名大過去問 2025年数学｜AI解答・解説・シミュレーション

名大過去問 2025年数学｜AI解答・解説・シミュレーション｜アトリエファクトリー

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第1問

以下の問に答えよ。

(1)　実数 $x$ を変数とする関数 $f (x)$ が導関数 $f^{'} (x)$ および第 2 次導関数 $f^{″} (x)$ をもち，すべての $x$ に対し $f^{″} (x) > 0$ をみたすとする。さらに以下の極限値 $a$ ， $b$ （ $a < b$ ）が存在すると仮定する。

{lim}_{x \to - \infty} f^{'} (x) = a, {lim}_{x \to \infty} f^{'} (x) = b

このとき， $a < c < b$ をみたす任意の実数 $c$ に対し，関数 $g (x) = c x - f (x)$ の値を最大にする $x = x_{0}$ がただひとつ存在することを示せ。

(2)　実数 $x$ を変数とする関数

f (x) = \log (\frac{e^{x} + e^{- x}}{2})

はすべての $x$ に対し $f^{″} (x) > 0$ をみたすことを示せ。また，この $f$ に対し小問 (1) の極限値 $a$ ， $b$ を求めよ。

(3)　小問 (2) の関数 $f$ および極限値 $a$ ， $b$ を考える。 $a < c < b$ をみたす任意の実数 $c$ に対し小問 (1) の $x_{0}$ および $g (x_{0})$ を $c$ を用いて表せ。

第2問

整数 $a, b, c$ に対し次の条件を考える。

$(*)$ 　 $a ≧ b ≧ 0$ かつ $a^{2} - b^{2} = c$

以下の問に答えよ。

(1)　 $c = 24, 25, 26$ それぞれの場合に条件 $(*)$ をみたす整数の組 $(a, b)$ をすべて求めよ。

(2)　 $p$ は 3 以上の素数， $n$ は正の整数， $c = 4 p^{2 n}$ とする。このとき，条件 $(*)$ をみたす整数の組 $(a, b)$ をすべて求めよ。

第3問

以下の問に答えよ。

(1)　実数 $r, α$ は $0 < r ≦ 1$ ， $0 ≦ α < π$ をみたすとする。 $x y$ 平面内で，点 $(1, 0)$ を中心にもつ半径 $r$ の円周およびその内部を $C$ とする。 $C$ を原点 $(0, 0)$ を中心に反時計まわりに角度 $α$ だけ回転させるとき， $C$ が通過する領域の面積を求めよ。

(2)　実数 $R, α$ は $0 < R ≦ 1$ ， $0 ≦ α < π$ をみたすとする。 $x y z$ 空間内で，点 $(1, 0, 0)$ を中心にもつ半径 $R$ の球面およびその内部を $B$ とする。 $B$ を $z$ 軸のまわりに角度 $α$ だけ回転させるとき， $B$ が通過する領域の体積を求めよ。ただし，回転の向きは回転後の $B$ の中心が $(\cos α, \sin α, 0)$ になるように選ぶものとする。

第4問

コイン①，…，⑥が下図のようにマス目の中に置かれている。

①	②	③
④	⑤	⑥

これらのコインから無作為にひとつを選び，選んだコインはそのままにし，そのコインのあるマス目と辺を共有して隣接するマス目のコインを裏返す操作を考える。例えば，①を選べば，②，④を裏返し，②を選べば，①，③，⑤を裏返す。最初はすべてのコインが表向きに置かれていたとする。正の整数 $n$ に対し， $n$ 回目の操作終了時点ですべてのコインが裏向きである確率を $p_{n}$ とするとき，以下の問に答えよ。

(1)　 $p_{2}$ を求めよ。

(2)　コイン①，…，⑥をグループ $A$ ， $B$ に分けることによって， $n$ 回目の操作終了時点ですべてのコインが裏向きであるための必要十分条件を次の形に表すことができる。

$n$ 回目の操作終了時点までに $A$ に属する各コインはそれぞれ奇数回選ばれ， $B$ に属する各コインはそれぞれ偶数回選ばれる。

どのようにグループ分けすればよいかを答えよ。

(3)　 $p_{4}$ を求めよ。

第1問　log cosh x の傾きは −1 から 1。傾き c の点で cx − f(x) が一番大きい

答えは名大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

$g^{'} (x) = c - f^{'} (x)$ 。 $f^{″} > 0$ なので $f^{'}$ は増え続ける。

(1)

$f^{'}$ は増加し， $x \to - \infty$ で $a$ ， $x \to \infty$ で $b$ に近づくので， $a < f^{'} (x) < b$ 。 $a < c < b$ なので，中間値の定理と単調性から $f^{'} (x_{0}) = c$ となる $x_{0}$ がただ 1 つ。 $x < x_{0}$ で $g^{'} > 0$ ， $x > x_{0}$ で $g^{'} < 0$ なので， $g$ は $x_{0}$ でだけ最大。

答え証明

(2)

$f^{'} (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}}$ ， $f^{″} (x) = \frac{4}{(e^{x} + e^{- x})^{2}} > 0$ 。 $x \to \pm \infty$ で $f^{'} \to \pm 1$ なので $a = - 1$ ， $b = 1$ 。

答え

f^{″} = \frac{1}{\cosh^{2} x} > 0

a = - 1

b = 1

(3)

$\frac{e^{2 x} - 1}{e^{2 x} + 1} = c$ から $e^{2 x_{0}} = \frac{1 + c}{1 - c}$ 。 $\frac{e^{x_{0}} + e^{- x_{0}}}{2} = \frac{1}{\sqrt{1 - c^{2}}}$ なので

g (x_{0}) = \frac{c}{2} \log \frac{1 + c}{1 - c} + \frac{1}{2} \log (1 - c^{2}) = \frac{1}{2} {(1 + c) \log (1 + c) + (1 - c) \log (1 - c)}

答え

x_{0} = \frac{1}{2} \log \frac{1 + c}{1 - c}

g (x_{0}) = \frac{1}{2} {(1 + c) \log (1 + c) + (1 - c) \log (1 - c)}

第2問　4p²ⁿ ＝ (a−b)(a+b)。2 つの偶数の積に分けると n＋1 組

答えは名大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

$a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b) = c$ 。 $a - b$ と $a + b$ は和 $2 a$ が偶数なので，奇数どうしか偶数どうし。

(1)

$24 = 2 \times 12 = 4 \times 6$ から $(7, 5)$ ・ $(5, 1)$ 。 $25 = 1 \times 25 = 5 \times 5$ から $(13, 12)$ ・ $(5, 0)$ 。 $26 = 1 \times 26 = 2 \times 13$ はどちらも偶奇がちがうので，なし。

答え

c = 24 : (7

5)

(5

1)

c = 25 : (13

12)

(5

0)

c = 26 :

なし

(2)

$4 p^{2 n}$ は偶数なので $a - b$ ， $a + b$ はどちらも偶数。 $a - b = 2 u$ ， $a + b = 2 v$ （ $u ≦ v$ ）とすると $u v = p^{2 n}$ ， $u = p^{k}$ （ $0 ≦ k ≦ n$ ）。 $a = p^{k} + p^{2 n - k}$ ， $b = p^{2 n - k} - p^{k}$ 。

答え

(a

b) = (p^{k} + p^{2 n - k}

p^{2 n - k} - p^{k}) (k = 0

1

\dots

n)

第3問　円板を α 回すと、とおる面積は 2rα ＋ πr²。球なら παR² ＋ (4/3)πR³

答えは名大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

点 P を極座標 $(ρ, φ)$ で表す。回した円板 $D_{t}$ （中心 $(\cos t, \sin t)$ ）に入る条件は $ρ^{2} + 1 - 2 ρ \cos (φ - t) ≦ r^{2}$ ，つまり $| φ - t | ≦ β (ρ)$ 。

(1)

通る部分は $- β (ρ) ≦ φ ≦ α + β (ρ)$ （ $1 - r ≦ ρ ≦ 1 + r$ ）。 $β (ρ) ≦ \arcsin r ≦ \frac{π}{2}$ と $α < π$ から，角度の範囲の長さ $α + 2 β < 2 π$ で，一周して重なることはない。面積は

\int_{1 - r}^{1 + r} ρ {α + 2 β (ρ)} d ρ = α \cdot 2 r + π r^{2}

（ $\int ρ \cdot 2 β d ρ$ は円板そのものの面積 $π r^{2}$ ）。扇形の帯（はば $2 r$ ）と両はしの半円 2 つと見てもよい。

答え

2 r α + π r^{2}

(2)

同じように $(ρ, z)$ ごとに角のはば $α + 2 β$ を掛けて積分すると，体積は $α \iint ρ d ρ d z + \frac{4}{3} π R^{3}$ 。 $\iint ρ d ρ d z$ は断面の円（中心 $ρ = 1$ ，半径 $R$ ）の面積 × 中心の距離 1 $= π R^{2}$ 。

答え

π α R^{2} + \frac{4}{3} π R^{3}

第4問　②と⑤を奇数回、ほかを偶数回選べば全部裏。p₄ ＝ 7/162

答えは名大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

コイン $j$ が裏返る回数は，となりのコインが選ばれた回数の和。全部裏 ⇔ どのコインも奇数回裏返る。

(1)

2 回で全部裏になるのは②と⑤を 1 回ずつ選ぶとき（②で①③⑤，⑤で②④⑥）。 $\frac{2}{36} = \frac{1}{18}$ 。

答え

p_{2} = \frac{1}{18}

(2)

選ぶ回数の奇偶を $x_{1}, \dots, x_{6}$ とすると，①が裏： $x_{2} + x_{4} \equiv 1$ ，⑤が裏： $x_{2} + x_{4} + x_{6} \equiv 1$ から $x_{6} \equiv 0$ 。③から $x_{2} \equiv 1$ ，①から $x_{4} \equiv 0$ 。②から④を引いて $x_{3} \equiv 0$ ，⑥から $x_{5} \equiv 1$ ，④から $x_{1} \equiv 0$ 。この $(0, 1, 0, 0, 1, 0)$ を 6 つの式すべてに入れると成り立つので，すべて裏になるのはこの 1 通り（②と⑤を奇数回，ほかを偶数回）のときだけ。

答え

A = {②, ⑤}

B = {①, ③, ④, ⑥}

(3)

②⑤ を 1 回ずつ＋ B の同じコインを 2 回： $4 \times \frac{4!}{2!} = 48$ 通り。②⑤ の一方を 3 回・他方を 1 回： $2 \times 4 = 8$ 通り。 $\frac{56}{1296} = \frac{7}{162}$ 。

答え

p_{4} = \frac{7}{162}

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このページの出典

問題・出題の意図と正解（名古屋大学の公表資料）

名古屋大学の利用の条件について

解答とシミュレーション（AIで作成）

制作

お知らせ

第1問　log cosh x の傾きは −1 から 1。傾き c の点で cx − f(x) が一番大きい

問題の読み方

(1)

(2)

(3)

第2問　4p²ⁿ ＝ (a−b)(a+b)。2 つの偶数の積に分けると n＋1 組

問題の読み方

(1)

(2)

第3問　円板を α 回すと、とおる面積は 2rα ＋ πr²。球なら παR² ＋ (4/3)πR³

問題の読み方

(1)

(2)

第4問　②と⑤を奇数回、ほかを偶数回選べば全部裏。p₄ ＝ 7/162

問題の読み方

(1)

(2)

(3)

名大 過去問 2025年 数学｜AI解答・解説・シミュレーション｜アトリエファクトリー

第1問 log cosh x の傾きは −1 から 1。傾き c の点で cx − f(x) が一番大きい

問題の読み方

(1)

(2)

(3)

第2問 4p²ⁿ ＝ (a−b)(a+b)。2 つの偶数の積に分けると n＋1 組

問題の読み方

(1)

(2)

第3問 円板を α 回すと、とおる面積は 2rα ＋ πr²。球なら παR² ＋ (4/3)πR³

問題の読み方

(1)

(2)

第4問 ②と⑤を奇数回、ほかを偶数回選べば全部裏。p₄ ＝ 7/162

問題の読み方

(1)

(2)

(3)

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第1問　log cosh x の傾きは −1 から 1。傾き c の点で cx − f(x) が一番大きい

第2問　4p²ⁿ ＝ (a−b)(a+b)。2 つの偶数の積に分けると n＋1 組

第3問　円板を α 回すと、とおる面積は 2rα ＋ πr²。球なら παR² ＋ (4/3)πR³

第4問　②と⑤を奇数回、ほかを偶数回選べば全部裏。p₄ ＝ 7/162