阪大過去問 2024年数学｜AI解答・解説・シミュレーション

阪大過去問 2024年数学｜AI解答・解説・シミュレーション｜アトリエファクトリー

— 3 —

第1問　（配点率 20 %）

自然数 $n$ に対して，関数 $f_{n} (x)$ を

f_{n} (x) = 1 - \frac{1}{2} e^{n x} + \cos \frac{x}{3} (x ≧ 0)

で定める．ただし， $e$ は自然対数の底である．

(1)　方程式 $f_{n} (x) = 0$ は，ただ $1$ つの実数解をもつことを示せ．

(2)　(1) における実数解を $a_{n}$ とおくとき，極限値 ${lim}_{n \to \infty} a_{n}$ を求めよ．

(3)　極限値 ${lim}_{n \to \infty} n a_{n}$ を求めよ．

— 5 —

第2問　（配点率 20 %）

$α, β$ を複素数とし，複素数 $z$ に対して

f (z) = z^{2} + α z + β

とおく． $α, β$ は

| f (1) - 3 | ≦ 1 かつ | f (i) - 1 | ≦ 3

を満たしながら動く．ただし， $i$ は虚数単位である．

(1)　 $f (1 + i)$ がとりうる値の範囲を求め，複素数平面上に図示せよ．

(2)　 $f (1 + i) = 0$ であるとき， $α, β$ の値を求めよ．

第3問　（配点率 20 %）

空間内の $2$ 直線 $ℓ, m$ はねじれの位置にあるとする． $ℓ$ と $m$ の両方に直交する直線がただ $1$ つ存在することを示せ．

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第4問　（配点率 20 %）

$a > 1$ とする． $x y$ 平面において，点 $(a, 0)$ を中心とする半径 $1$ の円を $C$ とする．

(1)　円 $C$ の $x ≧ a$ の部分と $y$ 軸および $2$ 直線 $y = 1, y = - 1$ で囲まれた図形を $y$ 軸のまわりに $1$ 回転してできる回転体の体積 $V_{1}$ を求めよ．

(2)　円 $C$ で囲まれた図形を $y$ 軸のまわりに $1$ 回転してできる回転体の体積を $V_{2}$ とする．(1) における $V_{1}$ について， $V_{1} = 2 V_{2}$ となる $a$ の値を求めよ．

— 9 —

第5問　（配点率 20 %）

自然数 $1, 2, 3, \dots, n$ のうち， $n$ と互いに素であるものの個数を $f (n)$ とする．

(1)　自然数 $a, b, c$ および相異なる素数 $p, q, r$ に対して，等式

f (p^{a} q^{b} r^{c}) = p^{a - 1} q^{b - 1} r^{c - 1} (p - 1) (q - 1) (r - 1)

が成り立つことを示せ．

(2)　 $f (n)$ が $n$ の約数となる $5$ 以上 $100$ 以下の自然数 $n$ をすべて求めよ．

第1問　解 a_n は 0 に近づくが、n 倍すると log 4 に近づく

答えは阪大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

$e^{n x}$ は $n$ が大きいほど急に大きくなる。 $\cos \frac{x}{3} ≦ 1$ なので、 $\frac{1}{2} e^{n x}$ が $2$ をこえたら $f_{n} (x) < 0$ になる。解はその手前にある。

(1)

$f_{n}^{'} (x) = - \frac{n}{2} e^{n x} - \frac{1}{3} \sin \frac{x}{3}$ 。 $x ≧ 0$ では $- \frac{n}{2} e^{n x} ≦ - \frac{1}{2}$ 、 $- \frac{1}{3} \sin \frac{x}{3} ≦ \frac{1}{3}$ なので $f_{n}^{'} (x) ≦ - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = - \frac{1}{6} < 0$ 、 $f_{n}$ は減り続ける。 $f_{n} (0) = 1 - \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2} > 0$ 、 $x \to \infty$ で $f_{n} (x) \to - \infty$ なので、 $f_{n} (x) = 0$ の解はただ $1$ つ。

答え

f_{n}^{'} (x) < 0

f_{n} (0) = \frac{3}{2} > 0

f_{n} (x) \to - \infty

よりただ 1 つ

(2)

$x = \frac{\log 4}{n}$ では $\frac{1}{2} e^{n x} = 2$ なので $f_{n} (\frac{\log 4}{n}) = \cos \frac{\log 4}{3 n} - 1 < 0$ 。 $f_{n}$ は減るので $0 < a_{n} < \frac{\log 4}{n}$ 。はさみうちで ${lim}_{n \to \infty} a_{n} = 0$ 。

答え

0

(3)

$f_{n} (a_{n}) = 0$ から $e^{n a_{n}} = 2 (1 + \cos \frac{a_{n}}{3})$ 、つまり $n a_{n} = \log {2 (1 + \cos \frac{a_{n}}{3})}$ 。(2) より $a_{n} \to 0$ なので右辺 $\to \log 4$ 。よって ${lim}_{n \to \infty} n a_{n} = \log 4$ 。

答え

\log 4

第2問　f(1) と f(i) の円から、f(1+i) の円ができる

答えは阪大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

$u = α + β, v = α i + β$ とおくと $f (1) = 1 + u, f (i) = - 1 + v$ 。条件は $| u - 2 | ≦ 1, | v - 2 | ≦ 3$ で、 $u, v$ はこの $2$ つの円の中を別々に動ける（ $α = \frac{u - v}{1 - i}, β = u - α$ で $α, β$ が $1$ 組決まる）。

(1)

$α (1 + i) + β = u + α i$ で、 $α i = \frac{(u - v) (1 + i) i}{2} = \frac{(u - v) (i - 1)}{2}$ なので

f (1 + i) = 2 i + \frac{1 + i}{2} u + \frac{1 - i}{2} v = 2 + 2 i + \frac{1 + i}{2} (u - 2) + \frac{1 - i}{2} (v - 2)

$| \frac{1 + i}{2} (u - 2) | ≦ \frac{\sqrt{2}}{2}, | \frac{1 - i}{2} (v - 2) | ≦ \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ で、それぞれ向きは自由に選べる。半径 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ の円の中の点と半径 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ の円の中の点の和は、半径 $2 \sqrt{2}$ の円の中を全部うめる。よって $f (1 + i)$ の範囲は 中心 $2 + 2 i$ 、半径 $2 \sqrt{2}$ の円の周と内部。

答え

| w - (2 + 2 i) | ≦ 2 \sqrt{2}

（中心

2 + 2 i

、半径

2 \sqrt{2}

の円の周と内部）

(2)

$| 0 - (2 + 2 i) | = 2 \sqrt{2}$ なので $0$ は円の周の上。周の上になるのは、 $2$ つの部分がどちらも一番長く、同じ向き（ $2 + 2 i$ から $0$ への向き $- (1 + i)$ ）のときだけ。 $\frac{1 + i}{2} (u - 2) = - \frac{1 + i}{2}$ から $u = 1$ 、 $\frac{1 - i}{2} (v - 2) = - \frac{3 (1 + i)}{2}$ から $v = 2 - 3 i$ 。 $α = \frac{u - v}{1 - i} = \frac{- 1 + 3 i}{1 - i} = - 2 + i$ 、 $β = u - α = 3 - i$ 。

答え

α = - 2 + i

β = 3 - i

第3問　ねじれた 2 本の直線に、同時に垂直な直線はただ 1 本

答えは阪大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

$ℓ$ 上の点を $\vec{a} + s \vec{d}$ 、 $m$ 上の点を $\vec{b} + t \vec{e}$ と書く。ねじれの位置なので $\vec{d}, \vec{e}$ は平行でなく、 $ℓ$ と $m$ は交わらない。

第3問

$ℓ, m$ の両方に直交する直線は、 $ℓ$ と点 $P$ 、 $m$ と点 $Q$ で交わり、 $\vec{P Q} ⟂ \vec{d}, \vec{P Q} ⟂ \vec{e}$ をみたす。 $P = \vec{a} + s \vec{d}, Q = \vec{b} + t \vec{e}, \vec{w} = \vec{b} - \vec{a}$ とすると $\vec{P Q} = \vec{w} + t \vec{e} - s \vec{d}$ で、条件は

| \vec{d} |^{2} s - (\vec{d} \cdot \vec{e}) t = \vec{w} \cdot \vec{d}, (\vec{d} \cdot \vec{e}) s - | \vec{e} |^{2} t = \vec{w} \cdot \vec{e}

この連立 $1$ 次方程式の行列式は $- | \vec{d} |^{2} | \vec{e} |^{2} + (\vec{d} \cdot \vec{e})^{2}$ 。 $\vec{d}, \vec{e}$ が平行でないのでシュワルツの不等式の等号が成り立たず、 $| \vec{d} |^{2} | \vec{e} |^{2} > (\vec{d} \cdot \vec{e})^{2}$ 、行列式は $0$ でない。よって $(s, t)$ はただ $1$ 組で、 $P, Q$ がただ $1$ 組決まる。 $ℓ, m$ は交わらないので $P \neq Q$ で、直線 $P Q$ が引ける。両方に直交する直線はかならずこの $P, Q$ を通るので、ただ $1$ つ。

答え

P Q ⟂ d

P Q ⟂ e

は

s

t

の連立 1 次方程式で、行列式

| d |^{2} | e |^{2} - (d \cdot e)^{2} > 0

なので解はただ 1 組

第4問　円をまわした体の体積。V₁ ＝ 2V₂ になる a

答えは阪大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

$y$ で切ると、円 $C$ の上で $x = a \pm \sqrt{1 - y^{2}}$ 。 $y$ 軸のまわりにまわすので、切り口は円板か円環になる。

(1)

切り口は半径 $a + \sqrt{1 - y^{2}}$ の円板。

V_{1} = π \int_{- 1}^{1} {(a + \sqrt{1 - y^{2}})}^{2} d y = π \int_{- 1}^{1} (a^{2} + 1 - y^{2} + 2 a \sqrt{1 - y^{2}}) d y = π (2 a^{2} + \frac{4}{3} + 2 a \cdot \frac{π}{2})

（ $\int_{- 1}^{1} \sqrt{1 - y^{2}} d y$ は半円の面積 $\frac{π}{2}$ ）。よって $V_{1} = π (2 a^{2} + π a + \frac{4}{3})$ 。

答え

V_{1} = π (2 a^{2} + π a + \frac{4}{3})

(2)

切り口は外の半径 $a + \sqrt{1 - y^{2}}$ 、内の半径 $a - \sqrt{1 - y^{2}}$ の円環なので

V_{2} = π \int_{- 1}^{1} 4 a \sqrt{1 - y^{2}} d y = 2 π^{2} a

$V_{1} = 2 V_{2}$ は $2 a^{2} + π a + \frac{4}{3} = 4 π a$ 、つまり $6 a^{2} - 9 π a + 4 = 0$ 。 $a = \frac{9 π \pm \sqrt{81 π^{2} - 96}}{12}$ 。小さい方は $\frac{9 π - \sqrt{81 π^{2} - 96}}{12} = \frac{8}{9 π + \sqrt{81 π^{2} - 96}} < \frac{8}{9 π} < 1$ なので、 $a > 1$ をみたすのは $a = \frac{9 π + \sqrt{81 π^{2} - 96}}{12}$ （およそ $4.566$ ）。

答え

a = \frac{9 π + \sqrt{81 π^{2} - 96}}{12}

第5問　n が f(n) で割り切れるのは、2 と 3 だけでできた数

答えは阪大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

$n = p^{a} q^{b} r^{c}$ と互いに素な数は、 $p, q, r$ のどれでも割り切れない数。

(1)

$N = p^{a} q^{b} r^{c}$ とする。 $1$ 〜 $N$ のうち $p$ の倍数は $\frac{N}{p}$ 個、 $p q$ の倍数は $\frac{N}{p q}$ 個、…。包除原理で

f (N) = N - \frac{N}{p} - \frac{N}{q} - \frac{N}{r} + \frac{N}{p q} + \frac{N}{q r} + \frac{N}{r p} - \frac{N}{p q r} = N (1 - \frac{1}{p}) (1 - \frac{1}{q}) (1 - \frac{1}{r})

$= p^{a - 1} q^{b - 1} r^{c - 1} (p - 1) (q - 1) (r - 1)$ 。

答え

f (p^{a} q^{b} r^{c}) = p^{a - 1} q^{b - 1} r^{c - 1} (p - 1) (q - 1) (r - 1)

(2)

(1) と同じ数え方で、 $n$ の素因数を $p_{1}, \dots, p_{k}$ とすると $\frac{n}{f (n)} = \frac{p_{1} p_{2} \dots p_{k}}{(p_{1} - 1) \dots (p_{k} - 1)}$ 。これが整数になる $n$ を探す。奇数の素因数 $p$ があると $p - 1$ は偶数。分子の $2$ は多くて $1$ 個（ $2$ が素因数のとき）。 - $n$ が奇数（ $n ≧ 5$ ）なら、分母は偶数で分子は奇数なので整数にならない - $n$ が偶数なら、奇数の素因数は $1$ 個まで。 $0$ 個なら $n = 2^{a}$ で $\frac{n}{f (n)} = 2$ 。 $1$ 個 $p$ なら $\frac{2 p}{p - 1}$ が整数、 $p - 1$ と $p$ は互いに素なので $p - 1 ∣ 2$ 、 $p = 3$ （このとき $3$ ）

よって $n = 2^{a}$ か $2^{a} 3^{b}$ （ $a, b ≧ 1$ ）。 $5 ≦ n ≦ 100$ では $n = 6, 8, 12, 16, 18, 24, 32, 36, 48, 54, 64, 72, 96$ 。

答え

n = 6

8

12

16

18

24

32

36

48

54

64

72

96

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このページの出典

問題（大阪大学の公表資料）

大阪大学の利用の条件について

解答とシミュレーション（AIで作成）

制作

お知らせ

第1問　解 a_n は 0 に近づくが、n 倍すると log 4 に近づく

問題の読み方

(1)

(2)

(3)

第2問　f(1) と f(i) の円から、f(1+i) の円ができる

問題の読み方

(1)

(2)

第3問　ねじれた 2 本の直線に、同時に垂直な直線はただ 1 本

問題の読み方

第3問

第4問　円をまわした体の体積。V₁ ＝ 2V₂ になる a

問題の読み方

(1)

(2)

第5問　n が f(n) で割り切れるのは、2 と 3 だけでできた数

問題の読み方

(1)

(2)

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第1問 解 a_n は 0 に近づくが、n 倍すると log 4 に近づく

問題の読み方

(1)

(2)

(3)

第2問 f(1) と f(i) の円から、f(1+i) の円ができる

問題の読み方

(1)

(2)

第3問 ねじれた 2 本の直線に、同時に垂直な直線はただ 1 本

問題の読み方

第3問

第4問 円をまわした体の体積。V₁ ＝ 2V₂ になる a

問題の読み方

(1)

(2)

第5問 n が f(n) で割り切れるのは、2 と 3 だけでできた数

問題の読み方

(1)

(2)

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第1問　解 a_n は 0 に近づくが、n 倍すると log 4 に近づく

第2問　f(1) と f(i) の円から、f(1+i) の円ができる

第3問　ねじれた 2 本の直線に、同時に垂直な直線はただ 1 本

第4問　円をまわした体の体積。V₁ ＝ 2V₂ になる a

第5問　n が f(n) で割り切れるのは、2 と 3 だけでできた数