阪大過去問 2022年数学｜AI解答・解説・シミュレーション

阪大過去問 2022年数学｜AI解答・解説・シミュレーション｜アトリエファクトリー

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第1問　（配点率 20 %）

$r$ を正の実数とする．複素数平面上で，点 $z$ が点 $\frac{3}{2}$ を中心とする半径 $r$ の円周上を動くとき，

z + w = z w

を満たす点 $w$ が描く図形を求めよ．

— 5 —

第2問　（配点率 20 %）

$α = \frac{2 π}{7}$ とする．以下の問いに答えよ．

(1)　 $\cos 4 α = \cos 3 α$ であることを示せ．

(2)　 $f (x) = 8 x^{3} + 4 x^{2} - 4 x - 1$ とするとき， $f (\cos α) = 0$ が成り立つことを示せ．

(3)　 $\cos α$ は無理数であることを示せ．

第3問　（配点率 20 %）

正の実数 $t$ に対し，座標平面上の $2$ 点 $P (0, t)$ と $Q (\frac{1}{t}, 0)$ を考える． $t$ が $1 ≦ t ≦ 2$ の範囲を動くとき，座標平面内で線分 $P Q$ が通過する部分を図示せよ．

— 7 —

第4問　（配点率 20 %）

$f (x) = \log (x + 1) + 1$ とする．以下の問いに答えよ．

(1)　方程式 $f (x) = x$ は， $x > 0$ の範囲でただ $1$ つの解をもつことを示せ．

(2)　(1) の解を $α$ とする．実数 $x$ が $0 < x < α$ を満たすならば，次の不等式が成り立つことを示せ．

0 < \frac{α - f (x)}{α - x} < f^{'} (x)

(3)　数列 ${x_{n}}$ を

x_{1} = 1, x_{n + 1} = f (x_{n}) (n = 1, 2, 3, \dots \dots)

で定める．このとき，すべての自然数 $n$ に対して，

α - x_{n + 1} < \frac{1}{2} (α - x_{n})

が成り立つことを示せ．

(4)　(3) の数列 ${x_{n}}$ について， ${lim}_{n \to \infty} x_{n} = α$ を示せ．

— 9 —

第5問　（配点率 20 %）

座標平面において， $t$ を媒介変数として

x = e^{t} \cos t + e^{π}, y = e^{t} \sin t (0 ≦ t ≦ π)

で表される曲線を $C$ とする．曲線 $C$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

第1問　z の円は w の円にうつる。r ＝ 1/2 だけ直線になる

答えは阪大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

$z + w = z w$ は $w (z - 1) = z$ 。 $z = 1$ のときは $1 + w = w$ で $w$ が無い。 $z \neq 1$ なら $w = \frac{z}{z - 1} = 1 + \frac{1}{z - 1}$ 。 $u = z - 1$ とおくと $u$ は $\frac{1}{2}$ を中心とする半径 $r$ の円の上。

第1問

$w - 1 = \frac{1}{u}$ 。 $| u - \frac{1}{2} | = r$ を $u = \frac{1}{w - 1}$ で書きかえる。 $W = w - 1$ とすると $| 1 - \frac{W}{2} | = r | W |$ 、両辺を $2$ 乗して

(1 - \frac{W}{2}) (1 - \frac{\overset{―}{W}}{2}) = r^{2} W \overset{―}{W} ⟺ (\frac{1}{4} - r^{2}) | W |^{2} - \frac{W + \overset{―}{W}}{2} + 1 = 0

- $r = \frac{1}{2}$ ： $R e W = 1$ 、つまり 直線 $R e w = 2$ （ $u$ の円は $0$ を通り、 $u = 0$ をのぞいた全部がこの直線全体にうつる） - $r \neq \frac{1}{2}$ ： $| W |^{2} - \frac{4}{1 - 4 r^{2}} R e W + \frac{4}{1 - 4 r^{2}} = 0$ から、 $W$ は中心 $\frac{2}{1 - 4 r^{2}}$ 、半径 $\sqrt{\frac{4}{(1 - 4 r^{2})^{2}} - \frac{4}{1 - 4 r^{2}}} = \frac{4 r}{| 1 - 4 r^{2} |}$ の円。 $w = W + 1$ なので 中心 $\frac{3 - 4 r^{2}}{1 - 4 r^{2}}$ 、半径 $\frac{4 r}{| 1 - 4 r^{2} |}$ の円（ $u = 0$ の点は $r \neq \frac{1}{2}$ では円の上にないので、円全体を描く）

答え

{\begin{matrix} 直線 R e w = 2 & (r = \frac{1}{2}) \\ 中心 \frac{3 - 4 r^{2}}{1 - 4 r^{2}}, 半径 \frac{4 r}{| 1 - 4 r^{2} |} の円 & (r \neq \frac{1}{2}) \end{matrix}

第2問　cos(2π/7) は 3 次方程式の解。有理数ではない

答えは阪大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

$c = \cos α$ とおく。 $7 α = 2 π$ が鍵。

(1)

$4 α = 2 π - 3 α$ なので $\cos 4 α = \cos (2 π - 3 α) = \cos 3 α$ 。

答え

7 α = 2 π

より

4 α = 2 π - 3 α

(2)

$\cos 4 α = 2 \cos^{2} 2 α - 1 = 2 (2 c^{2} - 1)^{2} - 1 = 8 c^{4} - 8 c^{2} + 1$ 、 $\cos 3 α = 4 c^{3} - 3 c$ 。(1) から

8 c^{4} - 4 c^{3} - 8 c^{2} + 3 c + 1 = 0 ⟺ (c - 1) (8 c^{3} + 4 c^{2} - 4 c - 1) = 0

$0 < α < \frac{π}{2}$ なので $c \neq 1$ 。よって $f (c) = 0$ 。

答え

(c - 1) f (c) = 0

c = \cos α \neq 1

(3)

$c$ が有理数 $\frac{q}{p}$ （ $p > 0$ 、 $p, q$ は互いに素な整数）なら、 $f (\frac{q}{p}) = 0$ に $p^{3}$ をかけて $8 q^{3} + 4 q^{2} p - 4 q p^{2} - p^{3} = 0$ 。 $p^{3} = q (8 q^{2} + 4 q p - 4 p^{2})$ より $q$ は $p^{3}$ の約数で、 $p$ と互いに素なので $q = \pm 1$ 。 $8 q^{3} = p (- 4 q^{2} + 4 q p + p^{2})$ より $p$ は $8$ の約数。候補は $\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm \frac{1}{8}$ 。 $f (1) = 7, f (- 1) = - 1, f (\frac{1}{2}) = - 1, f (- \frac{1}{2}) = 1, f (\frac{1}{4}) = - \frac{13}{8}, f (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{8}, f (\frac{1}{8}) = - \frac{91}{64}, f (- \frac{1}{8}) = - \frac{29}{64}$ でどれも $0$ でない。よって $\cos α$ は無理数。

答え有理数の解の候補

\pm 1

\pm \frac{1}{2}

\pm \frac{1}{4}

\pm \frac{1}{8}

はどれも解でない

第3問　線分が通る所。上の境目の一部は曲線 y ＝ 1/(4x)

答えは阪大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

直線 PQ は $t x + \frac{y}{t} = 1$ 、つまり $y = t - t^{2} x$ 。線分は $0 ≦ x ≦ \frac{1}{t}$ の部分で、そこでは $y = t (1 - t x) ≧ 0$ 。

第3問

$x$ を決めて、 $y = h (t) = t - t^{2} x$ が $t$ の動ける範囲（ $1 ≦ t ≦ 2$ かつ $t ≦ \frac{1}{x}$ ）でとる値の範囲を調べる。 $h$ は $t = \frac{1}{2 x}$ が頂点の上に凸な $2$ 次関数で、頂点の値は $\frac{1}{4 x}$ 。 - $0 ≦ x ≦ \frac{1}{4}$ ： $t$ は $1$ 〜 $2$ 、頂点は $2$ 以上なので増える。 $1 - x ≦ y ≦ 2 - 4 x$ - $\frac{1}{4} ≦ x ≦ \frac{1}{2}$ ：頂点が $1$ 〜 $2$ の中。最大 $\frac{1}{4 x}$ 、最小は $h (1) = 1 - x$ と $h (2) = 2 - 4 x$ の小さい方（ $x ≦ \frac{1}{3}$ なら $1 - x$ 、 $x ≧ \frac{1}{3}$ なら $2 - 4 x$ ） - $\frac{1}{2} ≦ x ≦ 1$ ： $t$ は $1$ 〜 $\frac{1}{x}$ 、頂点は $1$ 以下なので減る。 $0 ≦ y ≦ 1 - x$

まとめて： $0 ≦ x ≦ \frac{1}{4}$ で $1 - x ≦ y ≦ 2 - 4 x$ 、 $\frac{1}{4} ≦ x ≦ \frac{1}{3}$ で $1 - x ≦ y ≦ \frac{1}{4 x}$ 、 $\frac{1}{3} ≦ x ≦ \frac{1}{2}$ で $2 - 4 x ≦ y ≦ \frac{1}{4 x}$ 、 $\frac{1}{2} ≦ x ≦ 1$ で $0 ≦ y ≦ 1 - x$ （境目をふくむ）。上の境目は直線 $y = 2 - 4 x$ （ $0 ≦ x ≦ \frac{1}{4}$ ）、曲線 $y = \frac{1}{4 x}$ （ $\frac{1}{4} ≦ x ≦ \frac{1}{2}$ 、 $x = \frac{1}{4}$ で直線に接する）、直線 $y = 1 - x$ （ $\frac{1}{2} ≦ x ≦ 1$ ）。下は $t = 1$ と $t = 2$ の線分と $x$ 軸。なお $x = 0$ では線分の端 P だけが通り、 $1 ≦ y ≦ 2$ 。

答え

{\begin{matrix} 1 - x ≦ y ≦ 2 - 4 x & (0 ≦ x ≦ \frac{1}{4}) \\ 1 - x ≦ y ≦ \frac{1}{4 x} & (\frac{1}{4} ≦ x ≦ \frac{1}{3}) \\ 2 - 4 x ≦ y ≦ \frac{1}{4 x} & (\frac{1}{3} ≦ x ≦ \frac{1}{2}) \\ 0 ≦ y ≦ 1 - x & (\frac{1}{2} ≦ x ≦ 1) \end{matrix}

第4問　くり返し x → f(x) で α に近づく。ずれは毎回半分より小さい

答えは阪大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

$f^{'} (x) = \frac{1}{x + 1}$ は $x > 0$ で $0$ と $1$ の間で、 $x$ が大きいほど小さい。

(1)

$g (x) = f (x) - x$ とすると $g^{'} (x) = \frac{1}{x + 1} - 1 < 0 (x > 0)$ で減る。 $g (0) = 1 > 0$ 、 $g (x) ≦ \log (x + 1) + 1 - x \to - \infty$ 。よって $x > 0$ で $g (x) = 0$ の解はただ $1$ つ。

答え

g (x) = f (x) - x

は減少,　

g (0) = 1 > 0

g (x) \to - \infty

(2)

$f$ は増えるので $f (x) < f (α) = α$ 、分子も分母も正で $0 < \frac{α - f (x)}{α - x}$ 。平均値の定理で $\frac{f (α) - f (x)}{α - x} = f^{'} (c)$ （ $x < c < α$ ）、 $f^{'}$ は減るので $f^{'} (c) < f^{'} (x)$ 。

答え平均値の定理と

f^{'}

が減少

(3)

$g (1) = \log 2 > 0$ なので $1 < α$ 。 $x_{n} < α$ なら $x_{n + 1} = f (x_{n}) < α$ （数学的帰納法で全部の $n$ で $x_{n} < α$ ）。また $x_{n + 1} - x_{n} = g (x_{n}) > 0$ で増えるので $x_{n} ≧ 1$ 。(2) より

α - x_{n + 1} = α - f (x_{n}) < f^{'} (x_{n}) (α - x_{n}) = \frac{α - x_{n}}{x_{n} + 1} ≦ \frac{1}{2} (α - x_{n})

答え

x_{n} ≧ 1

より

f^{'} (x_{n}) ≦ \frac{1}{2}

(4)

(3) をくり返して $0 < α - x_{n} ≦ {(\frac{1}{2})}^{n - 1} (α - 1) \to 0$ （等号は $n = 1$ のときだけ）。はさみうちで ${lim}_{n \to \infty} x_{n} = α$ 。

答え

0 < α - x_{n} ≦ {(\frac{1}{2})}^{n - 1} (α - 1) \to 0

第5問　らせんと x 軸で囲む面積 (e^{2π} − 1)/4

答えは阪大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

$(x - e^{π}, y) = e^{t} (\cos t, \sin t)$ なので、点 $(e^{π}, 0)$ を中心に見ると、角度 $t$ の向きに距離 $e^{t}$ の点。らせん $r = e^{θ}$ を右へ $e^{π}$ ずらしたもの。 $t = 0$ で $(1 + e^{π}, 0)$ 、 $t = π$ で $(0, 0)$ 、 $0 < t < π$ で $y > 0$ 。

第5問

囲まれた部分は、中心 $(e^{π}, 0)$ から見て角度 $0 ≦ θ ≦ π$ 、距離 $0 ≦ r ≦ e^{θ}$ の点の集まり（ $x$ 軸上の線分 $0 ≦ x ≦ 1 + e^{π}$ は中心を通る）。扇形を細かく集めて

S = \int_{0}^{π} \frac{1}{2} {(e^{θ})}^{2} d θ = \frac{1}{4} (e^{2 π} - 1)

（ $x$ で積分しても同じ： $S = \int_{0}^{π} y (- \frac{d x}{d t}) d t = \int_{0}^{π} e^{2 t} (\sin^{2} t - \sin t \cos t) d t$ で、 $\int_{0}^{π} e^{2 t} (\cos 2 t + \sin 2 t) d t = {[\frac{e^{2 t} \sin 2 t}{2}]}_{0}^{π} = 0$ を使うと同じ値）

答え

\frac{e^{2 π} - 1}{4}

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このページの出典

問題（大阪大学の公表資料）

大阪大学の利用の条件について

解答とシミュレーション（AIで作成）

制作

お知らせ

第1問　z の円は w の円にうつる。r ＝ 1/2 だけ直線になる

問題の読み方

第1問

第2問　cos(2π/7) は 3 次方程式の解。有理数ではない

問題の読み方

(1)

(2)

(3)

第3問　線分が通る所。上の境目の一部は曲線 y ＝ 1/(4x)

問題の読み方

第3問

第4問　くり返し x → f(x) で α に近づく。ずれは毎回半分より小さい

問題の読み方

(1)

(2)

(3)

(4)

第5問　らせんと x 軸で囲む面積 (e^{2π} − 1)/4

問題の読み方

第5問

阪大 過去問 2022年 数学｜AI解答・解説・シミュレーション｜アトリエファクトリー

第1問 z の円は w の円にうつる。r ＝ 1/2 だけ直線になる

問題の読み方

第1問

第2問 cos(2π/7) は 3 次方程式の解。有理数ではない

問題の読み方

(1)

(2)

(3)

第3問 線分が通る所。上の境目の一部は曲線 y ＝ 1/(4x)

問題の読み方

第3問

第4問 くり返し x → f(x) で α に近づく。ずれは毎回半分より小さい

問題の読み方

(1)

(2)

(3)

(4)

第5問 らせんと x 軸で囲む面積 (e^{2π} − 1)/4

問題の読み方

第5問

阪大過去問 2022年数学｜AI解答・解説・シミュレーション｜アトリエファクトリー

第1問　z の円は w の円にうつる。r ＝ 1/2 だけ直線になる

第2問　cos(2π/7) は 3 次方程式の解。有理数ではない

第3問　線分が通る所。上の境目の一部は曲線 y ＝ 1/(4x)

第4問　くり返し x → f(x) で α に近づく。ずれは毎回半分より小さい

第5問　らせんと x 軸で囲む面積 (e^{2π} − 1)/4