東北大過去問 2025年数学｜AI解答・解説・シミュレーション

東北大過去問 2025年数学｜AI解答・解説・シミュレーション｜アトリエファクトリー

前期：経済学部（理系）・理学部・医学部（医学科，保健学科放射線技術科学専攻・検査技術科学専攻）・歯学部・薬学部・工学部・農学部

第1問

原点を出発点として数直線上を動く点 $P$ がある。試行 $(*)$ を次のように定める。

$(*)$ 　1 枚の硬貨を 1 回投げて，

　・表が出た場合は点 $P$ を正の向きに 1 だけ進める。

　・裏が出た場合は 1 個のさいころを 1 回投げ，奇数の目が出た場合は点 $P$ を正の向きに 1 だけ進め，偶数の目が出た場合は点 $P$ を負の向きに 2 だけ進める。

ただし，硬貨を投げたとき表裏の出る確率はそれぞれ $\frac{1}{2}$ ，さいころを投げたとき 1 から 6 までの整数の目の出る確率はそれぞれ $\frac{1}{6}$ とする。このとき，以下の問いに答えよ。

(1)　試行 $(*)$ を 3 回繰り返した後に，点 $P$ が原点にもどっている確率を求めよ。

(2)　試行 $(*)$ を 6 回繰り返した後に，点 $P$ が原点にもどっている確率を求めよ。

(3)　 $n$ を 3 で割り切れない正の整数とする。試行 $(*)$ を $n$ 回繰り返した後に，点 $P$ が原点にもどっている確率を求めよ。

（試験の日の補足説明：(1)，(2)，(3) の「…繰り返した後に，…」とは「…繰り返したとき，…」という意味である。）

第2問

正の実数からなる 2 つの数列 ${x_{n}}$ ， ${y_{n}}$ を次のように定める。

x_{1} = 2, y_{1} = \frac{1}{2}, x_{n + 1} = (x_{n})^{5} \cdot (y_{n})^{2}, y_{n + 1} = x_{n} \cdot (y_{n})^{6}

このとき，以下の問いに答えよ。

(1)　 $k$ を実数とする。 $a_{n} = \log_{2} x_{n}$ ， $b_{n} = \log_{2} y_{n}$ とおく。このとき，数列 ${a_{n} + k b_{n}}$ が等比数列になるような $k$ の値をすべて求めよ。

(2)　数列 ${x_{n}}$ の一般項を求めよ。

第3問

$a$ を実数とし，関数 $f (x)$ を次のように定める。

f (x) = x^{4} + \frac{4 a}{3} x^{3} + (a + 2) x^{2}

このとき，以下の問いに答えよ。

(1)　関数 $f (x)$ が極大値をもつような $a$ のとり得る値の範囲を求めよ。

(2)　関数 $f (x)$ が $x = 0$ で極大値をもつような $a$ のとり得る値の範囲を求めよ。

第4問

$n$ を正の整数， $a$ を正の実数とし，関数 $f (x)$ と $g (x)$ を次のように定める。

f (x) = n \log x, g (x) = a x^{n}

また，曲線 $y = f (x)$ と曲線 $y = g (x)$ が共有点をもち，その共有点における 2 つの曲線の接線が一致しているとする。このとき，以下の問いに答えよ。

(1)　 $a$ の値を求めよ。

(2)　この 2 つの曲線と $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S_{n}$ を求めよ。

(3)　(2) で求めた $S_{n}$ に対し，極限 ${lim}_{n \to \infty} S_{n}$ を求めよ。

第5問

$S$ を $x y z$ 空間内の原点 $O (0, 0, 0)$ を中心とする半径 1 の球面とする。また，点 $P (a, b, c)$ を点 $N (0, 0, 1)$ とは異なる球面 $S$ 上の点とする。点 $P$ と点 $N$ を通る直線 $ℓ$ と $x y$ 平面との交点を $Q$ とおく。このとき，以下の問いに答えよ。

(1)　点 $Q$ の座標を $a, b, c$ を用いて表せ。

(2)　 $x y$ 平面上の点 $(p, q, 0)$ と点 $N$ を通る直線を $m$ とする。直線 $m$ と球面 $S$ の交点のうち，点 $N$ 以外の交点の座標を $p, q$ を用いて表せ。

(3)　点 $(0, 0, \frac{1}{2})$ を通り，ベクトル $(3, 4, 5)$ に直交する平面 $α$ を考える。点 $P$ が平面 $α$ と球面 $S$ との交わりを動くとき，点 $Q$ は $x y$ 平面上の円周上を動くことを示せ。

第6問

1 辺の長さが 1 の正五角形を $K$ とする。このとき，以下の問いに答えよ。

(1)　 $K$ の対角線の長さを求めよ。

(2)　 $K$ の周で囲まれた図形を $P$ とする。また， $P$ を $K$ の外接円の中心の周りに角 $θ$ だけ回転して得られる図形を $P_{θ}$ とする。 $P$ と $P_{θ}$ の共通部分の周の長さを $ℓ_{θ}$ とする。 $θ$ が $0^{\circ} < θ < 72^{\circ}$ の範囲を動くとき， $ℓ_{θ}$ の最小値が $2 \sqrt{5}$ であることを示せ。

第1問　＋1 が 3/4、−2 が 1/4。原点にもどれるのは 3 の倍数回だけ

答えは東北大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

1 回の試行で＋1 進む確率は $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$ ，−2 進む確率は $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ 。 $n$ 回のうち −2 が $k$ 回なら，位置は $(n - k) - 2 k = n - 3 k$ 。

(1)

$n = 3$ で位置 0 ⇔ $k = 1$ 。 $_{3} C_{1} {(\frac{3}{4})}^{2} \frac{1}{4} = \frac{27}{64}$ 。

答え

\frac{27}{64}

(2)

$n = 6$ で $k = 2$ 。 $_{6} C_{2} {(\frac{3}{4})}^{4} {(\frac{1}{4})}^{2} = 15 \cdot \frac{81}{4096} = \frac{1215}{4096}$ 。

答え

\frac{1215}{4096}

(3)

位置 $n - 3 k = 0$ には $n = 3 k$ が必要。 $n$ が 3 で割り切れないので，原点にもどることはない。確率は $0$ 。

答え

0

第2問　log をとると 1 次の連立漸化式。a＋2b は 7 倍ずつ、a−b は 4 倍ずつ

答えは東北大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

底 2 の対数をとると $a_{n + 1} = 5 a_{n} + 2 b_{n}$ ， $b_{n + 1} = a_{n} + 6 b_{n}$ ， $a_{1} = 1$ ， $b_{1} = - 1$ 。

(1)

$a_{n + 1} + k b_{n + 1} = (5 + k) a_{n} + (2 + 6 k) b_{n}$ 。これが $r (a_{n} + k b_{n})$ になるのは $2 + 6 k = k (5 + k)$ ， $k^{2} - k - 2 = 0$ ， $k = 2, - 1$ のとき（ $r = 7, 4$ ）。初項は $a_{1} + 2 b_{1} = - 1$ ， $a_{1} - b_{1} = 2$ でどちらも 0 でない。

ほかの $k$ では，下の (2) から $a_{n} + k b_{n} = \frac{(4 - 2 k) 4^{n - 1} - (1 + k) 7^{n - 1}}{3}$ で， $4^{n - 1}$ と $7^{n - 1}$ の両方がのこり等比数列にならない。よって $k = 2, - 1$ 。

答え

k = 2

- 1

(2)

$a_{n} + 2 b_{n} = - 7^{n - 1}$ ， $a_{n} - b_{n} = 2 \cdot 4^{n - 1}$ 。2 式から $a_{n} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 4^{n - 1} - 7^{n - 1}}{3} = \frac{4^{n} - 7^{n - 1}}{3}$ 。 $x_{n} = 2^{a_{n}} = 2^{\frac{4^{n} - 7^{n - 1}}{3}}$ 。

答え

x_{n} = 2^{\frac{4^{n} - 7^{n - 1}}{3}}

第3問　4 次関数が極大をもつのは、f′ ＝ 0 が 3 つの解をもつとき

答えは東北大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

$f^{'} (x) = 4 x^{3} + 4 a x^{2} + 2 (a + 2) x = 2 x h (x)$ ， $h (x) = 2 x^{2} + 2 a x + a + 2$ 。

(1)

$x^{4}$ の係数が正なので， $f^{'}$ の符号が変わる所が 1 つだけなら極小しかない。極大をもつ ⇔ $f^{'}$ の符号が 3 回変わる ⇔ $h (x) = 0$ が 0 でない異なる 2 つの実数解をもつ。

判別式/4 $= a^{2} - 2 (a + 2) > 0$ から $a < 1 - \sqrt{5}$ または $a > 1 + \sqrt{5}$ 。 $h (0) = a + 2 \neq 0$ から $a \neq - 2$ （ $- 2 < 1 - \sqrt{5}$ なので除く必要がある）。

（ $a = - 2$ では $f^{'} = 4 x^{2} (x - 2)$ で，符号が変わるのは $x = 2$ だけ。極大はない。）

答え

a < - 2

- 2 < a < 1 - \sqrt{5}

1 + \sqrt{5} < a

(2)

$x = 0$ の近くで $f^{'} (x) = 2 x h (x)$ の符号は $x \cdot h (0)$ の符号。 $x = 0$ で＋から − に変わる ⇔ $h (0) = a + 2 < 0$ 。 $a = - 2$ では $f (x) = x^{3} (x - \frac{8}{3})$ で $x = 0$ は極値でない。よって $a < - 2$ 。

答え

a < - 2

第4問　n log x と xⁿ/e は x ＝ e^{1/n} で接する。囲む面積は n が大きいと 0 へ

答えは東北大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

接点の $x$ 座標を $t$ とすると $n \log t = a t^{n}$ ， $\frac{n}{t} = a n t^{n - 1}$ 。

(1)

2 つ目の式から $a t^{n} = 1$ 。1 つ目から $n \log t = 1$ ， $t = e^{\frac{1}{n}}$ 。 $a = \frac{1}{t^{n}} = \frac{1}{e}$ 。

答え

a = \frac{1}{e}

(2)

$g (x) - f (x)$ は $x = t$ で最小値 0 なので $g ≧ f$ 。囲まれた部分は $0 ≦ x ≦ t$ の $g$ の下から， $1 ≦ x ≦ t$ の $f$ の下を除いたもの。

\int_{0}^{t} \frac{x^{n}}{e} d x = \frac{t^{n + 1}}{(n + 1) e} = \frac{e^{\frac{1}{n}}}{n + 1}, \int_{1}^{t} n \log x d x = n {[x \log x - x]}_{1}^{t} = n - (n - 1) e^{\frac{1}{n}}

S_{n} = \frac{e^{\frac{1}{n}}}{n + 1} - n + (n - 1) e^{\frac{1}{n}} = \frac{n^{2} e^{\frac{1}{n}}}{n + 1} - n

答え

S_{n} = \frac{n^{2} e^{\frac{1}{n}}}{n + 1} - n

(3)

$h = \frac{1}{n}$ とおくと $S_{n} = n (\frac{e^{h}}{1 + h} - 1) = \frac{1}{h} \cdot \frac{e^{h} - 1 - h}{1 + h}$ 。 ${lim}_{h \to 0} \frac{e^{h} - 1 - h}{h} = 0$ （ $e^{h} - 1 - h$ は $h^{2}$ くらいの大きさ）なので ${lim}_{n \to \infty} S_{n} = 0$ 。

答え

0

第5問　北極を通らない球面上の円は、北極から床へ写しても円

答えは東北大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

直線 $N P$ 上の点は $N + s (P - N)$ 。

(1)

$z$ 座標 $1 + s (c - 1) = 0$ から $s = \frac{1}{1 - c}$ （ $P \neq N$ なので $c \neq 1$ ）。 $Q (\frac{a}{1 - c}, \frac{b}{1 - c}, 0)$ 。

答え

Q (\frac{a}{1 - c}, \frac{b}{1 - c}, 0)

(2)

$m$ 上の点 $(s p, s q, 1 - s)$ が $S$ 上： $s^{2} (p^{2} + q^{2}) + (1 - s)^{2} = 1$ ， $s {(p^{2} + q^{2} + 1) s - 2} = 0$ 。N 以外は $s = \frac{2}{p^{2} + q^{2} + 1}$ 。

答え

(\frac{2 p}{p^{2} + q^{2} + 1}, \frac{2 q}{p^{2} + q^{2} + 1}, \frac{p^{2} + q^{2} - 1}{p^{2} + q^{2} + 1})

(3)

$α : 3 x + 4 y + 5 (z - \frac{1}{2}) = 0$ 。O と $α$ のきょりは $\frac{5 / 2}{\sqrt{50}} < 1$ なので交わりは円で，N は $α$ 上にない（ $5 \neq \frac{5}{2}$ ）。

P が交わりの上にあるとき， $Q = (p, q, 0)$ とすると P は (2) の点。 $α$ の式に入れて分母を払うと

2 (6 p + 8 q) + 10 (p^{2} + q^{2} - 1) = 5 (p^{2} + q^{2} + 1)

p^{2} + q^{2} + \frac{12}{5} p + \frac{16}{5} q - 3 = 0, {(p + \frac{6}{5})}^{2} + {(q + \frac{8}{5})}^{2} = 7

よって Q は $x y$ 平面上の中心 $(- \frac{6}{5}, - \frac{8}{5})$ ，半径 $\sqrt{7}$ の円周上を動く。

逆に，この円周上の点 $(p, q)$ から (2) で作る点 P は球面上にあり，上の式を逆にたどると $α$ 上にもある。P の $z$ 座標は 1 より小さい（N ではない）ので，(1) で写すと $(p, q, 0)$ にもどる。よって Q は円周の全体を動く。

答え

(p + \frac{6}{5})^{2} + (q + \frac{8}{5})^{2} = 7

第6問　正五角形を回して重ねた十角形の周は、36° のとき一番短い 2√5

答えは東北大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

正五角形の内角は $108^{\circ}$ ，外角は $72^{\circ}$ 。

(1)

対角線の長さを $d$ とする。正五角形 ABCDE の 4 頂点 A, B, C, D は 1 つの円（外接円）の上にあるので，トレミーの定理から

A C \cdot B D = A B \cdot C D + A D \cdot B C, d^{2} = 1 + d

$d > 0$ なので $d = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ 。（余弦定理 $d^{2} = 2 - 2 \cos 108^{\circ}$ からも同じ値になる。）

答え

\frac{1 + \sqrt{5}}{2}

(2)

共通部分は， $P$ の 5 つの角から合同な三角形を切り取った十角形。切り取る三角形の角は，頂点で $108^{\circ}$ ，残りは $P_{θ}$ の辺と $P$ の 2 辺のなす角で $θ$ と $72^{\circ} - θ$ 。正弦定理から，3 辺は $k \sin θ$ ， $k \sin (72^{\circ} - θ)$ ， $c = k \sin 72^{\circ}$ 。

$P_{θ}$ の 1 辺（長さ 1）は， $P$ の中にある部分 $c$ と，はみ出した 2 つの小さい三角形（ $P_{θ}$ の角が $P$ に切られたもの。形は同じ）の辺 $k \sin θ$ ， $k \sin (72^{\circ} - θ)$ に分かれるので

k {\sin θ + \sin (72^{\circ} - θ) + \sin 72^{\circ}} = 1

共通部分の周は， $P$ の辺のうち残る部分 $5 (1 - k \sin θ - k \sin (72^{\circ} - θ)) = 5 c$ と， $P_{θ}$ の辺のうち $P$ の中の部分 $5 c$ の和で $ℓ_{θ} = 10 c$ 。

$\sin θ + \sin (72^{\circ} - θ) = 2 \sin 36^{\circ} \cos (θ - 36^{\circ})$ は $θ = 36^{\circ}$ で最大 $2 \sin 36^{\circ}$ 。このとき

c = \frac{\sin 72^{\circ}}{2 \sin 36^{\circ} + \sin 72^{\circ}} = \frac{\cos 36^{\circ}}{1 + \cos 36^{\circ}}, \cos 36^{\circ} = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}

c = \frac{1 + \sqrt{5}}{5 + \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}, ℓ_{θ} ≧ 10 c = 2 \sqrt{5}

等号は $θ = 36^{\circ}$ 。よって最小値は $2 \sqrt{5}$ 。

答え

ℓ_{θ} = \frac{10 \sin 72^{\circ}}{\sin θ + \sin (72^{\circ} - θ) + \sin 72^{\circ}} ≧ 2 \sqrt{5}

東北大過去問 2025年数学｜AI解答・解説・シミュレーション｜アトリエファクトリー

このページの出典

問題・出題意図（東北大学の公表資料）

東北大学の利用の条件について

解答とシミュレーション（AIで作成）

制作

お知らせ

第1問　＋1 が 3/4、−2 が 1/4。原点にもどれるのは 3 の倍数回だけ

問題の読み方

(1)

(2)

(3)

第2問　log をとると 1 次の連立漸化式。a＋2b は 7 倍ずつ、a−b は 4 倍ずつ

問題の読み方

(1)

(2)

第3問　4 次関数が極大をもつのは、f′ ＝ 0 が 3 つの解をもつとき

問題の読み方

(1)

(2)

第4問　n log x と xⁿ/e は x ＝ e^{1/n} で接する。囲む面積は n が大きいと 0 へ

問題の読み方

(1)

(2)

(3)

第5問　北極を通らない球面上の円は、北極から床へ写しても円

問題の読み方

(1)

(2)

(3)

第6問　正五角形を回して重ねた十角形の周は、36° のとき一番短い 2√5

問題の読み方

(1)

(2)

東北大 過去問 2025年 数学｜AI解答・解説・シミュレーション｜アトリエファクトリー

第1問 ＋1 が 3/4、−2 が 1/4。原点にもどれるのは 3 の倍数回だけ

問題の読み方

(1)

(2)

(3)

第2問 log をとると 1 次の連立漸化式。a＋2b は 7 倍ずつ、a−b は 4 倍ずつ

問題の読み方

(1)

(2)

第3問 4 次関数が極大をもつのは、f′ ＝ 0 が 3 つの解をもつとき

問題の読み方

(1)

(2)

第4問 n log x と xⁿ/e は x ＝ e^{1/n} で接する。囲む面積は n が大きいと 0 へ

問題の読み方

(1)

(2)

(3)

第5問 北極を通らない球面上の円は、北極から床へ写しても円

問題の読み方

(1)

(2)

(3)

第6問 正五角形を回して重ねた十角形の周は、36° のとき一番短い 2√5

問題の読み方

(1)

(2)

東北大過去問 2025年数学｜AI解答・解説・シミュレーション｜アトリエファクトリー

第1問　＋1 が 3/4、−2 が 1/4。原点にもどれるのは 3 の倍数回だけ

第2問　log をとると 1 次の連立漸化式。a＋2b は 7 倍ずつ、a−b は 4 倍ずつ

第3問　4 次関数が極大をもつのは、f′ ＝ 0 が 3 つの解をもつとき

第4問　n log x と xⁿ/e は x ＝ e^{1/n} で接する。囲む面積は n が大きいと 0 へ

第5問　北極を通らない球面上の円は、北極から床へ写しても円

第6問　正五角形を回して重ねた十角形の周は、36° のとき一番短い 2√5