阪大過去問 2025年数学｜AI解答・解説・シミュレーション

阪大過去問 2025年数学｜AI解答・解説・シミュレーション｜アトリエファクトリー

— 3 —

第1問　（配点率 20 %）

平面上の三角形 $O A B$ を考える． $∠ A O B$ は鋭角， $O A = 3$ ， $O B = t$ とする．また，点 $A$ から直線 $O B$ に下ろした垂線と直線 $O B$ の交点を $C$ とし， $O C = 1$ とする．線分 $A B$ を $2 : 1$ に内分する点を $P$ ，点 $A$ から直線 $O P$ に下ろした垂線と直線 $O B$ との交点を $R$ とする．

(1)　内積 $\vec{O A} \cdot \vec{O B}$ を $t$ を用いて表せ．

(2)　線分 $O R$ の長さを $t$ を用いて表せ．

(3)　線分 $O B$ の中点を $M$ とする．点 $R$ が線分 $M B$ 上にあるとき， $t$ のとりうる値の範囲を求めよ．

— 5 —

第2問　（配点率 20 %）

$p$ と $m$ を実数とし，関数 $f (x) = x^{3} + 3 p x^{2} + 3 m x$ は $x = α$ で極大値をとり， $x = β$ で極小値をとるとする．

(1)　 $f (α) - f (β)$ を $p$ と $m$ を用いて表せ．

(2)　 $p$ と $m$ が $f (α) - f (β) = 4$ を満たしながら動くとき，曲線 $y = f (x)$ の変曲点の軌跡を求めよ．

第3問　（配点率 20 %）

座標空間に $3$ 点 $O (0, 0, 0)$ ， $A (0, 1, 1)$ ， $P (x, y, 0)$ がある． $∠ O A P = 30^{\circ}$ かつ $y ≧ 0$ を満たすように点 $P$ が動くとき， $(x + 1) (y + 1)$ の最大値と最小値を求めよ．

— 7 —

第4問　（配点率 20 %）

次の問いに答えよ．

(1)　 $t > 0$ のとき

- \frac{1}{t} < \int_{t}^{2 t} \frac{\sin x}{x^{2}} d x < \frac{1}{t}

が成り立つことを示せ．

(2)　 ${lim}_{t \to \infty} \int_{t}^{2 t} \frac{\cos x}{x} d x = 0$ を示せ．

(3)　 $f (x) = \sin (\frac{3 x}{2}) \sin (\frac{x}{2})$ とおく．

{lim}_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{f (x)}{x} d x = \frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{\cos x}{x} d x

を示せ．

— 9 —

第5問　（配点率 20 %）

投げたときに表と裏の出る確率がそれぞれ $\frac{1}{2}$ のコインがある． $A, B, C$ の $3$ 文字を $B A C$ のように $1$ 個ずつすべて並べて得られる文字列に対して，コインを投げて次の操作を行う．

- 表が出たら文字列の左から $1$ 文字目と $2$ 文字目を入れかえる． - 裏が出たら文字列の左から $2$ 文字目と $3$ 文字目を入れかえる．

例えば，文字列が $B A C$ であるときに， $2$ 回続けてコインを投げて表，裏の順に出たとすると，文字列は $B A C$ から $A B C$ を経て $A C B$ となる．

　最初の文字列は $A B C$ であるとする．コインを $n$ 回続けて投げたあとの文字列が $A B C$ である確率を $p_{n}$ とし， $B C A$ である確率を $q_{n}$ とする．

(1)　 $k$ を正の整数とするとき， $p_{2 k} - q_{2 k}$ を求めよ．

(2)　 $n$ を正の整数とするとき， $p_{n}$ を求めよ．

第1問　垂線の足から内積がわかる。R が MB の上にあるのは t がこの範囲

答えは阪大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

$\vec{a} = \vec{O A}, \vec{b} = \vec{O B}$ とおく。C は A から直線 OB に下ろした垂線の足で、 $∠ A O B$ が鋭角なので C は半直線 OB の上にあり、 $O C = 1$ は $\vec{a}$ の $\vec{b}$ 方向の成分の大きさ。

(1)

$\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{b} | \times O C = t \times 1 = t$ 。

答え

t

(2)

$\vec{O P} = \frac{\vec{a} + 2 \vec{b}}{3}$ 。R は直線 OB 上なので $\vec{O R} = λ \vec{b}$ とおくと、 $A R ⟂ O P$ から

(λ \vec{b} - \vec{a}) \cdot (\vec{a} + 2 \vec{b}) = λ (t + 2 t^{2}) - (9 + 2 t) = 0

$λ = \frac{9 + 2 t}{t (1 + 2 t)}$ で、 $O R = λ t = \frac{2 t + 9}{2 t + 1}$ 。

答え

\frac{2 t + 9}{2 t + 1}

(3)

R が線分 MB 上 ⇔ $\frac{t}{2} ≦ \frac{2 t + 9}{2 t + 1} ≦ t$ 。

- 右： $2 t + 9 ≦ t (2 t + 1)$ 、 $2 t^{2} - t - 9 ≧ 0$ 、 $t ≧ \frac{1 + \sqrt{73}}{4}$ - 左： $t (2 t + 1) ≦ 2 (2 t + 9)$ 、 $2 t^{2} - 3 t - 18 ≦ 0$ 、 $t ≦ \frac{3 + 3 \sqrt{17}}{4}$

よって $\frac{1 + \sqrt{73}}{4} ≦ t ≦ \frac{3 + 3 \sqrt{17}}{4}$ 。

答え

\frac{1 + \sqrt{73}}{4} ≦ t ≦ \frac{3 + 3 \sqrt{17}}{4}

第2問　極大と極小の差は (β−α)³/2。差が 4 なら変曲点は y＝x³−3x の上

答えは阪大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

$f^{'} (x) = 3 (x^{2} + 2 p x + m)$ 。極大・極小があるのは $p^{2} > m$ のときで、 $α < β$ は $x^{2} + 2 p x + m = 0$ の 2 つの解（左が極大）。

(1)

f (α) - f (β) = - \int_{α}^{β} f^{'} (x) d x = - 3 \int_{α}^{β} (x - α) (x - β) d x = \frac{(β - α)^{3}}{2}

$β - α = 2 \sqrt{p^{2} - m}$ なので $f (α) - f (β) = 4 (p^{2} - m)^{\frac{3}{2}}$ 。

答え

4 (p^{2} - m)^{\frac{3}{2}}

(p^{2} > m)

(2)

$4 (p^{2} - m)^{\frac{3}{2}} = 4$ から $m = p^{2} - 1$ 。変曲点は $f^{″} (x) = 6 x + 6 p = 0$ の $x = - p$ で、 $y = f (- p) = 2 p^{3} - 3 m p = - p^{3} + 3 p$ 。 $X = - p$ とおくと $Y = X^{3} - 3 X$ 。 $p$ はすべての実数をとるので、軌跡は 曲線 $y = x^{3} - 3 x$ 全体。

答え曲線

y = x^{3} - 3 x

（全体）

第3問　∠OAP＝30° の P は楕円の上。(x+1)(y+1) は θ＝π/3 で最大

答えは阪大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

$\vec{A O} = (0, - 1, - 1)$ 、 $\vec{A P} = (x, y - 1, - 1)$ で、 $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ から P のえがく図形を求める。

第3問

\frac{\vec{A O} \cdot \vec{A P}}{| \vec{A O} | | \vec{A P} |} = \frac{2 - y}{\sqrt{2} \sqrt{x^{2} + (y - 1)^{2} + 1}} = \frac{\sqrt{3}}{2}

$2 - y > 0$ のもとで 2 乗して整理すると $3 x^{2} + (y + 1)^{2} = 3$ （楕円）。 $x = \cos θ, y + 1 = \sqrt{3} \sin θ$ とおくと、 $y ≧ 0$ は $\sin θ ≧ \frac{1}{\sqrt{3}}$ 。

$g (θ) = (x + 1) (y + 1) = \sqrt{3} (1 + \cos θ) \sin θ$ 、 $g^{'} (θ) = \sqrt{3} (2 \cos θ - 1) (\cos θ + 1)$ 。

- $θ = \frac{π}{3}$ （ $x = y = \frac{1}{2}$ ）で最大 $\sqrt{3} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{9}{4}$ - 範囲の両端（ $y = 0$ 、 $x = \pm \frac{\sqrt{6}}{3}$ ）で $g = 1 \pm \frac{\sqrt{6}}{3}$ 。最小は $1 - \frac{\sqrt{6}}{3}$

答え最大値

\frac{9}{4} (x = y = \frac{1}{2})

、最小値

1 - \frac{\sqrt{6}}{3} (x = - \frac{\sqrt{6}}{3}, y = 0)

第4問　積を和にすると、ずらした積分が打ち消し合う

答えは阪大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

(1) の不等式を使って (2) を部分積分で示し、(3) は積を和になおして (2) に帰着させる。

(1)

$| \frac{\sin x}{x^{2}} | ≦ \frac{1}{x^{2}}$ で、等号がつねに成り立つわけではないので

| \int_{t}^{2 t} \frac{\sin x}{x^{2}} d x | < \int_{t}^{2 t} \frac{d x}{x^{2}} = \frac{1}{2 t} < \frac{1}{t}

答え

| \int_{t}^{2 t} \frac{\sin x}{x^{2}} d x | < \int_{t}^{2 t} \frac{d x}{x^{2}} = \frac{1}{2 t} < \frac{1}{t}

(2)

\int_{t}^{2 t} \frac{\cos x}{x} d x = {[\frac{\sin x}{x}]}_{t}^{2 t} + \int_{t}^{2 t} \frac{\sin x}{x^{2}} d x

右辺の 1 つ目の大きさは $\frac{1}{2 t} + \frac{1}{t}$ 以下、2 つ目は (1) から $\frac{1}{t}$ 未満。どちらも $t \to \infty$ で 0 に近づく。

答え部分積分で

{[\frac{\sin x}{x}]}_{t}^{2 t} + \int_{t}^{2 t} \frac{\sin x}{x^{2}} d x

。どちらも

0

に近づく

(3)

$f (x) = \frac{\cos x - \cos 2 x}{2}$ 。 $\int_{1}^{t} \frac{\cos 2 x}{x} d x$ は $2 x = u$ とおくと $\int_{2}^{2 t} \frac{\cos u}{u} d u$ 。よって

\int_{1}^{t} \frac{f (x)}{x} d x = \frac{1}{2} (\int_{1}^{t} - \int_{2}^{2 t}) \frac{\cos x}{x} d x = \frac{1}{2} (\int_{1}^{2} \frac{\cos x}{x} d x - \int_{t}^{2 t} \frac{\cos x}{x} d x)

(2) から右の積分は 0 に近づくので、極限は $\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{\cos x}{x} d x$ 。

答え

f = \frac{\cos x - \cos 2 x}{2}

。

\int_{1}^{t} \frac{\cos 2 x}{x} d x = \int_{2}^{2 t} \frac{\cos u}{u} d u

なので

\int_{1}^{t} \frac{f}{x} d x = \frac{1}{2} (\int_{1}^{2} - \int_{t}^{2 t}) \frac{\cos x}{x} d x \to \frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{\cos x}{x} d x

第5問　入れかえ 2 回で 3 つの「偶の並び」を行き来する

答えは阪大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

1 回の操作は 2 文字の入れかえ（互換）なので、並びの「偶・奇」は毎回入れかわる。偶の並びは ABC・BCA・CAB の 3 つ。

(1)

2 回続けた操作は、表表・裏裏ならもとにもどり（確率 $\frac{1}{2}$ ）、表裏・裏表は 3 つの偶の並びを 1 つずつ回す向きが逆の 2 つ（それぞれ $\frac{1}{4}$ ）。2 回ごとに見ると、今の並びにとどまる確率 $\frac{1}{2}$ 、ほかの 2 つへ $\frac{1}{4}$ ずつ。

p_{2 k + 2} = \frac{1}{2} p_{2 k} + \frac{1}{4} (q_{2 k} + r_{2 k}), q_{2 k + 2} = \frac{1}{2} q_{2 k} + \frac{1}{4} (p_{2 k} + r_{2 k})

から $p_{2 k + 2} - q_{2 k + 2} = \frac{1}{4} (p_{2 k} - q_{2 k})$ 。 $p_{0} - q_{0} = 1$ なので $p_{2 k} - q_{2 k} = {(\frac{1}{4})}^{k}$ 。

答え

{(\frac{1}{4})}^{k}

(2)

$n$ が奇数のときは奇の並びなので $p_{n} = 0$ 。偶数 $n = 2 k$ のとき、BCA と CAB は同じ確率（ $q = r$ ）なので $p + 2 q = 1$ と (1) から $p_{2 k} = \frac{1 + 2 \cdot 4^{- k}}{3}$ 、つまり $p_{n} = \frac{1 + 2^{1 - n}}{3}$ 。

答え

p_{n} = {\begin{matrix} 0 & (n が奇数) \\ \frac{1 + 2^{1 - n}}{3} & (n が偶数) \end{matrix}

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このページの出典

問題（大阪大学の公表資料）

大阪大学の利用の条件について

解答とシミュレーション（AIで作成）

制作

お知らせ

第1問　垂線の足から内積がわかる。R が MB の上にあるのは t がこの範囲

問題の読み方

(1)

(2)

(3)

第2問　極大と極小の差は (β−α)³/2。差が 4 なら変曲点は y＝x³−3x の上

問題の読み方

(1)

(2)

第3問　∠OAP＝30° の P は楕円の上。(x+1)(y+1) は θ＝π/3 で最大

問題の読み方

第3問

第4問　積を和にすると、ずらした積分が打ち消し合う

問題の読み方

(1)

(2)

(3)

第5問　入れかえ 2 回で 3 つの「偶の並び」を行き来する

問題の読み方

(1)

(2)

阪大 過去問 2025年 数学｜AI解答・解説・シミュレーション｜アトリエファクトリー

第1問 垂線の足から内積がわかる。R が MB の上にあるのは t がこの範囲

問題の読み方

(1)

(2)

(3)

第2問 極大と極小の差は (β−α)³/2。差が 4 なら変曲点は y＝x³−3x の上

問題の読み方

(1)

(2)

第3問 ∠OAP＝30° の P は楕円の上。(x+1)(y+1) は θ＝π/3 で最大

問題の読み方

第3問

第4問 積を和にすると、ずらした積分が打ち消し合う

問題の読み方

(1)

(2)

(3)

第5問 入れかえ 2 回で 3 つの「偶の並び」を行き来する

問題の読み方

(1)

(2)

阪大過去問 2025年数学｜AI解答・解説・シミュレーション｜アトリエファクトリー

第1問　垂線の足から内積がわかる。R が MB の上にあるのは t がこの範囲

第2問　極大と極小の差は (β−α)³/2。差が 4 なら変曲点は y＝x³−3x の上

第3問　∠OAP＝30° の P は楕円の上。(x+1)(y+1) は θ＝π/3 で最大

第4問　積を和にすると、ずらした積分が打ち消し合う

第5問　入れかえ 2 回で 3 つの「偶の並び」を行き来する