九大過去問 2025年数学｜AI解答・解説・シミュレーション

九大過去問 2025年数学｜AI解答・解説・シミュレーション｜アトリエファクトリー

第1問

（配点 50 点）

座標空間内の 3 点 $A (1, 1, - 5)$ ， $B (- 1, - 1, 7)$ ， $C (1, - 1, 3)$ を通る平面を $α$ とする。点 $P (a, b, t)$ を通り $α$ に垂直な直線と $x y$ 平面との交点を Q とする。

(1)　点 Q の座標を求めよ。

(2)　 $t$ がすべての実数値をとって変化するときの OQ の最小値が 1 以下となるような $a$ ， $b$ の条件を求めよ。ただし，O は原点である。

第2問

（配点 50 点）

以下の問いに答えよ。

(1)　 $y = \tan x$ とするとき， $\frac{d y}{d x}$ を $y$ の整式で表せ。

(2)　次の定積分を求めよ。

\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\tan^{4} x - \tan^{2} x - 2}{\tan^{2} x - 4} d x

第3問

（配点 50 点）

以下の問いに答えよ。

(1)　 $n$ を整数とするとき， $n^{2}$ を 8 で割った余りは 0，1，4 のいずれかであることを示せ。

(2)　 $2^{m} = n^{2} + 3$ をみたす 0 以上の整数の組 $(m, n)$ をすべて求めよ。

第4問

（配点 50 点）

半径 1 の円周上に反時計回りに点 A，B，C，D を順にとり，線分 AD は直径で， $A C = C D$ ， $A B = B C$ が成り立つとする。

(1)　 $∠ A C B$ を求めよ。

(2)　BC を求めよ。

(3)　線分 AC と線分 BD の交点を E とするとき，三角形 BCE の面積を求めよ。

第5問

（配点 50 点）

1 個のさいころを 3 回続けて投げ，出る目を順に $a$ ， $b$ ， $c$ とする。整式

f (x) = (x^{2} - a x + b) (x - c)

について，以下の問いに答えよ。

(1)　 $f (x) = 0$ をみたす実数 $x$ の個数が 1 個である確率を求めよ。

(2)　 $f (x) = 0$ をみたす自然数 $x$ の個数が 3 個である確率を求めよ。

第1問　t を動かすと Q は xy 平面の直線をえがく。OQ の最小は原点からその直線までの距離

九大の解答例との答え合わせ　九大はこの問題の解答例を出していない（出題の意図だけを公表している）

答えは九大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

$\vec{A B} = (- 2, - 2, 12)$ ， $\vec{A C} = (0, - 2, 8)$ 。両方に垂直な $\vec{n} = (2, 4, 1)$ が α の法線。

(1)

$\vec{n} \cdot \vec{A B} = - 4 - 8 + 12 = 0$ ， $\vec{n} \cdot \vec{A C} = 0 - 8 + 8 = 0$ 。P を通り α に垂直な直線は $(a + 2 s, b + 4 s, t + s)$ 。 $z = 0$ となるのは $s = - t$ なので $Q (a - 2 t, b - 4 t, 0)$ 。

答え

Q (a - 2 t

b - 4 t

0)

(2)

${O Q}^{2} = (a - 2 t)^{2} + (b - 4 t)^{2} = 20 t^{2} - 4 (a + 2 b) t + a^{2} + b^{2} = 20 {(t - \frac{a + 2 b}{10})}^{2} + \frac{(2 a - b)^{2}}{5}$ 。最小値は $\frac{| 2 a - b |}{\sqrt{5}}$ 。これが 1 以下なので $- \sqrt{5} ≦ 2 a - b ≦ \sqrt{5}$ 。

答え

- \sqrt{5} ≦ 2 a - b ≦ \sqrt{5}

第2問　tan の 4 次の分数式も、y ＝ tan x と置けば 1 + 2/(y² − 4) の積分になる

九大の解答例との答え合わせ　九大はこの問題の解答例を出していない（出題の意図だけを公表している）

答えは九大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

$y = \tan x$ なら $d x = \frac{d y}{1 + y^{2}}$ 。分子は $y^{4} - y^{2} - 2 = (y^{2} - 2) (y^{2} + 1)$ と因数分解できる。

(1)

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} x} = 1 + \tan^{2} x = 1 + y^{2}$ 。

答え

\frac{d y}{d x} = 1 + y^{2}

(2)

$x : 0 \to \frac{π}{4}$ で $y : 0 \to 1$ 。与式 $= \int_{0}^{1} \frac{(y^{2} - 2) (y^{2} + 1)}{y^{2} - 4} \cdot \frac{d y}{1 + y^{2}} = \int_{0}^{1} (1 + \frac{2}{y^{2} - 4}) d y = \int_{0}^{1} {1 + \frac{1}{2} (\frac{1}{y - 2} - \frac{1}{y + 2})} d y$ $= 1 + \frac{1}{2} [\log | y - 2 | - \log | y + 2 |]_{0}^{1} = 1 + \frac{1}{2} (- \log 3) = 1 - \frac{1}{2} \log 3$ 。

答え

1 - \frac{1}{2} \log 3

第3問　2 の 3 乗以上は 8 の倍数。だから n² ＝ 2^m − 3 は「8 で割って 5 余る平方数」になり、ありえない

九大の解答例との答え合わせ　九大はこの問題の解答例を出していない（出題の意図だけを公表している）

答えは九大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

$n = 8 k + j$ （ $j = 0, 1, \dots, 7$ ）とおくと $n^{2} = 8 (8 k^{2} + 2 j k) + j^{2}$ 。余りは $j^{2}$ を 8 で割った余りと同じ。

(1)

$j^{2} = 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49$ を 8 で割った余りは $0, 1, 4, 1, 0, 1, 4, 1$ 。よって $n^{2}$ を 8 で割った余りは 0, 1, 4 のいずれか。

答え0, 1, 4 のいずれか

(2)

$m ≧ 3$ なら $2^{m}$ は 8 の倍数なので， $n^{2} = 2^{m} - 3$ を 8 で割った余りは 5。(1) に反する。 $m = 0, 1$ では $2^{m} ≦ 2 < 3 ≦ n^{2} + 3$ で解なし。 $m = 2$ では $n^{2} = 1$ で $n = 1$ （ $n ≧ 0$ ）。よって $(m, n) = (2, 1)$ だけ。

答え

(m

n) = (2

1)

第4問　半円の弧を 45° ずつに分ける。円周角は中心角の半分なので ∠ACB ＝ 22.5°

九大の解答例との答え合わせ　九大はこの問題の解答例を出していない（出題の意図だけを公表している）

答えは九大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

AD は直径なので弧 AD（B, C の側）の中心角は 180°。等しい弦に対する弧は等しいので，弧 AC ＝弧 CD ＝ 90°，弧 AB ＝弧 BC ＝ 45°。

(1)

∠ACB は弧 AB（中心角 $\frac{π}{4}$ ）に対する円周角なので $\frac{π}{8}$ 。

答え

∠ A C B = \frac{π}{8}

(2)

弧 BC の中心角は $\frac{π}{4}$ 。 ${B C}^{2} = 1^{2} + 1^{2} - 2 \cos \frac{π}{4} = 2 - \sqrt{2}$ 。

答え

B C = \sqrt{2 - \sqrt{2}}

(3)

中心を原点に， $A (- 1, 0)$ ， $B (- \frac{1}{\sqrt{2}}, - \frac{1}{\sqrt{2}})$ ， $C (0, - 1)$ ， $D (1, 0)$ とおく。AC は $x + y = - 1$ 。BD 上の点 $B + s (D - B)$ がこれをみたすのは $s = 3 - 2 \sqrt{2}$ で， $E (1 - \sqrt{2}, \sqrt{2} - 2)$ 。 $△ B C E = \frac{1}{2} | \vec{B C} \times \vec{B E} | = \frac{3 - 2 \sqrt{2}}{2}$ 。

答え

\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{2}

第5問　3 次式の実数解が 1 個になるのは、2 次式に実数解がないときと、重解が c と重なるとき

九大の解答例との答え合わせ　九大はこの問題の解答例を出していない（出題の意図だけを公表している）

答えは九大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

解の「個数」は異なる値の数。 $x = c$ はいつも解。2 次式 $x^{2} - a x + b$ の判別式は $D = a^{2} - 4 b$ 。

(1)

実数解が 1 個になるのは，① $D < 0$ （2 次式に実数解がない）か，② $D = 0$ で重解 $\frac{a}{2}$ が $c$ と等しいとき。① は $a = 1$ で 6 組， $a = 2$ で 5 組， $a = 3$ で 4 組， $a = 4$ で 2 組の 17 組， $c$ は 6 通りで 102 通り。② は $(a, b, c) = (2, 1, 1), (4, 4, 2)$ の 2 通り。 $\frac{104}{216} = \frac{13}{27}$ 。

答え

\frac{13}{27}

(2)

自然数解が 3 個には，2 次式が異なる 2 つの自然数解 $p < q$ をもち， $c$ がどちらとも違うことが必要。 $p + q = a ≦ 6$ ， $p q = b ≦ 6$ から $(p, q) = (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3)$ の 5 組。 $c$ は 4 通りで 20 通り。 $\frac{20}{216} = \frac{5}{54}$ 。

答え

\frac{5}{54}

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このページの出典

問題・解答例・出題意図（九州大学の公表資料）

九州大学の利用の条件について

解答とシミュレーション（AIで作成）

制作

お知らせ

第1問　t を動かすと Q は xy 平面の直線をえがく。OQ の最小は原点からその直線までの距離

問題の読み方

(1)

(2)

第2問　tan の 4 次の分数式も、y ＝ tan x と置けば 1 + 2/(y² − 4) の積分になる

問題の読み方

(1)

(2)

第3問　2 の 3 乗以上は 8 の倍数。だから n² ＝ 2^m − 3 は「8 で割って 5 余る平方数」になり、ありえない

問題の読み方

(1)

(2)

第4問　半円の弧を 45° ずつに分ける。円周角は中心角の半分なので ∠ACB ＝ 22.5°

問題の読み方

(1)

(2)

(3)

第5問　3 次式の実数解が 1 個になるのは、2 次式に実数解がないときと、重解が c と重なるとき

問題の読み方

(1)

(2)

九大 過去問 2025年 数学｜AI解答・解説・シミュレーション｜アトリエファクトリー

第1問 t を動かすと Q は xy 平面の直線をえがく。OQ の最小は原点からその直線までの距離

問題の読み方

(1)

(2)

第2問 tan の 4 次の分数式も、y ＝ tan x と置けば 1 + 2/(y² − 4) の積分になる

問題の読み方

(1)

(2)

第3問 2 の 3 乗以上は 8 の倍数。だから n² ＝ 2^m − 3 は「8 で割って 5 余る平方数」になり、ありえない

問題の読み方

(1)

(2)

第4問 半円の弧を 45° ずつに分ける。円周角は中心角の半分なので ∠ACB ＝ 22.5°

問題の読み方

(1)

(2)

(3)

第5問 3 次式の実数解が 1 個になるのは、2 次式に実数解がないときと、重解が c と重なるとき

問題の読み方

(1)

(2)

九大過去問 2025年数学｜AI解答・解説・シミュレーション｜アトリエファクトリー

第1問　t を動かすと Q は xy 平面の直線をえがく。OQ の最小は原点からその直線までの距離

第2問　tan の 4 次の分数式も、y ＝ tan x と置けば 1 + 2/(y² − 4) の積分になる

第3問　2 の 3 乗以上は 8 の倍数。だから n² ＝ 2^m − 3 は「8 で割って 5 余る平方数」になり、ありえない

第4問　半円の弧を 45° ずつに分ける。円周角は中心角の半分なので ∠ACB ＝ 22.5°

第5問　3 次式の実数解が 1 個になるのは、2 次式に実数解がないときと、重解が c と重なるとき