよ。

（1）　最初に白 $2$ 枚，黒 $2$ 枚，合計 $4$ 枚のカードをもっているとき，操作（A）を $n$ 回繰り返した後に初めて， $4$ 枚とも同じ色のカードになる確率を求めよ。

（2）　最初に白 $3$ 枚，黒 $3$ 枚，合計 $6$ 枚のカードをもっているとき，操作（A）を $n$ 回繰り返した後に初めて， $6$ 枚とも同じ色のカードになる確率を求めよ。

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第3問

（1）　正八面体のひとつの面を下にして水平な台の上に置く。この八面体を真上から見た図（平面図）を描け。

（2）　正八面体の互いに平行な $2$ つの面をとり，それぞれの面の重心を $G_{1}$ ， $G_{2}$ とする。 $G_{1}$ ， $G_{2}$ を通る直線を軸としてこの八面体を $1$ 回転させてできる立体の体積を求めよ。ただし八面体は内部も含むものとし，各辺の長さは $1$ とする。

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第4問

　放物線 $y = x^{2}$ 上に $2$ 点 $P, Q$ がある。線分 $P Q$ の中点の $y$ 座標を $h$ とする。

（1）　線分 $P Q$ の長さ $L$ と傾き $m$ で， $h$ を表せ。

（2）　 $L$ を固定したとき， $h$ がとりうる値の最小値を求めよ。

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第5問

　自然数 $n$ に対し， $\frac{10^{n} - 1}{9} = \overset{n 個}{\overset{⏞}{111 \dots 111}}$ を 𝑛 で表す。たとえば 1 $= 1$ ，2 $= 11$ ，3 $= 111$ である。

（1）　 $m$ を $0$ 以上の整数とする。3ᵐ は $3^{m}$ で割り切れるが， $3^{m + 1}$ では割り切れないことを示せ。

（2）　 $n$ が $27$ で割り切れることが，𝑛 が $27$ で割り切れるための必要十分条件であることを示せ。

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第6問

　座標平面において，媒介変数 $t$ を用いて

{\begin{matrix} x = \cos 2 t \\ y = t \sin t \end{matrix} (0 ≦ t ≦ 2 π)

と表される曲線が囲む領域の面積を求めよ。

第1問　点を移すと直線が回る：全部の側に入る所は？

答えは東大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

移動 $f$ は点 $(x, y)$ を $(3 x + y, - 2 x)$ へ送る 1 次の移動。直線を $f$ で移すと直線になるので、直線 $l_{0}$ から始めて $l_{1}, l_{2}, \dots$ が次々に決まる。(1) はその係数の決まり方（漸化式）、(2) は不等式 $a_{n} x + b_{n} y > 1$ の側の領域をすべての $n$ で重ねた共通部分を求める。

筋は 2 つ。(1) は「移った点から元の点を逆算して、元の直線の式に入れる」。(2) は $a_{n}, b_{n}$ を $n$ の式で出し、 $a_{n} x + b_{n} y$ を「 $n$ によらない部分」と「 $\frac{1}{2^{n}}$ がかかる部分」に分ける。すると $n$ が大きくなるときの様子が $2 x + y$ の符号だけで決まる。

図で見ると、 $f$ は直線 $y = - 2 x$ の上の点を動かさない（たとえば $f (- 1, 2) = (- 1, 2)$ ）。だから $l_{0}$ と $y = - 2 x$ の交点 $(- 1, 2)$ は、どの $l_{n}$ にものったまま。直線は $(- 1, 2)$ を中心に回りながら、ある直線に近づいていく。

(1)

$l_{n}$ の上の点 $P (x, y)$ が $f$ で $(X, Y)$ に移ったとする。

X = 3 x + y, Y = - 2 x

これを $x, y$ について解くと $x = - \frac{Y}{2}$ 、 $y = X - 3 x = X + \frac{3}{2} Y$ 。

$P$ は $l_{n}$ の上にあるので $a_{n} x + b_{n} y = 1$ 。ここに入れると

a_{n} (- \frac{Y}{2}) + b_{n} (X + \frac{3}{2} Y) = 1 ⟹ b_{n} X + \frac{3 b_{n} - a_{n}}{2} Y = 1

$P$ が $l_{n}$ の上を全部動くと $(X, Y)$ はこの直線の上を全部動く（ $f$ は逆に戻せる移動なので、直線全体に行きわたる）。これが $l_{n + 1}$ なので、係数を比べて $a_{n + 1} = b_{n}$ 、 $b_{n + 1} = \frac{3 b_{n} - a_{n}}{2}$ 。

右辺が 1 の形にそろえてあるので、係数はこの形で 1 通りに決まる。 $l_{0}$ から順に $(a, b) = (3, 2), (2, \frac{3}{2}), (\frac{3}{2}, \frac{5}{4}), \dots$ と進む。

答え

a_{n + 1} = b_{n}

b_{n + 1} = \frac{3 b_{n} - a_{n}}{2}

（

f

で

(x

y)

が

(X

Y)

に移るとき

x = - \frac{Y}{2}

y = X + \frac{3}{2} Y

。これを

a_{n} x + b_{n} y = 1

に入れると

b_{n} X + \frac{3 b_{n} - a_{n}}{2} Y = 1

）

(2)

まず $a_{n}, b_{n}$ を $n$ の式にする。 $a_{n + 1} = b_{n}$ を使うと $b_{n + 2} = \frac{3 b_{n + 1} - b_{n}}{2}$ 。特性方程式 $2 r^{2} - 3 r + 1 = 0$ の解は $r = 1, \frac{1}{2}$ なので $b_{n} = A + B {(\frac{1}{2})}^{n}$ の形。 $b_{0} = 2$ 、 $b_{1} = \frac{3}{2}$ から $A = B = 1$ ：

b_{n} = 1 + \frac{1}{2^{n}}, a_{n} = b_{n - 1} = 1 + \frac{2}{2^{n}}

（ $a_{0} = 3$ もこの式で合う。）

すると

a_{n} x + b_{n} y = (x + y) + \frac{2 x + y}{2^{n}}

$s = \frac{1}{2^{n}}$ とおくと、 $s$ は $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \dots$ と 0 に近づき、 $a_{n} x + b_{n} y$ は $s$ の 1 次式。すべての $n$ で 1 より大きいかは、 $2 x + y$ の符号で分けて考える。

$2 x + y > 0$ のとき、 $s$ が小さいほど値が小さい。はてでは $x + y$ に近づくので、 $x + y < 1$ ならいつかは 1 以下になってしまう。逆に $x + y ≧ 1$ なら、どの $n$ でも $(x + y) + s (2 x + y) > 1$ 。等号 $x + y = 1$ も入るのがこの問題のかなめ。

$2 x + y < 0$ のとき、 $s$ が大きいほど値が小さいので、一番厳しいのは $n = 0$ の $3 x + 2 y > 1$ 。 $2 x + y = 0$ のときは $x + y > 1$ 。

3 つをまとめると「 $x + y ≧ 1$ かつ $3 x + 2 y > 1$ 」と 1 つの形にできる（たとえば $2 x + y > 0$ で $x + y ≧ 1$ なら $3 x + 2 y = (x + y) + (2 x + y) > 1$ が自動で成り立つ。逆に $2 x + y < 0$ で $3 x + 2 y > 1$ なら $x + y = (3 x + 2 y) - (2 x + y) > 1$ 、 $2 x + y = 0$ なら $3 x + 2 y = x + y$ なので、どの場合も 2 つの不等式と同じになる）。2 本の直線は点 $(- 1, 2)$ で交わり、境目のうち $x + y = 1$ の $x > - 1$ の部分は入り、 $3 x + 2 y = 1$ の $x < - 1$ の部分と点 $(- 1, 2)$ は入らない。どの $D_{n}$ も境目を含まないのに、全部の共通部分では境目の一部が入るところが「なるほど」。

答え

x + y ≧ 1

かつ

3 x + 2 y > 1

（2 直線は点

(- 1

2)

で交わる。境界のうち直線

x + y = 1

の

x > - 1

の部分は含み、直線

3 x + 2 y = 1

の

x < - 1

の部分と点

(- 1

2)

は含まない。

a_{n} = 1 + \frac{2}{2^{n}}

b_{n} = 1 + \frac{1}{2^{n}}

より

a_{n} x + b_{n} y = (x + y) + \frac{2 x + y}{2^{n}}

）

第2問　1 枚ずつ色をかえて、全部そろうのは何回目？

答えは東大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

カードの並び方は関係なく、大事なのは白が何枚あるかだけ。白が $w$ 枚のとき、白を選ぶ確率は $\frac{w}{k}$ （白が 1 枚減る）、黒を選ぶ確率は $\frac{k - w}{k}$ （白が 1 枚増える）。白の枚数は 1 回ごとに必ず 1 だけ増えるか減るかで、 $0$ か $k$ になったら全部同じ色。

白の枚数を数直線の上の点と見ると、点が 1 回ごとに左右へ 1 つ動き、両はしに着いたら終わり。1 回で必ず偶奇が変わるので、そろうのは偶数回目だけ、または奇数回目だけになる。さらに対称性（白と黒を入れかえても同じ）から、「真ん中からのずれ」だけを追えばよい。

筋は「2 回ずつまとめて見る」こと。2 回たつと同じ所にもどるか、そろって終わるかのどちらかになり、同じ確率のくり返しになる。

(1)

4 枚で白 2 枚から始める。1 回目は、どれを選んでも白 1 枚か 3 枚になる（必ずずれる）。対称なので白 1 枚で考える。

白 1 枚からの次の 1 回：白を選ぶと（確率 $\frac{1}{4}$ ）白 0 枚で全部黒にそろう。黒を選ぶと（確率 $\frac{3}{4}$ ）白 2 枚にもどる。白 2 枚にもどったら、また 1 回で白 1 枚か 3 枚へ行く。

だから 2 回を 1 組として、「そろう」が $\frac{1}{4}$ 、「白 2 枚にもどる」が $\frac{3}{4}$ の同じくり返し。そろうのは偶数回目だけで、 $n = 2 m$ 回目に初めてそろうのは、はじめの $m - 1$ 組でもどり、 $m$ 組目でそろうとき：

{(\frac{3}{4})}^{m - 1} \cdot \frac{1}{4} (n = 2 m)

奇数回目に初めてそろう確率は 0。 $m = \frac{n}{2}$ を入れると答えの形になる。確かめに $n = 2, 4, 6$ で $\frac{1}{4}, \frac{3}{16}, \frac{9}{64}$ と、全部の選び方を数えた値と一致する。

答え

n

が偶数のとき

\frac{1}{4} {(\frac{3}{4})}^{\frac{n}{2} - 1}

n

が奇数のとき

0

（白 2 枚から 1 回で必ず白 1 枚か 3 枚。そこから

\frac{1}{4}

でそろい、

\frac{3}{4}

で白 2 枚にもどる。2 回で 1 往復）

(2)

6 枚で白 3 枚から始める。1 回目で必ず白 2 枚か 4 枚になる。対称なので白 2 枚（真ん中から 1 つずれた所）で考える。ここから 2 回ずつ見る。

白 2 枚からの 1 回目：白を選ぶと（ $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ ）白 1 枚、黒を選ぶと（ $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ ）白 3 枚。白 3 枚からは次の 1 回で必ず白 2 枚か 4 枚（ずれ 1）にもどる。白 1 枚からは、白を選ぶと（ $\frac{1}{6}$ ）白 0 枚でそろい、黒を選ぶと（ $\frac{5}{6}$ ）白 2 枚にもどる。

まとめると、ずれ 1 の所から 2 回たったとき

もどる : \frac{2}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{6} = \frac{17}{18}, そろう : \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{18}

1 回目のあとは奇数回目ごとに「ずれ 1」にいるので、そろうのは 3 回目、5 回目、… の奇数回目だけ。 $n = 2 m + 1$ 回目（ $m ≧ 1$ ）に初めてそろうのは、 $m - 1$ 組もどってから $m$ 組目でそろうとき：

{(\frac{17}{18})}^{m - 1} \cdot \frac{1}{18}

$m - 1 = \frac{n - 3}{2}$ を入れると答えの形。 $n = 1$ と偶数回目は 0。

そろう手前（白 1 枚）まで行っても $\frac{5}{6}$ で押しもどされるので、4 枚のときよりずっと時間がかかる。かかる回数の平均は、4 枚で 8 回、6 枚で 37 回になる。

答え

n

が 3 以上の奇数のとき

\frac{1}{18} {(\frac{17}{18})}^{\frac{n - 3}{2}}

n = 1

または

n

が偶数のとき

0

（1 回目で必ず白 2 枚か 4 枚。そこから 2 回で「白 3 枚を通ってもどる」

\frac{2}{3}

、「白 1 枚（5 枚）を通ってもどる」

\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{6}

、「そろう」

\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{18}

）

第3問　正八面体を真上から見る・軸のまわりに回す

答えは東大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

正八面体は、向かい合う面が平行になっている。1 つの面を下にして置くと、上の面はそれと平行で、しかも上下さかさまの向きの正三角形になる。残りの 6 つの面は、上の三角形の辺と下の三角形の辺を交互にななめにつないでいる。(1) も (2) も、この「平行な 2 つの面と、その間の 6 本のななめの辺」という形が土台になる。

(2) で回す軸は、この平行な 2 つの面の重心を通る直線。(1) で置いた向きでいえば真上に立つまっすぐな軸なので、(1) の平面図がそのまま (2) の「上から見た形」になっている。

回転体の体積は、軸に垂直に切った切り口を回してできる円の面積を、高さにそって足す（積分する）。切り口が軸をふくむので、回してできるのは円板で、半径は切り口の中で軸から一番遠い点までの距離。

(1)

辺の長さを $a$ とする。下の面の正三角形の頂点は、真上から見ると軸（面の重心）から $\frac{a}{\sqrt{3}}$ の所に 120° おきにある（正三角形の重心から頂点までの距離）。上の面も同じ大きさで、向きが 180° 回っているので、頂点はそのちょうど間の方向にある。

だから真上から見ると、6 つの頂点が軸から同じ距離 $\frac{a}{\sqrt{3}}$ に 60° おきに並ぶ：正六角形。1 辺の長さも $\frac{a}{\sqrt{3}}$ になる（中心角 60° の二等辺三角形は正三角形だから）。

辺を書きこむ。上の面の 3 辺は、1 つおきの頂点を結ぶ正三角形で、一番上にあるのでよく見える。上の頂点と下の頂点をつなぐ 6 本のななめの辺は、ちょうど正六角形の 6 本の辺に重なって見える。下の面の 3 辺は、残りの 1 つおきの頂点を結ぶさかさまの正三角形になるが、上から見ると八面体の中身にかくれているので、見えない辺として点線でかく。

できあがりは「正六角形の中に、上の面の正三角形（実線）と下の面の正三角形（点線）が六芒星のように重なった図」。

答え外形は正六角形（辺の長さ

a

の正八面体なら 1 辺

\frac{a}{\sqrt{3}}

）。その中に、1 つおきの頂点を結ぶ正三角形（上の面の 3 辺・見える）と、残りの頂点を結ぶ正三角形（台に接する下の面の 3 辺・上から見えないので点線）をかく。上の面と下の面は上下さかさまの正三角形で、まわりの 6 本の辺が六角形の辺になる

(2)

向かい合う面の間の距離（軸にそった長さ）を出す。辺 1 の正八面体を $| x | + | y | + | z | ≦ \frac{1}{\sqrt{2}}$ と置くと、面 $x + y + z = \frac{1}{\sqrt{2}}$ と原点の距離は $\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{6}}$ 。向かい合う面はその 2 倍：

h = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{3}

下の面から高さ $h w$ （ $0 ≦ w ≦ 1$ ）で軸に垂直に切る。切り口は、6 本のななめの辺をそれぞれ下の頂点の側から $w : (1 - w)$ に分ける点を頂点とする六角形（ $w = 0$ と $1$ では三角形）。ななめの辺は、軸から $\frac{1}{\sqrt{3}}$ の下の頂点 B と、上から見て 60° ずれた所にある上の頂点 T を結ぶので、分ける点の軸からの距離の 2 乗は、上から見た図で B と T の影を B の側から $w : (1 - w)$ に内分する点（B の影を $1 - w$ 倍、T の影を $w$ 倍して足した点）を考えて

\frac{1}{3} {(1 - w)^{2} + w^{2} + 2 w (1 - w) \cos 60^{\circ}} = \frac{1 - w + w^{2}}{3}

切り口は軸をふくむ凸な図形で、軸から一番遠い点はその頂点。6 つの頂点は対称なので同じ距離。だから回してできる円の半径 $r$ は $r^{2} = \frac{1 - w + w^{2}}{3}$ 。両はし（ $w = 0, 1$ ）で $r = \frac{1}{\sqrt{3}}$ 、真ん中（ $w = \frac{1}{2}$ ）で $r = \frac{1}{2}$ と、真ん中がくびれる。ねじれの位置にあるななめの辺を回すので、ふちの形は双曲線になっている。

体積は円の面積を高さで足して

V = \int_{0}^{h} π r^{2} d z = π h \int_{0}^{1} \frac{1 - w + w^{2}}{3} d w = π h \cdot \frac{1}{3} (1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3}) = \frac{5}{18} π h

$h = \frac{\sqrt{6}}{3}$ を入れて答えになる（約 $0.7125$ ）。軸を頂点どうしにとると約 $0.7405$ 、辺の真ん中どうしにとると約 $0.9018$ なので、この軸での体積は 3 つの中で一番小さい。

答え

\frac{5 \sqrt{6}}{54} π

（軸にそった長さ

h = \frac{\sqrt{6}}{3}

。高さの割合

w

で切った六角形の頂点は軸から

\sqrt{\frac{1 - w + w^{2}}{3}}

の所にあり、そこが回ってできる円の半径。

V = π h \int_{0}^{1} \frac{1 - w + w^{2}}{3} d w = π h \cdot \frac{5}{18}

）

第4問　長さの決まった棒を放物線にのせる：一番低いのは？

答えは東大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

放物線の上の 2 点を $P (p, p^{2})$ 、 $Q (q, q^{2})$ （ $p < q$ ）とおく。傾き $m$ 、長さ $L$ 、中点の高さ $h$ はどれも $p, q$ の式で書けるので、(1) は $p, q$ を消して $h$ を $L, m$ で表す。

かなめは「和」と「差」に分けること。傾き $m = \frac{q^{2} - p^{2}}{q - p} = p + q$ は和、長さは差 $q - p$ で決まり、 $h = \frac{p^{2} + q^{2}}{2}$ は和の 2 乗と差の 2 乗で書ける。

(2) は $L$ を決めて $m$ を動かしたときの $h$ の最小。 $m^{2}$ についての関数になるので、 $1 + m^{2}$ を 1 つの文字にまとめて考える。 $1 + m^{2} ≧ 1$ という範囲の制限が答えを 2 つに分ける。

(1)

長さの 2 乗は

L^{2} = (q - p)^{2} + (q^{2} - p^{2})^{2} = (q - p)^{2} {1 + (p + q)^{2}} = (q - p)^{2} (1 + m^{2})

なので $(q - p)^{2} = \frac{L^{2}}{1 + m^{2}}$ 。

中点の高さは、和の 2 乗と差の 2 乗の関係 $p^{2} + q^{2} = \frac{(p + q)^{2} + (q - p)^{2}}{2}$ を使って

h = \frac{p^{2} + q^{2}}{2} = \frac{(p + q)^{2} + (q - p)^{2}}{4} = \frac{m^{2}}{4} + \frac{L^{2}}{4 (1 + m^{2})}

第 1 項は傾きが大きいほど（弦が立つほど）大きく、第 2 項は傾きが小さいほど大きい。 $L$ を決めると、この 2 つの引っぱり合いで $h$ の一番低い所が決まる。

答え

h = \frac{m^{2}}{4} + \frac{L^{2}}{4 (1 + m^{2})}

（

P (p

p^{2})

Q (q

q^{2})

で

m = p + q

L^{2} = (q - p)^{2} (1 + m^{2})

h = \frac{p^{2} + q^{2}}{2} = \frac{(p + q)^{2} + (q - p)^{2}}{4}

）

(2)

$t = 1 + m^{2}$ とおく。 $m$ はどんな実数でもよい（ $L$ と $m$ を決めれば $q - p = \frac{L}{\sqrt{1 + m^{2}}}$ 、 $p + q = m$ から $p, q$ が決まる）ので、 $t$ は $t ≧ 1$ を動く。

h = \frac{t - 1}{4} + \frac{L^{2}}{4 t}

$t$ で微分すると $\frac{1}{4} - \frac{L^{2}}{4 t^{2}}$ で、 $t < L$ で負、 $t > L$ で正（相加平均と相乗平均の関係でも同じ）。だから $h$ は $t = L$ で一番小さい。ただし $t ≧ 1$ なので、 $L$ と 1 の大小で分かれる。

$L ≧ 1$ のとき、 $t = L$ （ $m = \pm \sqrt{L - 1}$ ）がとれて、最小値は $\frac{L - 1}{4} + \frac{L}{4} = \frac{2 L - 1}{4}$ 。 $0 < L < 1$ のとき、 $t ≧ 1 > L$ の範囲では $h$ は増えるだけなので、 $t = 1$ （ $m = 0$ 、水平な弦）で最小値 $\frac{L^{2}}{4}$ 。 $L = 1$ ではどちらも $\frac{1}{4}$ でつながる。

境目の「1」には意味がある。放物線 $y = x^{2}$ の焦点は $(0, \frac{1}{4})$ 、準線は $y = - \frac{1}{4}$ 。弦の両はしから焦点までの距離は準線までの距離 $y + \frac{1}{4}$ に等しいので、どの弦でも $L ≦ P F + Q F = 2 h + \frac{1}{2}$ 、つまり $h ≧ \frac{2 L - 1}{4}$ 。等号は弦が焦点を通るとき。焦点を通る弦で一番短いのは横向きの長さ 1 なので、 $L ≧ 1$ なら焦点を通る弦がとれて、それが一番低い。 $L < 1$ では焦点を通れず、水平が一番低い。

答え

0 < L < 1

のとき

\frac{L^{2}}{4} (m = 0)

L ≧ 1

のとき

\frac{2 L - 1}{4} (1 + m^{2} = L)

（

t = 1 + m^{2} ≧ 1

で

h = \frac{t - 1}{4} + \frac{L^{2}}{4 t}

。

t = L

で最小だが

t ≧ 1

なので

L

と 1 の大小で分かれる）

第5問　1 を n 個ならべた数は、3 で何回割れる？

答えは東大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

問題で四角の中に $n$ を書いた記号は「1 を $n$ 個ならべた数」 $\frac{10^{n} - 1}{9}$ 。ここでは $[n]$ と書く。たとえば $[3] = 111 = 3 \times 37$ 。

使う道具は 2 つ。1 つは1 をならべた数のかたまり分け：1 を $a b$ 個ならべた数は、1 を $a$ 個のかたまりが $b$ 個ならんだもので

[a b] = [a] \times (1 + 10^{a} + 10^{2 a} + \dots + 10^{(b - 1) a})

もう 1 つは各けたの和と 9：10 は 9 で割ると 1 余るので、数を 9 で割った余りは各けたの和を 9 で割った余りと同じ。 $[n]$ の各けたの和は $n$ なので、 $[n]$ と $n$ は 9 で割った余りが同じ。

(1) は「3 で何回割れるか」を 1 回ずつ積み上げ、(2) は (1) と 9 の話を組み合わせる。

(1)

かたまり分けで $b = 3$ とすると

[3 n] = [n] \times (10^{2 n} + 10^{n} + 1)

かっこの中は「1、0 が $n - 1$ 個、1、0 が $n - 1$ 個、1」という数で、各けたの和は 3。だから 3 で割り切れ、9 では割り切れない（9 で割った余りが 3）。つまりかっこの中は 3 でちょうど 1 回割れる。

よって $[3 n]$ が 3 で割れる回数は、 $[n]$ が 3 で割れる回数よりちょうど 1 多い。

$m$ についての帰納法で示す。 $m = 0$ では $[1] = 1$ で、 $3^{0} = 1$ で割り切れ 3 では割り切れない。 $[3^{m}]$ が 3 でちょうど $m$ 回割れるとすると、 $n = 3^{m}$ として $[3^{m + 1}]$ はちょうど $m + 1$ 回割れる。これで、 $[3^{m}]$ は $3^{m}$ で割り切れ、 $3^{m + 1}$ では割り切れないことが示せた。たとえば $[9] = 111111111$ は $3^{2}$ で割れて $3^{3}$ では割れない。

答え示すこと：

[3^{m}]

は

3^{m}

で割り切れ、

3^{m + 1}

では割り切れない。要点：

[3 n] = [n] \times (10^{2 n} + 10^{n} + 1)

。かっこの中は各けたの和が 3 なので 3 で割り切れ 9 で割り切れない。だから

[3 n]

の 3 で割れる回数は

[n]

より 1 だけ多い。

[1] = 1

（0 回）から

m

についての帰納法

(2)

$n$ が 27 で割り切れるとき。 $n = 27 k$ とおくと、かたまり分けで

[27 k] = [27] \times (1 + 10^{27} + \dots + 10^{27 (k - 1)})

(1) で $m = 3$ とすると $[27]$ は $27$ で割り切れるので、 $[n]$ も 27 で割り切れる。

$[n]$ が 27 で割り切れるとき。 まず 9 で割り切れるので、「 $[n]$ と $n$ は 9 で割った余りが同じ」から $n$ も 9 で割り切れる。 $n = 9 k$ とおくと

[9 k] = [9] \times S, S = 1 + 10^{9} + 10^{18} + \dots + 10^{9 (k - 1)}

$10^{9}$ は 9 で割って 1 余るので、 $S$ は $k$ 個の 1 の和と同じ余り、つまり $S$ と $k$ は 9 で割った余りが同じ。

(1) より $[9]$ は 3 でちょうど 2 回割れる。 $[n] = [9] \times S$ が 3 で 3 回以上割れるには、 $S$ が 3 で割れなければならない。 $S$ と $k$ は 3 で割った余りも同じなので $k$ が 3 の倍数、よって $n = 9 k$ は 27 の倍数。

両方向が示せたので、「 $n$ が 27 で割り切れる」は「 $[n]$ が 27 で割り切れる」ための必要十分条件。実は同じ考えで、 $[n]$ と $n$ はいつも 3 で割れる回数が同じになる。27 は、3 や 9 のように「1 けたずつの数字の和」で割り切れるかを決めることができない（ $1000$ を 27 で割ると 1 余るので、3 けたずつに区切った和なら決められるが、それとは別の話）。それなのに、1 が並んだ数については答えが「 $n$ が 27 で割れる」とすっきりした形になる。

答え示すこと：

27 ∣ n ⟺ 27 ∣ [n]

。要点：（

\Rightarrow

）

n = 27 k

なら

[n] = [27] \times (1 + 10^{27} + \dots + 10^{27 (k - 1)})

で、(1) より

27 ∣ [27]

。（

\Leftarrow

）

[n]

の各けたの和は

n

なので

[n] \equiv n (\mod 9)

。

27 ∣ [n]

なら

9 ∣ n

で

n = 9 k

。

[9 k] = [9] \times S

S = 1 + 10^{9} + \dots + 10^{9 (k - 1)} \equiv k (\mod 9)

。

[9]

は 3 でちょうど 2 回割れるので

3 ∣ S

、よって

3 ∣ k

、

27 ∣ n

第6問　x=cos 2t、y=t sin t が囲む面積

答えは東大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

$x = \cos 2 t$ は $t$ が $π$ 進むごとに 1 から $- 1$ へ行ってもどる。一方 $y = t \sin t$ は $0 ≦ t ≦ π$ で 0 以上、 $π ≦ t ≦ 2 π$ で 0 以下。だから曲線は、 $t = 0$ に点 $(1, 0)$ を出て上の輪を描いて $t = π$ に $(1, 0)$ にもどり、次に下の輪を描いて $t = 2 π$ にまた $(1, 0)$ にもどる。囲む領域は上の輪と下の輪の 2 つ。

面積は、同じ $x$ での「輪の縦の幅」を $x$ で足して（積分して）出す。同じ $x$ を通る $t$ を 2 つ見つけ、その $y$ の差が幅になる。

気をつける所： $0 ≦ t ≦ 2 π$ をまとめて $\int y d x$ のように 1 本の式で計算すると、上の輪は時計まわり、下の輪は反時計まわりなので打ち消し合って 0 になってしまう。輪ごとに分けて、それぞれ正の面積として足す。

(答)

上の輪。 $x = \cos 2 t$ は $t$ と $π - t$ で同じ値。 $0 ≦ u ≦ \frac{π}{2}$ として、同じ $x = \cos 2 u$ を通るのは $t = u$ と $t = π - u$ 。 $\sin (π - u) = \sin u$ なので $y$ はそれぞれ $u \sin u$ と $(π - u) \sin u$ で、後の方が上。縦の幅は

(π - u) \sin u - u \sin u = (π - 2 u) \sin u

$u$ が $0$ から $\frac{π}{2}$ へ動くと $x = \cos 2 u$ は $1$ から $- 1$ へ減り、 $d x = - 2 \sin 2 u d u$ 。面積は幅を $x$ で $- 1$ から $1$ まで足したもので

S_{1} = \int_{0}^{π / 2} (π - 2 u) \sin u \cdot 2 \sin 2 u d u = \int_{0}^{π / 2} 4 (π - 2 u) \sin^{2} u \cos u d u

$\sin^{2} u \cos u$ は $\frac{1}{3} \sin^{3} u$ を微分したもの。部分積分すると、はしの項は $u = \frac{π}{2}$ で $π - 2 u = 0$ 、 $u = 0$ で $\sin u = 0$ なので消えて

S_{1} = \frac{8}{3} \int_{0}^{π / 2} \sin^{3} u d u = \frac{8}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{16}{9}

（ $\int_{0}^{π / 2} \sin^{3} u d u = \frac{2}{3}$ は $\sin^{3} u = \sin u - \sin u \cos^{2} u$ から。）

下の輪。 同じ $x$ を通るのは $t = π + u$ と $t = 2 π - u$ 。 $| \sin t | = \sin u$ なので、 $| y |$ はそれぞれ $(π + u) \sin u$ と $(2 π - u) \sin u$ で、縦の幅は

(2 π - u) \sin u - (π + u) \sin u = (π - 2 u) \sin u

上の輪とまったく同じ幅になる。下の輪は深さ約 4.81 で、上の輪の高さ約 1.82 の 2.6 倍もあるのに、同じ $x$ での幅は同じ。だから面積も $S_{2} = \frac{16}{9}$ 。

合わせて $S_{1} + S_{2} = \frac{32}{9}$ 。 $y = t \sin t$ の $t$ の差がいつも $π - 2 u$ になることが、2 つの輪の面積をそろえている（ $y = \sin t$ なら差が 0 で、輪は開かない）。

答え

\frac{32}{9}

（上の輪

0 ≦ t ≦ π

と下の輪

π ≦ t ≦ 2 π

に分ける。同じ

x

を通る

t

は

u

π - u

（下の輪は

π + u

2 π - u

）で、縦の幅はどちらも

(π - 2 u) \sin u

。

\int_{0}^{π / 2} (π - 2 u) \sin u \cdot 2 \sin 2 u d u = \frac{16}{9}

が 2 つ）

東大過去問 2008年数学｜AI解答・解説・シミュレーション｜アトリエファクトリー

このページの出典

問題・出題の意図・東京大学の解答例（東京大学の公表資料）

東京大学の利用規定について

解答とシミュレーション（AIで作成）

制作

修正履歴

お知らせ（2026年10月4日）

第1問　点を移すと直線が回る：全部の側に入る所は？

問題の読み方

(1)

(2)

第2問　1 枚ずつ色をかえて、全部そろうのは何回目？

問題の読み方

(1)

(2)

第3問　正八面体を真上から見る・軸のまわりに回す

問題の読み方

(1)

(2)

第4問　長さの決まった棒を放物線にのせる：一番低いのは？

問題の読み方

(1)

(2)

第5問　1 を n 個ならべた数は、3 で何回割れる？

問題の読み方

(1)

(2)

第6問　x=cos 2t、y=t sin t が囲む面積

問題の読み方

(答)

東大 過去問 2008年 数学｜AI解答・解説・シミュレーション｜アトリエファクトリー

第1問 点を移すと直線が回る：全部の側に入る所は？

問題の読み方

(1)

(2)

第2問 1 枚ずつ色をかえて、全部そろうのは何回目？

問題の読み方

(1)

(2)

第3問 正八面体を真上から見る・軸のまわりに回す

問題の読み方

(1)

(2)

第4問 長さの決まった棒を放物線にのせる：一番低いのは？

問題の読み方

(1)

(2)

第5問 1 を n 個ならべた数は、3 で何回割れる？

問題の読み方

(1)

(2)

第6問 x=cos 2t、y=t sin t が囲む面積

問題の読み方

(答)

東大過去問 2008年数学｜AI解答・解説・シミュレーション｜アトリエファクトリー

第1問　点を移すと直線が回る：全部の側に入る所は？

第2問　1 枚ずつ色をかえて、全部そろうのは何回目？

第3問　正八面体を真上から見る・軸のまわりに回す

第4問　長さの決まった棒を放物線にのせる：一番低いのは？

第5問　1 を n 個ならべた数は、3 で何回割れる？

第6問　x=cos 2t、y=t sin t が囲む面積