名大過去問 2026年数学｜AI解答・解説・シミュレーション

名大過去問 2026年数学｜AI解答・解説・シミュレーション｜アトリエファクトリー

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第1問

点 $O$ を原点とする $x y$ 平面において，曲線 $y = \frac{1}{x}$ の第 1 象限にある部分を $C$ とし， $C$ 上の 2 点 $A (a, \frac{1}{a})$ ， $B (b, \frac{1}{b})$ （ただし $0 < a < 1$ ， $a < b$ ）を考える。 $θ = ∠ B O A$ とおき，2 直線 $O A$ ， $O B$ と $C$ で囲まれた部分の面積を $S$ とする。このとき，以下の問いに答えよ。

(1)　 $S$ を $a$ ， $b$ を用いて表せ。

(2)　 $θ = \frac{π}{4}$ であるとき， $b$ を $a$ を用いて表せ。

(3)　2 点 $A, B$ が $C$ 上を $θ = \frac{π}{4}$ をみたしながら動くとき， $S$ の最小値を与える $a$ の値を求めよ。

第2問

$a$ を実数とする。空間内の 3 点 $A (2, 1, 3)$ ， $B (a + 2, 3, 4)$ ， $C (1, 0, 0)$ を含む平面を $H$ とし，2 点 $D (- 1, 2, 1)$ ， $E (- 3, 1, 0)$ を通る直線を考える。以下の問いに答えよ。

(1)　平面 $H$ が直線 $D E$ と共有点をもつための， $a$ の条件を求めよ。

(2)　平面 $H$ が線分 $D E$ （両端を含む）と共有点をもつための， $a$ の条件を求めよ。

第3問

整数の組 $(a, b, c)$ に対して，次の条件 $(*)$ を考える。

$(*)$ 　 $a, b, c$ は 1 以上の整数であり， $a$ と $b$ の最大公約数， $a$ と $c$ の最大公約数， $b$ と $c$ の最大公約数はそれぞれ 1 である。

以下の問いに答えよ。ただし，組 $(a, b, c)$ と $(d, e, f)$ は $a = d$ ， $b = e$ ， $c = f$ のとき，かつこのときに限り等しい。

(1)　条件 $(*)$ かつ $a b c = 120$ をみたす組 $(a, b, c)$ のうちで， $a ≦ b ≦ c$ をみたすものをすべて求めよ。

(2)　 $N$ を 2 以上の整数とし， $N$ 以下の素数の個数を $m$ とする。条件 $(*)$ かつ $a b c = N!$ をみたす組 $(a, b, c)$ の個数を $m$ を用いて表せ。

(3)　 $N$ を 2 以上の整数とし， $N$ 以下の素数の個数を $m$ とする。条件 $(*)$ かつ $a b c = N!$ をみたす組 $(a, b, c)$ のうちで， $a ≦ b ≦ c$ をみたすものの個数を $m$ を用いて表せ。

第4問

$x y$ 平面上を次の規則 (i)，(ii) に従って移動する点 $A$ を考える。

(i)　時刻 0 で点 $A$ は原点にある。

(ii)　ある時刻において点 $A$ が $(x, y)$ にあるとき，時刻が 1 増えると点 $A$ は 3 点 $(x + 1, y)$ ， $(x + 1, y + 1)$ ， $(x, y + 1)$ のいずれかにそれぞれ $\frac{1}{3}$ の確率で移動する。

1 以上の整数 $n$ に対して，次の条件 $(*)$ が成り立つ確率を $P_{n}$ とする。

$(*)$ 　時刻 0 から時刻 $n$ まで点 $A$ はつねに $- 1 ≦ y - x ≦ 1$ で定まる領域にある。

このとき，以下の問いに答えよ。

(1)　 $P_{1}$ ， $P_{2}$ ， $P_{3}$ を求めよ。

(2)　1 以上の整数 $n$ に対して，条件 $(*)$ が成り立ちかつ時刻 $n$ で点 $A$ が直線 $y - x = 0$ 上にある確率を $a_{n}$ とする。また，条件 $(*)$ が成り立ちかつ時刻 $n$ で点 $A$ が直線 $y - x = 1$ 上または直線 $y - x = - 1$ 上にある確率を $b_{n}$ とする。 $a_{n + 1}$ ， $b_{n + 1}$ を $a_{n}$ ， $b_{n}$ を用いて表せ。

(3)　 $P_{n + 2}$ を $P_{n + 1}$ ， $P_{n}$ を用いて表せ。

(4)　 $α = \frac{1 + \sqrt{2}}{3}$ とおくとき，

P_{n} ≦ α^{n - 1}

が 1 以上のすべての整数 $n$ に対して成り立つことを証明せよ。

第1問　y＝1/x の扇形の面積は log(b/a)。45° のとき一番小さいのは a＝√(√2−1)

答えは名大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

A，B の偏角を $α, β$ とすると $\tan α = \frac{1}{a^{2}}$ ， $\tan β = \frac{1}{b^{2}}$ で， $θ = α - β$ 。

(1)

A，B から x 軸へ垂線を下ろすと，三角形 OA と足・三角形 OB と足の面積はどちらも $\frac{1}{2}$ 。したがって

S = \frac{1}{2} + \int_{a}^{b} \frac{d x}{x} - \frac{1}{2} = \log \frac{b}{a}

答え

S = \log \frac{b}{a}

(2)

$\tan θ = \frac{\tan α - \tan β}{1 + \tan α \tan β} = \frac{b^{2} - a^{2}}{a^{2} b^{2} + 1} = 1$ から $b^{2} (1 - a^{2}) = 1 + a^{2}$ 。 $0 < a < 1$ なので $b = \sqrt{\frac{1 + a^{2}}{1 - a^{2}}}$ 。

答え

b = \sqrt{\frac{1 + a^{2}}{1 - a^{2}}}

(3)

${(\frac{b}{a})}^{2} = \frac{1 + u}{u (1 - u)}$ （ $u = a^{2}$ ）を最小にする。対数をとって微分すると $\frac{1}{1 + u} - \frac{1}{u} + \frac{1}{1 - u} = 0$ ，整理して $u^{2} + 2 u - 1 = 0$ ， $u = \sqrt{2} - 1$ 。この前後で減少から増加にかわるので $a = \sqrt{\sqrt{2} - 1}$ 。

答え

a = \sqrt{\sqrt{2} - 1}

第2問　平面 H と直線 DE は、a ＝ 9/2 のときだけ平行で交わらない

答えは名大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

平面 H の法線は $\vec{A B} \times \vec{A C} = (- 5, 3 a - 1, 2 - a)$ 。H 上の点 X は $g (X) = - 5 (x - 1) + (3 a - 1) y + (2 - a) z = 0$ 。

(1)

$g (D) = 10 + 5 a$ ， $g (E) = 19 + 3 a$ 。直線上の点 $D + s (E - D)$ では $g = (10 + 5 a) + s (9 - 2 a)$ 。 $9 - 2 a \neq 0$ なら $s$ が決まって交わる。 $a = \frac{9}{2}$ では $g = \frac{65}{2} \neq 0$ で交わらない。答えは $a \neq \frac{9}{2}$ 。

答え

a \neq \frac{9}{2}

(2)

線分と交わる ⇔ $g (D)$ と $g (E)$ が異符号か 0： $(10 + 5 a) (19 + 3 a) ≦ 0$ ， $- \frac{19}{3} ≦ a ≦ - 2$ 。

答え

- \frac{19}{3} ≦ a ≦ - 2

第3問　互いに素な 3 つの数の積が N! なら、素因数を 3 人に配る 3^m 通り

答えは名大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

どの 2 つも互いに素なので，同じ素数を 2 つ以上の数に分けられない。素数 $p$ の分（ $p^{e}$ ）はまるごと $a, b, c$ のどれか 1 つに入る。

(1)

$120 = 2^{3} \cdot 3 \cdot 5$ 。 $8, 3, 5$ を 3 つの数へ配る：全部 1 つへ $(1, 1, 120)$ ，2 つと 1 つ $(1, 5, 24)$ ・ $(1, 3, 40)$ ・ $(1, 8, 15)$ ，1 つずつ $(3, 5, 8)$ 。

答え

(1

1

120)

(1

3

40)

(1

5

24)

(1

8

15)

(3

5

8)

(2)

$N!$ にふくまれる素数は $m$ 個。それぞれの素数の分を 3 つのどれに入れるかで $3^{m}$ 通り。

答え

3^{m}

(3)

互いに素な 2 つの数が等しいのは 1 どうしだけ。1 が 2 つの組は $(1, 1, N!)$ の並べ方 3 通りで，ならべると 1 つ。残り $3^{m} - 3$ 通りは 3 つの数がすべてちがい，6 通りずつが同じ組になる。 $1 + \frac{3^{m} - 3}{6} = \frac{3^{m} + 3}{6}$ 。

答え

\frac{3^{m} + 3}{6}

第4問　帯の中にいつづける確率は、P_{n+2} ＝ (2/3)P_{n+1} ＋ (1/9)P_n

答えは名大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

$d = y - x$ とすると，1 回ごとに $d$ は $- 1, 0, + 1$ に $\frac{1}{3}$ ずつ変わる。条件は $| d | ≦ 1$ をつづけること。

(1)

$a_{1} = \frac{1}{3}$ ， $b_{1} = \frac{2}{3}$ で $P_{1} = 1$ 。(2) の式から $a_{2} = \frac{1}{3}$ ， $b_{2} = \frac{4}{9}$ ， $P_{2} = \frac{7}{9}$ 。 $a_{3} = \frac{7}{27}$ ， $b_{3} = \frac{10}{27}$ ， $P_{3} = \frac{17}{27}$ 。

答え

P_{1} = 1

P_{2} = \frac{7}{9}

P_{3} = \frac{17}{27}

(2)

$d = 0$ からは $d = 0$ へ $\frac{1}{3}$ ， $\pm 1$ へ $\frac{2}{3}$ 。 $d = \pm 1$ からは $0$ へ $\frac{1}{3}$ ，同じ $\pm 1$ へ $\frac{1}{3}$ （外へ出る $\frac{1}{3}$ は消える）。

答え

a_{n + 1} = \frac{a_{n} + b_{n}}{3}

b_{n + 1} = \frac{2 a_{n} + b_{n}}{3}

(3)

$P_{n + 1} = a_{n + 1} + b_{n + 1} = a_{n} + \frac{2}{3} b_{n}$ 。また $a_{n + 1} = \frac{a_{n} + b_{n}}{3} = \frac{P_{n}}{3}$ ， $b_{n + 1} = P_{n + 1} - a_{n + 1} = P_{n + 1} - \frac{P_{n}}{3}$ 。これを $P_{n + 2} = a_{n + 1} + \frac{2}{3} b_{n + 1}$ に入れると $P_{n + 2} = \frac{P_{n}}{3} + \frac{2}{3} (P_{n + 1} - \frac{P_{n}}{3}) = \frac{2}{3} P_{n + 1} + \frac{1}{9} P_{n}$ （ $P_{3} = \frac{2}{3} \cdot \frac{7}{9} + \frac{1}{9} \cdot 1 = \frac{17}{27}$ とも合う）。

答え

P_{n + 2} = \frac{2}{3} P_{n + 1} + \frac{1}{9} P_{n}

(4)

$α = \frac{1 + \sqrt{2}}{3}$ は $α^{2} = \frac{2}{3} α + \frac{1}{9}$ の正の解。 $P_{1} = 1 = α^{0}$ ， $P_{2} = \frac{7}{9} ≦ α$ （ $α ≒ 0.805$ ）。 $P_{n} ≦ α^{n - 1}$ ， $P_{n + 1} ≦ α^{n}$ なら

P_{n + 2} = \frac{2}{3} P_{n + 1} + \frac{1}{9} P_{n} ≦ α^{n - 1} (\frac{2}{3} α + \frac{1}{9}) = α^{n + 1}

答え帰納法で

P_{n} ≦ α^{n - 1}

名大過去問 2026年数学｜AI解答・解説・シミュレーション｜アトリエファクトリー

このページの出典

問題・出題の意図と正解（名古屋大学の公表資料）

名古屋大学の利用の条件について

解答とシミュレーション（AIで作成）

制作

お知らせ

第1問　y＝1/x の扇形の面積は log(b/a)。45° のとき一番小さいのは a＝√(√2−1)

問題の読み方

(1)

(2)

(3)

第2問　平面 H と直線 DE は、a ＝ 9/2 のときだけ平行で交わらない

問題の読み方

(1)

(2)

第3問　互いに素な 3 つの数の積が N! なら、素因数を 3 人に配る 3^m 通り

問題の読み方

(1)

(2)

(3)

第4問　帯の中にいつづける確率は、P_{n+2} ＝ (2/3)P_{n+1} ＋ (1/9)P_n

問題の読み方

(1)

(2)

(3)

(4)

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第1問 y＝1/x の扇形の面積は log(b/a)。45° のとき一番小さいのは a＝√(√2−1)

問題の読み方

(1)

(2)

(3)

第2問 平面 H と直線 DE は、a ＝ 9/2 のときだけ平行で交わらない

問題の読み方

(1)

(2)

第3問 互いに素な 3 つの数の積が N! なら、素因数を 3 人に配る 3^m 通り

問題の読み方

(1)

(2)

(3)

第4問 帯の中にいつづける確率は、P_{n+2} ＝ (2/3)P_{n+1} ＋ (1/9)P_n

問題の読み方

(1)

(2)

(3)

(4)

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第1問　y＝1/x の扇形の面積は log(b/a)。45° のとき一番小さいのは a＝√(√2−1)

第2問　平面 H と直線 DE は、a ＝ 9/2 のときだけ平行で交わらない

第3問　互いに素な 3 つの数の積が N! なら、素因数を 3 人に配る 3^m 通り

第4問　帯の中にいつづける確率は、P_{n+2} ＝ (2/3)P_{n+1} ＋ (1/9)P_n