阪大過去問 2023年数学｜AI解答・解説・シミュレーション

阪大過去問 2023年数学｜AI解答・解説・シミュレーション｜アトリエファクトリー

— 3 —

第1問　（配点率 20 %）

$n$ を $2$ 以上の自然数とする．

(1)　 $0 ≦ x ≦ 1$ のとき，次の不等式が成り立つことを示せ．

\frac{1}{2} x^{n} ≦ (- 1)^{n} {\frac{1}{x + 1} - 1 - \sum_{k = 2}^{n} (- x)^{k - 1}} ≦ x^{n} - \frac{1}{2} x^{n + 1}

(2)　 $a_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{(- 1)^{k - 1}}{k}$ とするとき，次の極限値を求めよ．

{lim}_{n \to \infty} (- 1)^{n} n (a_{n} - \log 2)

— 5 —

第2問　（配点率 20 %）

平面上の $3$ 点 $O, A, B$ が

| 2 \vec{O A} + \vec{O B} | = | \vec{O A} + 2 \vec{O B} | = 1 かつ (2 \vec{O A} + \vec{O B}) \cdot (\vec{O A} + \vec{O B}) = \frac{1}{3}

をみたすとする．

(1)　 $(2 \vec{O A} + \vec{O B}) \cdot (\vec{O A} + 2 \vec{O B})$ を求めよ．

(2)　平面上の点 $P$ が

| \vec{O P} - (\vec{O A} + \vec{O B}) | ≦ \frac{1}{3} かつ \vec{O P} \cdot (2 \vec{O A} + \vec{O B}) ≦ \frac{1}{3}

をみたすように動くとき， $| \vec{O P} |$ の最大値と最小値を求めよ．

第3問　（配点率 20 %）

$P$ を座標平面上の点とし，点 $P$ の座標を $(a, b)$ とする． $- π ≦ t ≦ π$ の範囲にある実数 $t$ のうち，曲線 $y = \cos x$ 上の点 $(t, \cos t)$ における接線が点 $P$ を通るという条件をみたすものの個数を $N (P)$ とする． $N (P) = 4$ かつ $0 < a < π$ をみたすような点 $P$ の存在範囲を座標平面上に図示せよ．

— 7 —

第4問　（配点率 20 %）

$a, b$ を $a^{2} + b^{2} > 1$ かつ $b \neq 0$ をみたす実数の定数とする．座標空間の点 $A (a, 0, b)$ と点 $P (x, y, 0)$ をとる．点 $O (0, 0, 0)$ を通り直線 $A P$ と垂直な平面を $α$ とし，平面 $α$ と直線 $A P$ との交点を $Q$ とする．

(1)　 ${(\vec{A P} \cdot \vec{A O})}^{2} = {| \vec{A P} |}^{2} {| \vec{A Q} |}^{2}$ が成り立つことを示せ．

(2)　 $| \vec{O Q} | = 1$ をみたすように点 $P (x, y, 0)$ が $x y$ 平面上を動くとき，点 $P$ の軌跡を求めよ．

— 9 —

第5問　（配点率 20 %）

$1$ 個のさいころを $n$ 回投げて， $k$ 回目に出た目を $a_{k}$ とする． $b_{n}$ を

b_{n} = \sum_{k = 1}^{n} a_{1}^{n - k} a_{k}

により定義し， $b_{n}$ が $7$ の倍数となる確率を $p_{n}$ とする．

(1)　 $p_{1}, p_{2}$ を求めよ．

(2)　数列 ${p_{n}}$ の一般項を求めよ．

第1問　1 − 1/2 ＋ 1/3 − … は log 2 に、ずれ 1/(2n) で近づく

答えは阪大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

$\sum_{k = 1}^{n} (- x)^{k - 1} = \frac{1 - (- x)^{n}}{1 + x}$ （等比数列の和）を使うと、中かっこの中がまとまる。

(1)

$1 + \sum_{k = 2}^{n} (- x)^{k - 1} = \sum_{k = 1}^{n} (- x)^{k - 1} = \frac{1 - (- x)^{n}}{1 + x}$ なので、中かっこの中は $\frac{1}{1 + x} - \frac{1 - (- x)^{n}}{1 + x} = \frac{(- x)^{n}}{1 + x}$ 。 $(- 1)^{n}$ をかけると $\frac{x^{n}}{1 + x}$ 。 - 左： $1 + x ≦ 2$ から $\frac{x^{n}}{1 + x} ≧ \frac{x^{n}}{2}$ - 右： $\frac{1}{1 + x} ≦ 1 - \frac{x}{2}$ は $1 ≦ (1 + x) (1 - \frac{x}{2}) = 1 + \frac{x (1 - x)}{2}$ と同じで、 $0 ≦ x ≦ 1$ で成り立つ。 $x^{n} ≧ 0$ をかけて $\frac{x^{n}}{1 + x} ≦ x^{n} - \frac{1}{2} x^{n + 1}$

答え

(- 1)^{n} {\dots} = \frac{x^{n}}{1 + x}

で,　

1 ≦ 1 + x ≦ 2

\frac{1}{1 + x} ≦ 1 - \frac{x}{2}

(2)

(1) の式を $0$ から $1$ まで積分する。 $\int_{0}^{1} \frac{d x}{1 + x} = \log 2$ 、 $\int_{0}^{1} \sum_{k = 1}^{n} (- x)^{k - 1} d x = \sum_{k = 1}^{n} \frac{(- 1)^{k - 1}}{k} = a_{n}$ なので、まん中は $(- 1)^{n} (\log 2 - a_{n})$ 。

\frac{1}{2 (n + 1)} ≦ (- 1)^{n} (\log 2 - a_{n}) ≦ \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{2 (n + 2)}

$n$ 倍すると両側とも $\frac{1}{2}$ に近づくので ${lim}_{n \to \infty} (- 1)^{n} n (\log 2 - a_{n}) = \frac{1}{2}$ 。求めるものは符号が逆で ${lim}_{n \to \infty} (- 1)^{n} n (a_{n} - \log 2) = - \frac{1}{2}$ 。

答え

- \frac{1}{2}

第2問　2 つの長さ 1 のベクトルが直交する。P は半円の中

答えは阪大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

$\vec{u} = 2 \vec{O A} + \vec{O B}, \vec{v} = \vec{O A} + 2 \vec{O B}$ とおくと $| \vec{u} | = | \vec{v} | = 1$ 、 $\vec{O A} + \vec{O B} = \frac{\vec{u} + \vec{v}}{3}$ 。

(1)

条件は $\vec{u} \cdot \frac{\vec{u} + \vec{v}}{3} = \frac{1}{3}$ 、つまり $\frac{1 + \vec{u} \cdot \vec{v}}{3} = \frac{1}{3}$ 。よって $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ 、求める値は $0$ 。

答え

0

(2)

$\vec{u}, \vec{v}$ は長さ $1$ で直交するので、 $\vec{u} = (1, 0), \vec{v} = (0, 1)$ となる座標をとれる。 $P (X, Y)$ とすると、条件は

{(X - \frac{1}{3})}^{2} + {(Y - \frac{1}{3})}^{2} ≦ \frac{1}{9}, X ≦ \frac{1}{3}

で、中心 $C (\frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ ・半径 $\frac{1}{3}$ の円の左半分（境目をふくむ）。 - 最小： $O C = \frac{\sqrt{2}}{3}$ で、円の中で $O$ に一番近い点は $C$ から $O$ の向きに $\frac{1}{3}$ 進んだ点。 $X = \frac{1}{3} - \frac{1}{3 \sqrt{2}} < \frac{1}{3}$ なので左半分に入る。最小 $\frac{\sqrt{2} - 1}{3}$ - 最大：円の周の上の点 $C + \frac{1}{3} (\cos θ, \sin θ)$ では $| \vec{O P} |^{2} = \frac{1}{3} + \frac{2}{9} (\cos θ + \sin θ)$ 。左半分（ $\cos θ ≦ 0$ ）で $\cos θ + \sin θ$ の最大は $θ = \frac{π}{2}$ の $1$ 。まっすぐな境目 $X = \frac{1}{3}$ の上では端 $(\frac{1}{3}, \frac{2}{3})$ が一番遠く、同じ $\frac{5}{9}$ 。内部の点は、O から見て同じ向きの境目の点より近い。最大 $\frac{\sqrt{5}}{3}$

答え最大

\frac{\sqrt{5}}{3}

,　最小

\frac{\sqrt{2} - 1}{3}

第3問　接点の t が 4 個になる点。π/2＋1 の右だけ下の線もふくむ

答えは阪大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

点 $(t, \cos t)$ での接線は $y = - \sin t (x - t) + \cos t$ 。これが $P (a, b)$ を通る条件は

b = g (t), g (t) = \cos t - (a - t) \sin t

$N (P)$ は、 $y = g (t) (- π ≦ t ≦ π)$ のグラフと横線 $y = b$ の共有点の数。 $g^{'} (t) = (t - a) \cos t$ 。

第3問

$g (\pm π) = - 1$ 、 $g (- \frac{π}{2}) = a + \frac{π}{2}$ 、 $g (a) = \cos a$ 、 $g (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2} - a$ 。 - $0 < a < \frac{π}{2}$ ： $g$ は増（ $- π ~ - \frac{π}{2}$ ）→ 減（ $~ a$ ）→ 増（ $~ \frac{π}{2}$ ）→ 減（ $~ π$ ）。 $\cos a = \sin (\frac{π}{2} - a) < \frac{π}{2} - a < a + \frac{π}{2}$ なので、 $4$ 個になるのは $\cos a < b < \frac{π}{2} - a$ - $a = \frac{π}{2}$ ：増 → 減（ $- \frac{π}{2}$ から $π$ まで）なので多くて $2$ 個 - $\frac{π}{2} < a < π$ ：増 → 減（ $~ \frac{π}{2}$ ）→ 増（ $~ a$ ）→ 減。極小 $\frac{π}{2} - a$ 、極大 $\cos a$ で、 $\cos a = - \sin (a - \frac{π}{2}) > \frac{π}{2} - a$ 。 $4$ 個になるのは、 $b < \cos a$ で、 $b$ が極小より大きく、しかも両端の値 $- 1$ 以上のとき。 - $\frac{π}{2} - a ≧ - 1$ （ $a ≦ \frac{π}{2} + 1$ ）なら $\frac{π}{2} - a < b < \cos a$ - $\frac{π}{2} - a < - 1$ （ $a > \frac{π}{2} + 1$ ）なら $- 1 ≦ b < \cos a$ 。 $b = - 1$ のときも、両端 $t = \pm π$ と、極小の前後の $2$ つで $4$ 個

よって範囲は、 $0 < a < \frac{π}{2}$ で $\cos a < b < \frac{π}{2} - a$ 、 $\frac{π}{2} < a ≦ \frac{π}{2} + 1$ で $\frac{π}{2} - a < b < \cos a$ 、 $\frac{π}{2} + 1 < a < π$ で $- 1 ≦ b < \cos a$ （境目は $b = - 1, \frac{π}{2} + 1 < a < π$ の部分だけふくむ）。

答え

{\begin{matrix} \cos a < b < \frac{π}{2} - a & (0 < a < \frac{π}{2}) \\ \frac{π}{2} - a < b < \cos a & (\frac{π}{2} < a ≦ \frac{π}{2} + 1) \\ - 1 ≦ b < \cos a & (\frac{π}{2} + 1 < a < π) \end{matrix}

第4問　|OQ| ＝ 1 になる P は、b で形が変わる 2 次曲線の上

答えは阪大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

$Q$ は $O$ から直線 $A P$ へ下ろした垂線の足。 $b \neq 0$ なので $A$ は $x y$ 平面の上になく、 $P \neq A$ 。

(1)

$\vec{A Q}$ は $\vec{A O}$ を直線 $A P$ の向きに写したもので、 $\vec{A Q} = \frac{\vec{A P} \cdot \vec{A O}}{| \vec{A P} |^{2}} \vec{A P}$ （ $\vec{O Q} ⟂ \vec{A P}$ から係数が決まる）。長さの $2$ 乗をとって $| \vec{A P} |^{2}$ をかけると $(\vec{A P} \cdot \vec{A O})^{2} = | \vec{A P} |^{2} | \vec{A Q} |^{2}$ 。

答え

\vec{A Q} = \frac{\vec{A P} \cdot \vec{A O}}{| \vec{A P} |^{2}} \vec{A P}

(2)

三平方の定理で $| \vec{O Q} |^{2} = | \vec{A O} |^{2} - | \vec{A Q} |^{2}$ 。 $\vec{A O} = (- a, 0, - b)$ 、 $\vec{A P} = (x - a, y, - b)$ から $\vec{A P} \cdot \vec{A O} = a^{2} + b^{2} - a x$ 。 $| \vec{O Q} | = 1$ は

(a^{2} + b^{2} - a x)^{2} = (a^{2} + b^{2} - 1) {(x - a)^{2} + y^{2} + b^{2}}

展開して整理すると

(1 - b^{2}) x^{2} - 2 a x - (a^{2} + b^{2} - 1) y^{2} + a^{2} + b^{2} = 0

P の軌跡はこの曲線（ $x y$ 平面上）。 $b^{2} = 1$ なら放物線 $x = \frac{a^{2} + 1 - a^{2} y^{2}}{2 a}$ （ $a^{2} + b^{2} > 1$ より $a \neq 0$ ）、 $b^{2} < 1$ なら双曲線、 $b^{2} > 1$ なら楕円。

答え

(1 - b^{2}) x^{2} - 2 a x - (a^{2} + b^{2} - 1) y^{2} + a^{2} + b^{2} = 0

第5問　7 の倍数になる確率は 1/7 のまわりを行き来する

答えは阪大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

$b_{1} = a_{1}$ 、 $b_{n + 1} = a_{1} b_{n} + a_{n + 1}$ 。7 で割った余りだけを見る。さいころの目は $1$ 〜 $6$ で、どれも $7$ で割り切れない。

(1)

$p_{1}$ ： $b_{1} = a_{1}$ は $7$ の倍数にならないので $p_{1} = 0$ 。 $p_{2}$ ： $b_{2} = a_{1}^{2} + a_{2}$ 。 $a_{1}^{2}$ を $7$ で割った余りは $1, 4, 2, 2, 4, 1$ で、どれに対しても $a_{2} \equiv - a_{1}^{2}$ となる目がちょうど $1$ つある。 $p_{2} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ 。

答え

p_{1} = 0

p_{2} = \frac{1}{6}

(2)

$b_{n} \equiv 0$ なら $b_{n + 1} \equiv a_{n + 1} ≢ 0$ 。 $b_{n} ≢ 0$ なら $a_{1} b_{n} ≢ 0$ で、 $a_{n + 1} \equiv - a_{1} b_{n}$ となる目がちょうど $1$ つ。 $a_{n + 1}$ は前と関係なく出るので

p_{n + 1} = \frac{1}{6} (1 - p_{n})

$p_{n + 1} - \frac{1}{7} = - \frac{1}{6} (p_{n} - \frac{1}{7})$ 、 $p_{1} - \frac{1}{7} = - \frac{1}{7}$ から $p_{n} = \frac{1}{7} {1 - {(- \frac{1}{6})}^{n - 1}}$ 。

答え

p_{n} = \frac{1}{7} {1 - {(- \frac{1}{6})}^{n - 1}}

阪大過去問 2023年数学｜AI解答・解説・シミュレーション｜アトリエファクトリー

このページの出典

問題（大阪大学の公表資料）

大阪大学の利用の条件について

解答とシミュレーション（AIで作成）

制作

お知らせ

第1問　1 − 1/2 ＋ 1/3 − … は log 2 に、ずれ 1/(2n) で近づく

問題の読み方

(1)

(2)

第2問　2 つの長さ 1 のベクトルが直交する。P は半円の中

問題の読み方

(1)

(2)

第3問　接点の t が 4 個になる点。π/2＋1 の右だけ下の線もふくむ

問題の読み方

第3問

第4問　|OQ| ＝ 1 になる P は、b で形が変わる 2 次曲線の上

問題の読み方

(1)

(2)

第5問　7 の倍数になる確率は 1/7 のまわりを行き来する

問題の読み方

(1)

(2)

阪大 過去問 2023年 数学｜AI解答・解説・シミュレーション｜アトリエファクトリー

第1問 1 − 1/2 ＋ 1/3 − … は log 2 に、ずれ 1/(2n) で近づく

問題の読み方

(1)

(2)

第2問 2 つの長さ 1 のベクトルが直交する。P は半円の中

問題の読み方

(1)

(2)

第3問 接点の t が 4 個になる点。π/2＋1 の右だけ下の線もふくむ

問題の読み方

第3問

第4問 |OQ| ＝ 1 になる P は、b で形が変わる 2 次曲線の上

問題の読み方

(1)

(2)

第5問 7 の倍数になる確率は 1/7 のまわりを行き来する

問題の読み方

(1)

(2)

阪大過去問 2023年数学｜AI解答・解説・シミュレーション｜アトリエファクトリー

第1問　1 − 1/2 ＋ 1/3 − … は log 2 に、ずれ 1/(2n) で近づく

第2問　2 つの長さ 1 のベクトルが直交する。P は半円の中

第3問　接点の t が 4 個になる点。π/2＋1 の右だけ下の線もふくむ

第4問　|OQ| ＝ 1 になる P は、b で形が変わる 2 次曲線の上

第5問　7 の倍数になる確率は 1/7 のまわりを行き来する