阪大過去問 2026年数学｜AI解答・解説・シミュレーション

阪大過去問 2026年数学｜AI解答・解説・シミュレーション｜アトリエファクトリー

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第1問　（配点率 20 %）

座標平面において， $y = x - x^{3}$ で表される曲線を $C$ とする．実数 $s$ に対して， $C$ 上の点 $(s, s - s^{3})$ における $C$ の接線を $ℓ_{s}$ で表す． $t$ を $0 < t < 1$ をみたす実数とするとき， $ℓ_{0}$ と $ℓ_{1}$ の交点を $P$ ， $ℓ_{0}$ と $ℓ_{t}$ の交点を $Q$ ， $ℓ_{1}$ と $ℓ_{t}$ の交点を $R$ とし，三角形 $P Q R$ の面積を $S (t)$ とする．

(1)　 $S (t)$ を $t$ の式で表せ．

(2)　実数 $t$ が $0 < t < 1$ の範囲を動くとき， $S (t)$ を最大にする $t$ の値と， $S (t)$ の最大値を求めよ．

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第2問　（配点率 20 %）

空間内に $4$ 点 $O, A, B, C$ があり， $O A = O B = O C = 1$ である．また， $∠ A O B = ∠ A O C = 90^{\circ}$ ， $∠ B O C = 60^{\circ}$ である． $t$ を正の実数とし，点 $D, E$ は $\vec{O D} = t \vec{O B}$ ， $\vec{O E} = (2 t + 1) \vec{O C}$ をみたす点とする．点 $P$ は $\vec{O A} \cdot \vec{O P} = - 1$ ， $\vec{O B} \cdot \vec{O P} = 1$ をみたしていて，さらに $4$ 点 $A, D, E, P$ は同一平面上にある． $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ とおく．

(1)　 $\vec{A P}$ を $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ と $t$ を用いて表せ．

(2)　実数 $t$ が $t > 0$ の範囲を動くとき， $| \vec{A P} |$ を最小にする $t$ の値と， $| \vec{A P} |$ の最小値を求めよ．

第3問　（配点率 20 %）

$a$ を実数とし，複素数 $z$ に対して

f (z) = \frac{(1 - a i) z + (1 + a i) \overset{―}{z}}{2}

とする．ただし， $i$ は虚数単位， $\overset{―}{z}$ は $z$ と共役な複素数である．

(1)　 $f (z)$ は実数であることを示せ．

(2)　実数 $a$ に対して， $| z | = 1$ かつ

f (z) {f (z) - f (i) - 2} = - 2 f (i)

となるような複素数 $z$ の個数を $N (a)$ とする． $N (a)$ を求めよ．

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第4問　（配点率 20 %）

実数 $x$ に対して $f (x) = e^{- x} \cos x$ とする．ただし， $e$ は自然対数の底である．

(1)　 $0 ≦ x ≦ \frac{π}{2}$ のとき，不等式 $1 - x ≦ f (x) ≦ 1$ が成り立つことを示せ．

(2)　 $0 < a ≦ \frac{π}{2}$ をみたす実数 $a$ に対して

I (a) = \int_{0}^{a} \frac{(x + a) f (x)}{x^{2} + a^{2}} d x

とするとき， ${lim}_{a \to + 0} I (a)$ を求めよ．

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第5問　（配点率 20 %）

さいころ $1$ 個を $3$ 回連続して投げ， $1$ 回目に出た目を $a$ ， $2$ 回目に出た目を $b$ ， $3$ 回目に出た目を $c$ とする．このとき， $a, b, c$ のなかで最大の数を $m$ とおき， $x = \frac{(a + b + c)^{2}}{3 a b c}$ とおく．

(1)　 $a = b = c$ であって， $x$ が整数である確率を求めよ．

(2)　 $m = 6$ であって， $x$ が整数である確率を求めよ．

(3)　 $m$ が偶数であったとき， $x$ が整数である条件つき確率を求めよ．

第1問　3 本の接線の三角形は、黄金比で一番大きい

答えは阪大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

$y = x - x^{3}$ の $x = s$ での接線は、傾き $1 - 3 s^{2}$ で点 $(s, s - s^{3})$ を通るので

ℓ_{s} : y = (1 - 3 s^{2}) x + 2 s^{3}

とまとまる。 $ℓ_{0} : y = x$ 、 $ℓ_{1} : y = - 2 x + 2$ 、 $ℓ_{t} : y = (1 - 3 t^{2}) x + 2 t^{3}$ 。

(1)

交点は $P = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3})$ 、 $Q = (\frac{2 t}{3}, \frac{2 t}{3})$ （ $ℓ_{0}$ と $ℓ_{t}$ ： $3 t^{2} x = 2 t^{3}$ ）、 $R$ は $ℓ_{1}$ と $ℓ_{t}$ から $x = \frac{2 (1 - t^{3})}{3 (1 - t^{2})} = \frac{2 (1 + t + t^{2})}{3 (1 + t)}$ 。

$\vec{P Q} = \frac{2}{3} (t - 1) (1, 1)$ 、 $\vec{P R} = (\frac{2 t^{2}}{3 (1 + t)}, - \frac{4 t^{2}}{3 (1 + t)})$ なので

S (t) = \frac{1}{2} | \frac{2}{3} (t - 1) \cdot (- \frac{4 t^{2}}{3 (1 + t)}) - \frac{2}{3} (t - 1) \cdot \frac{2 t^{2}}{3 (1 + t)} | = \frac{2 t^{2} (1 - t)}{3 (1 + t)}

答え

S (t) = \frac{2 t^{2} (1 - t)}{3 (1 + t)}

(2)

$g (t) = \frac{t^{2} - t^{3}}{1 + t}$ とすると $g^{'} (t) = \frac{2 t (1 - t - t^{2})}{(1 + t)^{2}}$ 。 $0 < t < 1$ で $g^{'} = 0$ は $t^{2} + t - 1 = 0$ の正の解 $t = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ だけで、そこで増加から減少にかわる。

このとき $t^{2} = 1 - t$ 、 $1 + t = \frac{1}{t}$ なので $g = \frac{t^{2} \cdot t^{2}}{1 / t} = t^{5}$ 。 $t^{5} = \frac{5 \sqrt{5} - 11}{2}$ から、最大値は

S = \frac{2}{3} t^{5} = \frac{5 \sqrt{5} - 11}{3}

答え

t = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}

で最大値

\frac{5 \sqrt{5} - 11}{3}

第2問　同じ平面にあることと 2 つの内積で、P が 1 つに決まる

答えは阪大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

$| \vec{a} | = | \vec{b} | = | \vec{c} | = 1$ 、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c} = 0$ 、 $\vec{b} \cdot \vec{c} = \cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$ 。P は平面 ADE 上なので、 $\vec{O P} = \vec{a} + u (\vec{O D} - \vec{a}) + v (\vec{O E} - \vec{a})$ と書ける。

(1)

$\vec{O P} = (1 - u - v) \vec{a} + u t \vec{b} + v (2 t + 1) \vec{c}$ 。

$\vec{a} \cdot \vec{O P} = 1 - u - v = - 1$ から $u + v = 2$ 。 $\vec{b} \cdot \vec{O P} = u t + \frac{v (2 t + 1)}{2} = 1$ に $v = 2 - u$ を入れると $4 t - u = 0$ 、 $u = 4 t$ 、 $v = 2 - 4 t$ 。

\vec{A P} = \vec{O P} - \vec{a} = - 2 \vec{a} + 4 t^{2} \vec{b} + (2 - 8 t^{2}) \vec{c}

答え

\vec{A P} = - 2 \vec{a} + 4 t^{2} \vec{b} + (2 - 8 t^{2}) \vec{c}

(2)

| \vec{A P} |^{2} = 4 + 16 t^{4} + (2 - 8 t^{2})^{2} + 2 \cdot 4 t^{2} (2 - 8 t^{2}) \cdot \frac{1}{2} = 48 t^{4} - 24 t^{2} + 8 = 48 {(t^{2} - \frac{1}{4})}^{2} + 5

$t > 0$ なので $t = \frac{1}{2}$ で最小値 $\sqrt{5}$ 。

答え

t = \frac{1}{2}

で最小値

\sqrt{5}

(| \vec{A P} |^{2} = 48 t^{4} - 24 t^{2} + 8)

第3問　式を整理すると (f−2)(f−a)＝0。単位円と 2 本の直線の交わり

答えは阪大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

$(1 + a i) \overset{―}{z}$ は $(1 - a i) z$ の共役な複素数。和を 2 で割ると実部が残る。

(1)

$w = (1 - a i) z$ とおくと $(1 + a i) \overset{―}{z} = \overset{―}{w}$ なので $f (z) = \frac{w + \overset{―}{w}}{2}$ は $w$ の実部で、実数。 $z = x + y i$ なら $f (z) = x + a y$ 。

答え(1−ai)z と (1+ai)

\overset{―}{z}

は共役なので、和は実数で

f (z) = x + a y (z = x + y i)

(2)

$f (i) = a$ なので、条件は $f^{2} - (a + 2) f + 2 a = 0$ 、つまり $(f - 2) (f - a) = 0$ 。 $| z | = 1$ の $z = x + y i$ で、直線 $x + a y = 2$ または $x + a y = a$ と単位円の交点の数を数える。原点からの距離は $\frac{2}{\sqrt{1 + a^{2}}}$ と $\frac{| a |}{\sqrt{1 + a^{2}}}$ 。

- $x + a y = a$ ：距離はいつも 1 より小さいので交点 2 個（直線は $i$ を通る） - $x + a y = 2$ ： $a^{2} > 3$ で 2 個、 $a^{2} = 3$ で 1 個（接する）、 $a^{2} < 3$ で 0 個 - 2 本が同じ直線になるのは $a = 2$ のときで、このとき交点は 2 個だけ

よって $| a | < \sqrt{3}$ で $N = 2$ 、 $| a | = \sqrt{3}$ で $N = 3$ 、 $| a | > \sqrt{3}$ で $N = 4$ （ただし $a = 2$ のときは $N = 2$ ）。

答え

N (a) = {\begin{matrix} 2 & (| a | < \sqrt{3} または a = 2) \\ 3 & (| a | = \sqrt{3}) \\ 4 & (| a | > \sqrt{3} かつ a \neq 2) \end{matrix}

第4問　小さい区間では f をほぼ 1 とみてよい。残るのは ∫(u+1)/(u²+1)

答えは阪大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

(2) は、区間 $[0, a]$ がとても短いとき、 $f (x)$ はほぼ $1$ とみなせることを (1) の不等式で確かめ、残りの積分を計算する。

(1)

$f (x) ≦ 1$ ： $0 ≦ x ≦ \frac{π}{2}$ で $0 < e^{- x} ≦ 1$ 、 $0 ≦ \cos x ≦ 1$ 。

$1 - x ≦ f (x)$ ： $g (x) = e^{- x} \cos x - 1 + x$ とおくと $g^{'} (x) = 1 - e^{- x} (\cos x + \sin x)$ 。 $h (x) = e^{- x} (\cos x + \sin x)$ は $h^{'} (x) = - 2 e^{- x} \sin x ≦ 0$ で $h (0) = 1$ なので $h ≦ 1$ 、 $g^{'} ≧ 0$ 。 $g (0) = 0$ なので $g ≧ 0$ 。

答え

g (x) = f (x) - 1 + x

は

g^{'} (x) = 1 - e^{- x} (\cos x + \sin x) ≧ 0

で

g (0) = 0

なので

g ≧ 0

。

f ≦ 1

は

e^{- x} ≦ 1

\cos x ≦ 1

から

(2)

(1) から

\int_{0}^{a} \frac{(x + a) (1 - x)}{x^{2} + a^{2}} d x ≦ I (a) ≦ \int_{0}^{a} \frac{x + a}{x^{2} + a^{2}} d x

右辺は $x = a u$ とおくと $\int_{0}^{1} \frac{u + 1}{u^{2} + 1} d u = \frac{1}{2} \log 2 + \frac{π}{4}$ （ $a$ によらない）。左辺との差は $\int_{0}^{a} \frac{x (x + a)}{x^{2} + a^{2}} d x = a \int_{0}^{1} \frac{u (u + 1)}{u^{2} + 1} d u \to 0$ 。

はさみうちで ${lim}_{a \to + 0} I (a) = \frac{π}{4} + \frac{1}{2} \log 2$ 。

答え

\frac{π}{4} + \frac{1}{2} \log 2

第5問　(a+b+c)² が 3abc で割り切れるのは 17 通り

答えは阪大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

目の組は $6^{3} = 216$ 通りで、どれも同じ確からしさ。 $x$ が整数になる組を数えればよい。

(1)

$a = b = c$ なら $x = \frac{9 a^{2}}{3 a^{3}} = \frac{3}{a}$ 。整数になるのは $a = 1, 3$ の 2 通りで、 $\frac{2}{216} = \frac{1}{108}$ 。

答え

\frac{1}{108}

(2)

$m = 6$ なので 6 が少なくとも 1 つある。 $a b c$ が 6 の倍数なので $3 a b c$ は 18 の倍数で、 $(a + b + c)^{2}$ は 18 の倍数、つまり $a + b + c$ は 6 の倍数。 $c = 6$ として $a + b \in {6, 12}$ を調べると、 $x$ が整数になるのは ${2, 4, 6}$ だけ（ $x = \frac{144}{144} = 1$ ）。並べ方は $3! = 6$ 通りで $\frac{6}{216} = \frac{1}{36}$ 。

答え

\frac{1}{36}

(3)

$m$ が偶数になるのは $m = 2, 4, 6$ で $(2^{3} - 1^{3}) + (4^{3} - 3^{3}) + (6^{3} - 5^{3}) = 7 + 37 + 91 = 135$ 通り。このうち $x$ が整数になるものを数える。 $m = 2$ ：目は 1 か 2 で 2 を少なくとも 1 つふくむので $3 a b c$ は 6 の倍数。 $x = \frac{(a + b + c)^{2}}{3 a b c}$ が整数なら $(a + b + c)^{2}$ が 3 の倍数，つまり和が 3 の倍数で，それは ${2, 2, 2}$ （和 6）だけだが $x = \frac{36}{24} = \frac{3}{2}$ で整数でない。 $m = 4$ ： $3 a b c$ が 12 の倍数になるので $(a + b + c)^{2}$ も 12 の倍数，和は 6 の倍数で， $4$ をふくむ組は ${1, 1, 4}$ （和 6， $x = 3$ ）と ${4, 4, 4}$ （和 12， $x = \frac{3}{4}$ ）だけ。よって ${1, 1, 4}$ の並べ方 3 通り。 $m = 6$ ：(2) の 6 通り。合わせて 9 通り。条件つき確率は $\frac{9}{135} = \frac{1}{15}$ 。

答え

\frac{1}{15}

阪大過去問 2026年数学｜AI解答・解説・シミュレーション｜アトリエファクトリー

このページの出典

問題（大阪大学の公表資料）

大阪大学の利用の条件について

解答とシミュレーション（AIで作成）

制作

お知らせ

第1問　3 本の接線の三角形は、黄金比で一番大きい

問題の読み方

(1)

(2)

第2問　同じ平面にあることと 2 つの内積で、P が 1 つに決まる

問題の読み方

(1)

(2)

第3問　式を整理すると (f−2)(f−a)＝0。単位円と 2 本の直線の交わり

問題の読み方

(1)

(2)

第4問　小さい区間では f をほぼ 1 とみてよい。残るのは ∫(u+1)/(u²+1)

問題の読み方

(1)

(2)

第5問　(a+b+c)² が 3abc で割り切れるのは 17 通り

問題の読み方

(1)

(2)

(3)

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第1問 3 本の接線の三角形は、黄金比で一番大きい

問題の読み方

(1)

(2)

第2問 同じ平面にあることと 2 つの内積で、P が 1 つに決まる

問題の読み方

(1)

(2)

第3問 式を整理すると (f−2)(f−a)＝0。単位円と 2 本の直線の交わり

問題の読み方

(1)

(2)

第4問 小さい区間では f をほぼ 1 とみてよい。残るのは ∫(u+1)/(u²+1)

問題の読み方

(1)

(2)

第5問 (a+b+c)² が 3abc で割り切れるのは 17 通り

問題の読み方

(1)

(2)

(3)

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第1問　3 本の接線の三角形は、黄金比で一番大きい

第2問　同じ平面にあることと 2 つの内積で、P が 1 つに決まる

第3問　式を整理すると (f−2)(f−a)＝0。単位円と 2 本の直線の交わり

第4問　小さい区間では f をほぼ 1 とみてよい。残るのは ∫(u+1)/(u²+1)

第5問　(a+b+c)² が 3abc で割り切れるのは 17 通り