九大過去問 2026年数学｜AI解答・解説・シミュレーション

九大過去問 2026年数学｜AI解答・解説・シミュレーション｜アトリエファクトリー

第1問

（配点 50 点）

座標空間内で，原点 O を中心とする半径 3 の球を $S$ とする。また，点 $P (1, 0, \sqrt{3})$ を考え， $T_{1}$ と $T_{2}$ を直線 OP と直交する相異なる 2 つの平面とする。 $T_{1}$ と $S$ の共通部分を $C_{1}$ ， $T_{2}$ と $S$ の共通部分を $C_{2}$ とし，次の 2 つの条件をみたすとする。

・ $C_{1}$ と $C_{2}$ はどちらも半径 1 の円である。

・ $C_{1}$ の中心の $z$ 座標は正で， $C_{2}$ の中心の $z$ 座標は負である。

以下の問いに答えよ。

(1)　円 $C_{1}$ ， $C_{2}$ の中心の座標を求めよ。

(2)　円 $C_{1}$ ， $C_{2}$ を底面とする円柱の側面を平面 $z = 0$ で切る。その切り口の曲線の方程式を求めよ。また，その曲線を図示せよ。

第2問

（配点 50 点）

点 $z$ が複素数平面上の線分

z = t + t i (\frac{- 1 + \sqrt{3}}{2} ≦ t ≦ \frac{1 + \sqrt{3}}{2})

の上を動くとき，

z^{2} - w z + 1 = 0

をみたす複素数 $w$ を表す点が描く軌跡を $C$ とする。ただし， $i$ は虚数単位である。以下の問いに答えよ。

(1)　軌跡 $C$ を複素数平面上に図示せよ。

(2)　 $t = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ のときに複素数 $w$ を表す点を $P_{1}$ とし， $t = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{2}$ のときに複素数 $w$ を表す点を $P_{2}$ とする。このとき，軌跡 $C$ ，線分 $O P_{1}$ ，線分 $O P_{2}$ で囲まれる領域を虚軸の周りに 1 回転させてできる立体の体積を求めよ。ただし，O は複素数平面の原点である。

第3問

（配点 50 点）

$0 < r < 1$ とする。表が出る確率が $r$ ，裏が出る確率が $1 - r$ の硬貨を投げ，表が出た場合は白玉を 2 つ横並びに置き，裏が出た場合は黒玉を 1 つ置く。この要領で硬貨を繰り返し投げ，左から右に 1 列になるように白玉と黒玉を順に並べていく。

例えば，3 回硬貨を投げ，結果が順に「裏，表，表」であれば，左から順に「黒，白，白，白，白」と 5 つの玉が並ぶ。

$n$ を自然数とする。 $n + 2$ 回硬貨を投げたとき，左から $n$ ， $n + 1$ ， $n + 2$ 番目の玉がすべて黒である確率を $p_{n}$ とする。以下の問いに答えよ。

(1)　 $p_{1}$ ， $p_{2}$ を求めよ。

(2)　 $n ≧ 2$ とする。 $n + 2$ 回硬貨を投げたとき，左から 1， $n$ ， $n + 1$ ， $n + 2$ 番目の玉がすべて黒である確率を $p_{n - 1}$ を用いて表せ。

(3)　 $n ≧ 3$ のとき， $p_{n}$ を $p_{n - 2}$ ， $p_{n - 1}$ を用いて表せ。

(4)　 $p_{n}$ を求めよ。

第4問

（配点 50 点）

以下の問いに答えよ。ただし， $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{3}$ ， $\sqrt{6}$ が無理数であることは用いてよい。

(1)　 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}$ を示せ。また， $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ は無理数であることを示せ。

(2)　 $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ を解にもち，係数がすべて有理数の 4 次方程式を 1 つ求めよ。また，その 4 次方程式の解をすべて求めよ。

(3)　 $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ を解にもち，係数がすべて有理数の 2 次方程式は存在しないことを示せ。

第5問

（配点 50 点）

関数

f (x) = \int_{x}^{x + 1} \log (4 t^{2} + 1) d t

に関して，以下の問いに答えよ。

(1)　 $f (x)$ が極値をとるときの $x$ の値を求めよ。また，そのときの極値を求めよ。

(2)　極限 ${lim}_{x \to \infty} x {f (x) - f (x - 1)}$ を求めよ。

第1問　ななめの円柱を水平に切ると、だ円になる。横にのびる向きは OP をたおした向き

九大の解答例との答え合わせ　九大はこの問題の解答例を出していない（出題の意図だけを公表している）

答えは九大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

OP の向きの単位ベクトルは $\vec{u} = (\frac{1}{2}, 0, \frac{\sqrt{3}}{2})$ 。点 X と直線 OP の距離は $\sqrt{| \vec{x} |^{2} - (\vec{x} \cdot \vec{u})^{2}}$ 。

(1)

O から平面までの距離を $d$ とすると $3^{2} = d^{2} + 1^{2}$ より $d = 2 \sqrt{2}$ 。中心は $\pm 2 \sqrt{2} \vec{u} = \pm (\sqrt{2}, 0, \sqrt{6})$ 。 $z$ 座標が正なのが $C_{1}$ 。

答え

C_{1} : (\sqrt{2}

0

\sqrt{6})

C_{2} : (- \sqrt{2}

0

- \sqrt{6})

(2)

円柱の側面は，直線 OP からの距離が 1 で，OP 方向の位置 $\vec{x} \cdot \vec{u}$ が $- 2 \sqrt{2}$ から $2 \sqrt{2}$ の点。 $z = 0$ の点 $(x, y, 0)$ では $x^{2} + y^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2} = 1$ すなわち $\frac{3}{4} x^{2} + y^{2} = 1$ 。この上で $| \vec{x} \cdot \vec{u} | = \frac{| x |}{2} ≦ \frac{1}{\sqrt{3}} < 2 \sqrt{2}$ なので全部が側面にのる。 $x$ 方向の半径 $\frac{2}{\sqrt{3}}$ ， $y$ 方向の半径 1 のだ円。

答え

\frac{3}{4} x^{2} + y^{2} = 1 (z = 0)

第2問　z が直線の上を動くと、w ＝ z + 1/z は双曲線 x² − y² ＝ 2 の上を動く

九大の解答例との答え合わせ　九大はこの問題の解答例を出していない（出題の意図だけを公表している）

答えは九大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

$z \neq 0$ なので $w = z + \frac{1}{z}$ 。 $z = r e^{i π / 4}$ （ $r = \sqrt{2} t$ ）とおくと $w = \frac{r + \frac{1}{r}}{\sqrt{2}} + i \frac{r - \frac{1}{r}}{\sqrt{2}}$ 。

(1)

$w = x + y i$ とすると $x^{2} - y^{2} = \frac{(r + \frac{1}{r})^{2} - (r - \frac{1}{r})^{2}}{2} = 2$ ， $x > 0$ 。 $r$ の範囲は $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2} ≦ r ≦ \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$ （両はしの積は 1）。両はしで $r + \frac{1}{r} = \sqrt{6}$ ， $r - \frac{1}{r} = \pm \sqrt{2}$ なので $w = \sqrt{3} \pm i$ 。 $r = 1$ で $w = \sqrt{2}$ 。軌跡は双曲線 $x^{2} - y^{2} = 2$ の右側の枝のうち $\sqrt{3} - i$ から $\sqrt{2}$ を通って $\sqrt{3} + i$ までの弧。

答え

x^{2} - y^{2} = 2 (x > 0)

の

\sqrt{3} - i

から

\sqrt{3} + i

まで

(2)

$P_{1} = \sqrt{3} + i$ ， $P_{2} = \sqrt{3} - i$ 。高さ $y$ （ $- 1 ≦ y ≦ 1$ ）での切り口は，内側が線分 OP（ $x = \sqrt{3} | y |$ ），外側が C（ $x = \sqrt{2 + y^{2}}$ ）の輪。 $V = π \int_{- 1}^{1} {(2 + y^{2}) - 3 y^{2}} d y = π \int_{- 1}^{1} (2 - 2 y^{2}) d y = \frac{8 π}{3}$ 。

答え

\frac{8 π}{3}

第3問　黒が 3 つ続く確率は、上下にゆれながら一定の値 (1 − r)³/(1 + r) に近づく

九大の解答例との答え合わせ　九大はこの問題の解答例を出していない（出題の意図だけを公表している）

答えは九大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

玉の列は「白白」と「黒」の組をつないだもの。最初の硬貨が裏なら列は 1 つずれ，表なら 2 つずれて，あとは同じ問題になる。

(1)

$n = 1$ ：最初の 3 回が全部裏。 $n = 2$ ：1 番目が白なら 2 番目も白なので，1 番目は黒。4 回とも裏。

答え

p_{1} = (1 - r)^{3}

p_{2} = (1 - r)^{4}

(2)

1 番目が黒 ⇔ 最初が裏（確率 $1 - r$ ）。そのあとは玉が 1 つずれた同じ問題なので，2〜 $n + 2$ 回目の $n + 1$ 回で $n - 1, n, n + 1$ 番目が黒の確率 $p_{n - 1}$ 。

答え

(1 - r) p_{n - 1}

(3)

最初が表なら 1, 2 番目が白で，2 つずれた同じ問題（確率 $p_{n - 2}$ ）。残りは $n + 1$ 回だが，最初の $n$ 回で必要な $n$ 個以上の玉がそろうので，最後の 1 回は結果に関係しない。(2) と合わせて $p_{n} = (1 - r) p_{n - 1} + r p_{n - 2}$ 。

答え

p_{n} = (1 - r) p_{n - 1} + r p_{n - 2}

(4)

$x^{2} - (1 - r) x - r = (x - 1) (x + r) = 0$ より $p_{n} = A + B (- r)^{n}$ 。 $p_{1} = A - B r = (1 - r)^{3}$ ， $p_{2} = A + B r^{2} = (1 - r)^{4}$ から $B = - \frac{(1 - r)^{3}}{1 + r}$ ， $A = \frac{(1 - r)^{3}}{1 + r}$ 。

答え

p_{n} = \frac{(1 - r)^{3} {1 - (- r)^{n}}}{1 + r}

第4問　√2 + √3 は 4 次方程式の解。2 次方程式でつかまえようとすると、係数に必ず無理数が入る

九大の解答例との答え合わせ　九大はこの問題の解答例を出していない（出題の意図だけを公表している）

答えは九大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

$α = \sqrt{2} + \sqrt{3}$ とおく。 $α^{2} = 5 + 2 \sqrt{6}$ 。2 回 2 乗すると根号が全部消える。

(1)

$(\sqrt{2} + \sqrt{3})^{2} = 5 + 2 \sqrt{6}$ で $\sqrt{2} + \sqrt{3} > 0$ なので $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}$ 。 $α$ が有理数なら $\sqrt{6} = \frac{α^{2} - 5}{2}$ も有理数となり矛盾。よって無理数。

答え証明

(2)

$α^{2} - 5 = 2 \sqrt{6}$ を 2 乗して $α^{4} - 10 α^{2} + 1 = 0$ 。 $x^{2} = 5 \pm 2 \sqrt{6} = (\sqrt{3} \pm \sqrt{2})^{2}$ より $x = \pm (\sqrt{3} + \sqrt{2}), \pm (\sqrt{3} - \sqrt{2})$ 。

答え

x^{4} - 10 x^{2} + 1 = 0

x = \pm (\sqrt{3} + \sqrt{2})

\pm (\sqrt{3} - \sqrt{2})

(3)

有理数係数の 2 次式 $g (x)$ が $g (α) = 0$ をみたすとする。 $h (x) = x^{4} - 10 x^{2} + 1$ を $g (x)$ で割った余りを $a x + b$ （ $a, b$ は有理数）とすると $a α + b = 0$ 。 $a \neq 0$ なら $α = - \frac{b}{a}$ が有理数となり (1) に反するので $a = b = 0$ 。よって $g (x)$ は $h (x)$ を割り切り， $g (x) = 0$ の 2 解は $α$ と， $- α$ ， $\sqrt{3} - \sqrt{2}$ ， $- (\sqrt{3} - \sqrt{2})$ のどれか。それぞれ，解の積 $- (5 + 2 \sqrt{6})$ ，解の和 $2 \sqrt{3}$ ，解の和 $2 \sqrt{2}$ が無理数で，係数が有理数であることに反する。よって存在しない。

答え証明

第5問　幅 1 の窓で log(4t² + 1) の面積をとると、窓が真ん中（−1/2 から 1/2）のときいちばん小さい

九大の解答例との答え合わせ　九大はこの問題の解答例を出していない（出題の意図だけを公表している）

答えは九大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

$f^{'} (x) = \log {4 (x + 1)^{2} + 1} - \log (4 x^{2} + 1)$ （窓の右はしの高さ − 左はしの高さ）。

(1)

$f^{'} (x) = 0 ⟺ (x + 1)^{2} = x^{2} ⟺ x = - \frac{1}{2}$ 。 $x < - \frac{1}{2}$ で $f^{'} < 0$ ， $x > - \frac{1}{2}$ で $f^{'} > 0$ なので極小（極大はない）。 $f (- \frac{1}{2}) = \int_{- 1 / 2}^{1 / 2} \log (4 t^{2} + 1) d t = \int_{0}^{1} \log (u^{2} + 1) d u$ （ $u = 2 t$ ，偶関数） $= [u \log (u^{2} + 1)]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2 u^{2}}{u^{2} + 1} d u = \log 2 - 2 (1 - \frac{π}{4})$ 。

答え

x = - \frac{1}{2}

で極小値

\log 2 + \frac{π}{2} - 2

(2)

平均値の定理より $f (x) - f (x - 1) = f^{'} (ξ)$ （ $x - 1 < ξ < x$ ）。 $f^{'} (ξ) = \log (1 + s)$ ， $s = \frac{8 ξ + 4}{4 ξ^{2} + 1}$ 。 $x \to \infty$ で $s \to 0$ ， $\frac{\log (1 + s)}{s} \to 1$ ， $x s = \frac{x}{ξ} \cdot \frac{ξ (8 ξ + 4)}{4 ξ^{2} + 1} \to 1 \cdot 2$ 。よって極限は 2。

答え

2

九大過去問 2026年数学｜AI解答・解説・シミュレーション｜アトリエファクトリー

このページの出典

問題・解答例・出題意図（九州大学の公表資料）

九州大学の利用の条件について

解答とシミュレーション（AIで作成）

制作

お知らせ

第1問　ななめの円柱を水平に切ると、だ円になる。横にのびる向きは OP をたおした向き

問題の読み方

(1)

(2)

第2問　z が直線の上を動くと、w ＝ z + 1/z は双曲線 x² − y² ＝ 2 の上を動く

問題の読み方

(1)

(2)

第3問　黒が 3 つ続く確率は、上下にゆれながら一定の値 (1 − r)³/(1 + r) に近づく

問題の読み方

(1)

(2)

(3)

(4)

第4問　√2 + √3 は 4 次方程式の解。2 次方程式でつかまえようとすると、係数に必ず無理数が入る

問題の読み方

(1)

(2)

(3)

第5問　幅 1 の窓で log(4t² + 1) の面積をとると、窓が真ん中（−1/2 から 1/2）のときいちばん小さい

問題の読み方

(1)

(2)

九大 過去問 2026年 数学｜AI解答・解説・シミュレーション｜アトリエファクトリー

第1問 ななめの円柱を水平に切ると、だ円になる。横にのびる向きは OP をたおした向き

問題の読み方

(1)

(2)

第2問 z が直線の上を動くと、w ＝ z + 1/z は双曲線 x² − y² ＝ 2 の上を動く

問題の読み方

(1)

(2)

第3問 黒が 3 つ続く確率は、上下にゆれながら一定の値 (1 − r)³/(1 + r) に近づく

問題の読み方

(1)

(2)

(3)

(4)

第4問 √2 + √3 は 4 次方程式の解。2 次方程式でつかまえようとすると、係数に必ず無理数が入る

問題の読み方

(1)

(2)

(3)

第5問 幅 1 の窓で log(4t² + 1) の面積をとると、窓が真ん中（−1/2 から 1/2）のときいちばん小さい

問題の読み方

(1)

(2)

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第1問　ななめの円柱を水平に切ると、だ円になる。横にのびる向きは OP をたおした向き

第2問　z が直線の上を動くと、w ＝ z + 1/z は双曲線 x² − y² ＝ 2 の上を動く

第3問　黒が 3 つ続く確率は、上下にゆれながら一定の値 (1 − r)³/(1 + r) に近づく

第4問　√2 + √3 は 4 次方程式の解。2 次方程式でつかまえようとすると、係数に必ず無理数が入る

第5問　幅 1 の窓で log(4t² + 1) の面積をとると、窓が真ん中（−1/2 から 1/2）のときいちばん小さい