東北大過去問 2026年数学｜AI解答・解説・シミュレーション

東北大過去問 2026年数学｜AI解答・解説・シミュレーション｜アトリエファクトリー

前期：経済学部（理系）・理学部・医学部（医学科，保健学科放射線技術科学専攻・検査技術科学専攻）・歯学部・薬学部・工学部・農学部

第1問

座標平面上の放物線 $y = x^{2}$ を $C$ とする。以下の問いに答えよ。

(1)　正の実数 $u$ に対し，放物線 $C$ の接線で点 $(u, u - 1)$ を通るものがちょうど 2 本あることを示せ。

(2)　正の実数 $u$ に対し，放物線 $C$ の相異なる 2 本の接線で点 $(u, u - 1)$ を通るものを $ℓ_{1}, ℓ_{2}$ とする。放物線 $C$ と直線 $ℓ_{1}$ の接点を $P_{1}$ とし，放物線 $C$ と直線 $ℓ_{2}$ の接点を $P_{2}$ とする。このとき，線分 $P_{1} P_{2}$ の垂直二等分線 $m$ は $y$ 軸と交わることを示せ。また， $u$ が正の実数全体を動くとき，直線 $m$ と $y$ 軸の交点の $y$ 座標 $q (u)$ の最小値と，それを与える $u$ の値を求めよ。

第2問

以下の問いに答えよ。

(1)　 $a^{2} + 2 b^{2} = c^{2}$ を満たす正の整数の組 $(a, b, c)$ を 1 つ求めよ。なお，解答は答えのみでよい。

(2)　 $a^{2} + 2 b^{2} = c^{2}$ を満たす正の整数の組 $(a, b, c)$ は無数に存在することを示せ。

(3)　正の整数の組 $(a, b, c)$ は $a^{2} + 2 b^{2} = c^{2}$ を満たすとする。このとき， $a + c$ および $b$ は偶数であることを示せ。さらに，もし $a$ と $c$ が偶数ならば $b$ は 4 の倍数であることを示せ。

第3問

$a, b, c, d$ は実数とし，実数全体を定義域とする関数

f (x) = {\begin{matrix} 8 x^{3} - 6 x^{2} + 2 & (| x | ≦ 1 の と き) \\ 3 x^{4} + a x^{3} + b x^{2} + c x + d & (| x | > 1 の と き) \end{matrix}

はすべての $x$ の値で微分可能であるとする。以下の問いに答えよ。

(1)　 $a, b, c, d$ の値を求めよ。

(2)　関数 $f (x)$ の最小値と，それを与える $x$ の値を求めよ。

第4問

座標平面において， $x$ 座標も $y$ 座標も整数である点全体の集合上を移動する点 $P$ がある。時刻 0 に点 $P$ は原点 $O$ にある。0 以上の整数 $t$ に対し，時刻 $t$ に点 $P$ が点 $(m, n)$ にあるとき，時刻 $t + 1$ での点 $P$ の位置は 4 点

(m + 1, n), (m - 1, n), (m, n + 1), (m, n - 1)

のいずれかであり，また，どの位置にある確率も $\frac{1}{4}$ である。以下の問いに答えよ。

(1)　時刻 8 に点 $P$ が点 $(4, 0)$ にある確率を求めよ。

(2)　時刻 8 に点 $P$ が双曲線 $x^{2} - y^{2} = 16$ 上にある確率を求めよ。

(3)　時刻 8 に点 $P$ が双曲線 $x^{2} - y^{2} = 16$ 上にあるとき，時刻 1，時刻 2， $\dots$ ，時刻 7 のいずれかに点 $P$ が点 $(4, 2)$ にある条件付き確率を求めよ。

第5問

座標平面上の曲線 $C$ は，媒介変数 $t$ を用いて

x = e^{t} \cos t, y = e^{t} \sin t (0 ≦ t ≦ \frac{π}{2})

と表されている。曲線 $C$ の $y$ 軸に平行な接線を $ℓ$ とし，曲線 $C$ ，直線 $ℓ$ および $x$ 軸で囲まれる図形を $D$ とする。以下の問いに答えよ。

(1)　直線 $ℓ$ の方程式を求めよ。

(2)　正の実数 $α, β$ に対し，次の 2 つの不定積分を求めよ。

I = \int e^{α t} \cos β t d t, J = \int e^{α t} \sin β t d t

(3)　 $D$ を $x$ 軸の周りに 1 回転させてできる立体の体積 $V$ の値を求めよ。

第6問

$A, B, C, D, O, P, Q$ は空間内の 7 点である。そのうち 6 点 $A, B, C, D, O, P$ は相異なり，5 点 $A, B, C, D, P$ はある球面 $S$ 上にある。また，点 $Q$ は直線 $C D$ 上にある。さらに，ある実数 $a, b$ に対し，次が成り立つとする。

\vec{O P} = a \vec{O A}, \vec{O Q} = b \vec{O B}, a {| \vec{O A} |}^{2} = b {| \vec{O B} |}^{2}

以下の問いに答えよ。

(1)　点 $Q$ は 3 点 $A, B, P$ が定める平面 $α$ 上にあることを示せ。

(2)　点 $Q$ は点 $C$ または点 $D$ に等しいことを示せ。

第1問　(u, u−1) からの接線はいつも 2 本。垂直二等分線の y 切片は u ＝ 1/4 で一番低い 11/8

答えは東北大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

接点を $(t, t^{2})$ とすると接線は $y = 2 t x - t^{2}$ 。これが $(u, u - 1)$ を通る条件は $t^{2} - 2 u t + u - 1 = 0$ …①。

(1)

① の判別式を $D$ とすると

\frac{D}{4} = u^{2} - (u - 1) = {(u - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{3}{4} > 0

なので ① は異なる 2 つの実数解をもつ。接点がちがえば接線もちがうので，接線はちょうど 2 本。

答え判別式/　

4 = u^{2} - u + 1 > 0

なので 2 本

(2)

① の 2 解を $t_{1}, t_{2}$ とすると $t_{1} + t_{2} = 2 u$ ， $t_{1} t_{2} = u - 1$ 。線分 $P_{1} P_{2}$ の傾きは $\frac{t_{2}^{2} - t_{1}^{2}}{t_{2} - t_{1}} = t_{1} + t_{2} = 2 u \neq 0$ なので，垂直二等分線 $m$ の傾きは $- \frac{1}{2 u}$ で， $y$ 軸に平行でない。よって $m$ は $y$ 軸と交わる。

中点は $(u, \frac{t_{1}^{2} + t_{2}^{2}}{2}) = (u, 2 u^{2} - u + 1)$ （ $t_{1}^{2} + t_{2}^{2} = (2 u)^{2} - 2 (u - 1)$ ）。 $m : y = - \frac{1}{2 u} (x - u) + 2 u^{2} - u + 1$ に $x = 0$ を入れて

q (u) = 2 u^{2} - u + \frac{3}{2} = 2 {(u - \frac{1}{4})}^{2} + \frac{11}{8}

$u = \frac{1}{4}$ （正）のとき最小値 $\frac{11}{8}$ 。

答え

q (u) = 2 u^{2} - u + \frac{3}{2}

,　最小値

\frac{11}{8} (u = \frac{1}{4})

第2問　a² ＋ 2b² ＝ c² の解は (1, 2, 3) から無数に。b はいつも偶数

答えは東北大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

奇数の 2 乗は 8 で割ると 1 余る： $(2 k + 1)^{2} = 4 k (k + 1) + 1$ で， $k (k + 1)$ は偶数。

(1)

$1^{2} + 2 \cdot 2^{2} = 9 = 3^{2}$ 。（ほかに $(7, 6, 11)$ など）

答え

(a

b

c) = (1

2

3)

(2)

正の整数 $k$ に対し $(a, b, c) = (k, 2 k, 3 k)$ とすると $k^{2} + 8 k^{2} = 9 k^{2} = (3 k)^{2}$ 。 $k$ ごとにちがう組なので，無数にある。

答え

(k

2 k

3 k) (k = 1

2

3

\dots)

(3)

$c^{2} - a^{2} = 2 b^{2}$ は偶数なので， $a^{2}$ と $c^{2}$ の偶奇は同じ，つまり $a$ と $c$ の偶奇は同じ。よって $a + c$ は偶数。

$a, c$ が奇数のとき： $c^{2} - a^{2}$ は 8 の倍数（どちらも 8 で割ると 1 余る）。 $2 b^{2}$ が 8 の倍数なので $b^{2}$ は 4 の倍数， $b$ は偶数。

$a, c$ が偶数のとき： $2 b^{2} = c^{2} - a^{2}$ は 4 の倍数なので $b$ は偶数。 $a = 2 a^{'}, b = 2 b^{'}, c = 2 c^{'}$ とすると $a^{' 2} + 2 b^{' 2} = c^{' 2}$ で，上と同じ理由で $a^{'} + c^{'}$ と $b^{'}$ は偶数。よって $b = 2 b^{'}$ は 4 の倍数。

どちらの場合も $b$ は偶数。

答え証明

第3問　つないだ所でも微分できる条件から a ＝ 8, b ＝ −12, c ＝ 0, d ＝ 5。最小は x ＝ −1 − √3

答えは東北大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

$x = \pm 1$ で微分可能 ⇔ そこで連続で，左右の微分係数が等しい。 $g (x) = 3 x^{4} + a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ ， $h (x) = 8 x^{3} - 6 x^{2} + 2$ とおく。

(1)

$h (1) = 4$ ， $h^{'} (1) = 12$ ， $h (- 1) = - 12$ ， $h^{'} (- 1) = 36$ （ $h^{'} (x) = 24 x^{2} - 12 x$ ）。 $g (1) = 4$ ： $3 + a + b + c + d = 4$ ， $g (- 1) = - 12$ ： $3 - a + b - c + d = - 12$ ， $g^{'} (1) = 12$ ： $12 + 3 a + 2 b + c = 12$ ， $g^{'} (- 1) = 36$ ： $- 12 + 3 a - 2 b + c = 36$ 。はじめの 2 式から $b + d = - 7$ ， $a + c = 8$ 。あとの 2 式から $3 a + c = 24$ ， $b = - 12$ 。よって $a = 8, c = 0, d = 5$ 。

（ $x = \pm 1$ での微分可能性は，左右の極限 ${lim}_{x \to 1 \pm 0} \frac{f (x) - f (1)}{x - 1}$ がどちらも $12$ ， ${lim}_{x \to - 1 \pm 0} \frac{f (x) - f (- 1)}{x + 1}$ がどちらも $36$ になることで確かめられる。 $g, h$ がどちらも多項式で，値と傾きがそろっているため。）

答え

a = 8

b = - 12

c = 0

d = 5

(2)

$| x | ≦ 1$ ： $h^{'} (x) = 12 x (2 x - 1)$ 。 $h (- 1) = - 12$ ， $h (0) = 2$ ， $h (\frac{1}{2}) = \frac{3}{2}$ ， $h (1) = 4$ なので，この範囲では $- 12$ 以上。

$| x | > 1$ ： $g (x) = 3 x^{4} + 8 x^{3} - 12 x^{2} + 5$ ， $g^{'} (x) = 12 x (x^{2} + 2 x - 2)$ 。 $x^{2} + 2 x - 2 = 0$ の解は $- 1 \pm \sqrt{3}$ で， $| x | > 1$ にあるのは $x = - 1 - \sqrt{3}$ 。 $x < - 1 - \sqrt{3}$ で $g^{'} < 0$ ， $- 1 - \sqrt{3} < x < - 1$ で $g^{'} > 0$ ， $x > 1$ で $g^{'} > 0$ （ $g (x) > g (1) = 4$ ）。

$x = - 1 - \sqrt{3}$ では $x^{2} = 2 - 2 x$ を使って次数を下げると $x^{3} = 6 x - 4$ ， $x^{4} = 12 - 16 x$ ，

g (x) = 3 (12 - 16 x) + 8 (6 x - 4) - 12 (2 - 2 x) + 5 = 24 x - 15 = - 39 - 24 \sqrt{3}

これは $- 12$ より小さい。よって最小値 $- 39 - 24 \sqrt{3}$ （ $x = - 1 - \sqrt{3}$ ）。

答え最小値

- 39 - 24 \sqrt{3} (x = - 1 - \sqrt{3})

第4問　8 回で (4, 0) にいる確率 49/4096。双曲線の上は 7/256

答えは東北大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

右・左・上・下の回数を $r, l, u, d$ （合計 8）とすると，終わりの点は $(r - l, u - d)$ 。道は全部で $4^{8} = 65536$ 本で，どれも同じ確率。

(1)

$(r - l, u - d) = (4, 0)$ ， $r + l + u + d = 8$ 。 $u = d = k$ とすると $r = 6 - k$ ， $l = 2 - k$ （ $k = 0, 1, 2$ ）。

\frac{8!}{6! 2!} + \frac{8!}{5! 1! 1! 1!} + \frac{8!}{4! 2! 2!} = 28 + 336 + 420 = 784

確率は $\frac{784}{65536} = \frac{49}{4096}$ 。

答え

\frac{49}{4096}

(2)

$(x - y) (x + y) = 16$ 。 $x \pm y$ は偶奇が同じで，8 回で行ける点は $| x | + | y | ≦ 8$ かつ $x + y$ が偶数。候補は $(\pm 4, 0)$ ， $(\pm 5, \pm 3)$ （ $(\pm 5, \pm 3)$ は $| x | + | y | = 8$ でちょうど行ける。 $(x \pm y) = (2, 8)$ など）。 $(\pm 10, \cdot)$ などは遠すぎる。 $(5, 3)$ へは右 5・上 3 だけで $\frac{8!}{5! 3!} = 56$ 本。対称性から

784 \times 2 + 56 \times 4 = 1792, \frac{1792}{65536} = \frac{7}{256}

答え

\frac{7}{256}

(3)

$(4, 2)$ は原点から 6 歩以上かかり，偶奇から時刻 6 にしかいられない（時刻 1〜7 のうち）。時刻 6 に $(4, 2)$ ：右 4・上 2 で $\frac{6!}{4! 2!} = 15$ 本。そこから 2 歩で双曲線上へ： $(4, 0)$ へ下・下の 1 本， $(5, 3)$ へ右・上の 2 本。合計 $15 \times 3 = 45$ 本。

\frac{45 / 65536}{1792 / 65536} = \frac{45}{1792}

答え

\frac{45}{1792}

第5問　e^t の渦巻きの、縦の接線は t ＝ π/4。回転体の体積は π(√2 e^{3π/4} − 4)/60

答えは東北大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

$\frac{d x}{d t} = e^{t} (\cos t - \sin t)$ ， $\frac{d y}{d t} = e^{t} (\sin t + \cos t) > 0$ （ $0 ≦ t ≦ \frac{π}{2}$ ）。

(1)

$y$ 軸に平行な接線は $\frac{d x}{d t} = 0$ ， $\frac{d y}{d t} \neq 0$ の所： $t = \frac{π}{4}$ 。 $x = e^{\frac{π}{4}} \cos \frac{π}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} e^{\frac{π}{4}}$ 。

答え

x = \frac{\sqrt{2}}{2} e^{\frac{π}{4}}

(2)

$(e^{α t} \cos β t)^{'} = α e^{α t} \cos β t - β e^{α t} \sin β t$ ， $(e^{α t} \sin β t)^{'} = α e^{α t} \sin β t + β e^{α t} \cos β t$ 。積分すると $e^{α t} \cos β t = α I - β J$ ， $e^{α t} \sin β t = α J + β I$ （積分定数を除く）。これを $I, J$ について解いて

I = \frac{e^{α t} (α \cos β t + β \sin β t)}{α^{2} + β^{2}} + C, J = \frac{e^{α t} (α \sin β t - β \cos β t)}{α^{2} + β^{2}} + C

答え

I = \frac{e^{α t} (α \cos β t + β \sin β t)}{α^{2} + β^{2}} + C

J = \frac{e^{α t} (α \sin β t - β \cos β t)}{α^{2} + β^{2}} + C

(3)

$0 ≦ t ≦ \frac{π}{4}$ で $x$ は $1$ から $\frac{\sqrt{2}}{2} e^{\frac{π}{4}}$ まで増え， $t > \frac{π}{4}$ では減って左へもどる。 $D$ は $1 ≦ x ≦ \frac{\sqrt{2}}{2} e^{\frac{π}{4}}$ の， $x$ 軸と曲線（ $0 ≦ t ≦ \frac{π}{4}$ の部分）の間。

V = π \int y^{2} d x = π \int_{0}^{\frac{π}{4}} e^{2 t} \sin^{2} t \cdot e^{t} (\cos t - \sin t) d t

$\sin^{2} t \cos t = \frac{\cos t - \cos 3 t}{4}$ ， $\sin^{3} t = \frac{3 \sin t - \sin 3 t}{4}$ なので，被積分関数は $\frac{e^{3 t}}{4} (\cos t - \cos 3 t - 3 \sin t + \sin 3 t)$ 。(2) を $α = 3$ で使うと，原始関数は

F (t) = \frac{e^{3 t}}{4} (\frac{3 \cos t - 4 \sin t}{5} - \frac{\cos 3 t}{3})

$F (\frac{π}{4}) = \frac{e^{\frac{3 π}{4}}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{15} = \frac{\sqrt{2} e^{\frac{3 π}{4}}}{60}$ ， $F (0) = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{15} = \frac{1}{15}$ 。

V = π (\frac{\sqrt{2} e^{\frac{3 π}{4}}}{60} - \frac{1}{15}) = \frac{π (\sqrt{2} e^{\frac{3 π}{4}} - 4)}{60} (≒ 0.572)

答え

V = \frac{π (\sqrt{2} e^{\frac{3 π}{4}} - 4)}{60}

第6問　球面上の点と、方べきが同じになる Q は、かならず C か D

答えは東北大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

P は直線 OA 上，Q は直線 OB 上。O, A, P が相異なるので $a \neq 0, 1$ 。

(1)

$a \neq 1$ なので $P \neq A$ で，直線 $A P$ は直線 $O A$ と同じ。これは平面 $α$ にふくまれるので $O$ は $α$ 上。 $O, B$ がどちらも $α$ 上なので直線 $O B$ は $α$ にふくまれ，その上の $Q$ （ $\vec{O Q} = b \vec{O B}$ ）も $α$ 上。

答え証明

(2)

球面 $S$ の中心を $K$ ，半径を $r$ ， $p = | \vec{O K} |^{2} - r^{2}$ とする。 $O$ を通り向き $\vec{w}$ の直線上の点 $O + s \vec{w}$ が $S$ 上にある条件は

| \vec{w} |^{2} s^{2} - 2 (\vec{w} \cdot \vec{O K}) s + p = 0

で，2 解の積は $\frac{p}{| \vec{w} |^{2}}$ 。

$\vec{w} = \vec{O A}$ のとき， $s = 1$ （A）と $s = a$ （P）が解で， $a \neq 1$ なのでこれが 2 解。 $a = \frac{p}{| \vec{O A} |^{2}}$ ，つまり $p = a | \vec{O A} |^{2}$ 。

$\vec{w} = \vec{O B}$ のとき， $s = 1$ （B）が解なので，もう 1 つの解は $s = \frac{p}{| \vec{O B} |^{2}} = \frac{a | \vec{O A} |^{2}}{| \vec{O B} |^{2}} = b$ 。よって $Q = O + b \vec{O B}$ は $S$ 上にある。

$Q$ は直線 $C D$ 上にもある。直線と球面の共有点は 2 個以下で， $C \neq D$ がどちらも共有点なので，共有点は $C, D$ だけ。よって $Q = C$ または $Q = D$ 。

（(1) と合わせると，A, B, P, Q は球面 $S$ を平面 $α$ で切った円の上にある。これが方べきの定理の逆にあたる。）

答え証明

東北大過去問 2026年数学｜AI解答・解説・シミュレーション｜アトリエファクトリー

このページの出典

問題・出題意図（東北大学の公表資料）

東北大学の利用の条件について

解答とシミュレーション（AIで作成）

制作

お知らせ

第1問　(u, u−1) からの接線はいつも 2 本。垂直二等分線の y 切片は u ＝ 1/4 で一番低い 11/8

問題の読み方

(1)

(2)

第2問　a² ＋ 2b² ＝ c² の解は (1, 2, 3) から無数に。b はいつも偶数

問題の読み方

(1)

(2)

(3)

第3問　つないだ所でも微分できる条件から a ＝ 8, b ＝ −12, c ＝ 0, d ＝ 5。最小は x ＝ −1 − √3

問題の読み方

(1)

(2)

第4問　8 回で (4, 0) にいる確率 49/4096。双曲線の上は 7/256

問題の読み方

(1)

(2)

(3)

第5問　e^t の渦巻きの、縦の接線は t ＝ π/4。回転体の体積は π(√2 e^{3π/4} − 4)/60

問題の読み方

(1)

(2)

(3)

第6問　球面上の点と、方べきが同じになる Q は、かならず C か D

問題の読み方

(1)

(2)

東北大 過去問 2026年 数学｜AI解答・解説・シミュレーション｜アトリエファクトリー

第1問 (u, u−1) からの接線はいつも 2 本。垂直二等分線の y 切片は u ＝ 1/4 で一番低い 11/8

問題の読み方

(1)

(2)

第2問 a² ＋ 2b² ＝ c² の解は (1, 2, 3) から無数に。b はいつも偶数

問題の読み方

(1)

(2)

(3)

第3問 つないだ所でも微分できる条件から a ＝ 8, b ＝ −12, c ＝ 0, d ＝ 5。最小は x ＝ −1 − √3

問題の読み方

(1)

(2)

第4問 8 回で (4, 0) にいる確率 49/4096。双曲線の上は 7/256

問題の読み方

(1)

(2)

(3)

第5問 e^t の渦巻きの、縦の接線は t ＝ π/4。回転体の体積は π(√2 e^{3π/4} − 4)/60

問題の読み方

(1)

(2)

(3)

第6問 球面上の点と、方べきが同じになる Q は、かならず C か D

問題の読み方

(1)

(2)

東北大過去問 2026年数学｜AI解答・解説・シミュレーション｜アトリエファクトリー

第1問　(u, u−1) からの接線はいつも 2 本。垂直二等分線の y 切片は u ＝ 1/4 で一番低い 11/8

第2問　a² ＋ 2b² ＝ c² の解は (1, 2, 3) から無数に。b はいつも偶数

第3問　つないだ所でも微分できる条件から a ＝ 8, b ＝ −12, c ＝ 0, d ＝ 5。最小は x ＝ −1 − √3

第4問　8 回で (4, 0) にいる確率 49/4096。双曲線の上は 7/256

第5問　e^t の渦巻きの、縦の接線は t ＝ π/4。回転体の体積は π(√2 e^{3π/4} − 4)/60

第6問　球面上の点と、方べきが同じになる Q は、かならず C か D