名大過去問 2022年数学｜AI解答・解説・シミュレーション

名大過去問 2022年数学｜AI解答・解説・シミュレーション｜アトリエファクトリー

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第1問

$a, b$ を実数とする。

(1)　整式 $x^{3}$ を 2 次式 $(x - a)^{2}$ で割ったときの余りを求めよ。

(2)　実数を係数とする 2 次式 $f (x) = x^{2} + α x + β$ で整式 $x^{3}$ を割ったときの余りが $3 x + b$ とする。 $b$ の値に応じて，このような $f (x)$ が何個あるかを求めよ。

第2問

1 つのサイコロを 3 回投げる。1 回目に出る目を $a$ ，2 回目に出る目を $b$ ，3 回目に出る目を $c$ とする。なおサイコロは 1 から 6 までの目が等しい確率で出るものとする。

(1)　 $a b + 2 c ≧ a b c$ となる確率を求めよ。

(2)　 $a b + 2 c$ と $2 a b c$ が互いに素となる確率を求めよ。

第3問

複素数平面上に，原点 $O$ を頂点の 1 つとする正六角形 $O A B C D E$ が与えられている。ただしその頂点は時計の針の進む方向と逆向きに $O, A, B, C, D, E$ とする。互いに異なる 0 でない複素数 $α, β, γ$ が，

0 ≦ \arg (\frac{β}{α}) ≦ π, 4 α^{2} - 2 α β + β^{2} = 0, 2 γ^{2} - (3 α + β + 2) γ + (α + 1) (α + β) = 0

を満たし， $α, β, γ$ のそれぞれが正六角形 $O A B C D E$ の頂点のいずれかであるとする。

(1)　 $\frac{β}{α}$ を求め， $α$ ， $β$ がそれぞれどの頂点か答えよ。

(2)　組 $(α, β, γ)$ をすべて求め，それぞれの組について正六角形 $O A B C D E$ を複素数平面上に図示せよ。

第4問

関数 $f (x)$ は区間 $x ≧ 0$ において連続な増加関数で $f (0) = 1$ を満たすとする。ただし $f (x)$ が区間 $x ≧ 0$ における増加関数であるとは，区間内の任意の実数 $x_{1}, x_{2}$ に対し $x_{1} < x_{2}$ ならば $f (x_{1}) < f (x_{2})$ が成り立つときをいう。以下， $n$ は正の整数とする。

(1)　 ${lim}_{n \to \infty} \int_{0}^{2 - \frac{1}{n}} \frac{f (x)}{2 - x} d x = \infty$ を示せ。

(2)　区間 $y > 2$ において関数 $F_{n} (y)$ を $F_{n} (y) = \int_{2 + \frac{1}{n}}^{y} \frac{f (x)}{x - 2} d x$ と定めるとき， ${lim}_{y \to \infty} F_{n} (y) = \infty$ を示せ。また $2 + \frac{1}{n}$ より大きい実数 $a_{n}$ で

\int_{0}^{2 - \frac{1}{n}} \frac{f (x)}{2 - x} d x + \int_{2 + \frac{1}{n}}^{a_{n}} \frac{f (x)}{2 - x} d x = 0

を満たすものがただ 1 つ存在することを示せ。

(3)　(2) の $a_{n}$ について，不等式 $a_{n} < 4$ がすべての $n$ に対して成り立つことを示せ。

第1問　x³ を x²＋αx＋β で割った余りが 3x＋b になる α の数は、b ＝ α³ − 3α の解の数

答えは名大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

余りは 1 次以下の式。

(1)

$x^{3} = (x - a)^{2} Q (x) + p x + q$ に $x = a$ を入れ，両辺を微分して $x = a$ を入れると $a^{3} = p a + q$ ， $3 a^{2} = p$ 。 $q = - 2 a^{3}$ 。

答え

3 a^{2} x - 2 a^{3}

(2)

$x^{3} = (x - α) (x^{2} + α x + β) + (α^{2} - β) x + α β$ 。余りが $3 x + b$ なので $β = α^{2} - 3$ ， $α (α^{2} - 3) = b$ 。 $g (α) = α^{3} - 3 α$ は $α = - 1$ で極大 2， $α = 1$ で極小 $- 2$ 。 $α$ が決まると $f$ が 1 つ決まるので， $g (α) = b$ の実数解の個数が答え。グラフ $y = g (α)$ と横線 $y = b$ の交わる数を見て， $| b | > 2$ で 1 個， $| b | = 2$ で 2 個（極大・極小で接する）， $| b | < 2$ で 3 個。

答え

| b | > 2

で 1 個,　

| b | = 2

で 2 個,　

| b | < 2

で 3 個

第2問　ab＋2c ≧ abc は 29/108、ab＋2c と 2abc が互いに素は 13/72

答えは名大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

全部で $6^{3} = 216$ 通り。

(1)

$a b (c - 1) ≦ 2 c$ 。 $c = 1$ はつねに成り立つ（36 通り）。 $c ≧ 2$ では $a b ≦ \frac{2 c}{c - 1}$ ： $c = 2$ で $a b ≦ 4$ （8 通り）， $c = 3$ で $a b ≦ 3$ （5 通り）， $c = 4, 5, 6$ で $a b ≦ 2$ （3 通りずつ）。合わせて 58 通り。

答え

\frac{29}{108}

(2)

互いに素なら $a b + 2 c$ は奇数，つまり $a, b$ とも奇数。さらに $a b + 2 c$ と $a$ ， $b$ ， $c$ が互いに素： $a, b$ と互いに素 ⇔ $2 c$ と互いに素 ⇔ $c$ と互いに素， $c$ と互いに素 ⇔ $a b$ と互いに素。 $a, b \in {1, 3, 5}$ と $c$ を調べて 39 通り。

答え

\frac{13}{72}

第3問　4α²−2αβ+β² ＝ 0 から β/α ＝ 1＋√3 i：α ＝ A、β ＝ C

答えは名大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

1 辺の向きを $s$ とすると頂点は $A = s$ ， $B = s (\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i)$ ， $C = s (1 + \sqrt{3} i)$ ， $D = \sqrt{3} s i$ ， $E = s (- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i)$ 。

(1)

${(\frac{β}{α})}^{2} - 2 \frac{β}{α} + 4 = 0$ から $\frac{β}{α} = 1 \pm \sqrt{3} i$ ，偏角の条件から $1 + \sqrt{3} i = 2 (\cos \frac{π}{3} + i \sin \frac{π}{3})$ 。頂点の大きさは $| s |$ の $1, \sqrt{3}, 2, \sqrt{3}, 1$ 倍で，比が 2 で偏角の差が $\frac{π}{3}$ なのは A と C だけ。

答え

\frac{β}{α} = 1 + \sqrt{3} i

α = A

β = C

(2)

方程式は $(2 γ - (α + β)) (γ - (α + 1)) = 0$ 。 $γ = \frac{α + β}{2} = s (1 + \frac{\sqrt{3}}{2} i)$ は大きさが $\frac{\sqrt{7}}{2} | s |$ で頂点にならない。 $γ = α + 1 = s + 1$ が B・D・E のどれかになる $s$ を出す：B なら $s = \frac{1}{B / s - 1} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i$ ，D なら $s = - \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4} i$ ，E なら $s = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{6} i$ 。

答え

(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i, 2, \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i)

(- \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4} i, \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i, \frac{3}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4} i)

(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{6} i, - \frac{2 \sqrt{3}}{3} i, \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{6} i)

第4問　x ＝ 2 をはさむ積分がつりあう a_n は、いつも 4 より手前

答えは名大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

$f$ は増加で $f (0) = 1$ なので， $x ≧ 0$ で $f (x) ≧ 1$ 。

(1)

$\int_{0}^{2 - \frac{1}{n}} \frac{f (x)}{2 - x} d x ≧ \int_{0}^{2 - \frac{1}{n}} \frac{d x}{2 - x} = \log 2 n \to \infty$ 。

答え証明

(2)

$y > 2 + \frac{1}{n}$ で $F_{n} (y) ≧ f (2) \log (n (y - 2)) \to \infty$ 。 $G (y) = \int_{0}^{2 - \frac{1}{n}} \frac{f}{2 - x} d x - F_{n} (y)$ は連続で減り続け（ $F_{n}$ の中身が正）， $G (2 + \frac{1}{n}) > 0$ ， $y \to \infty$ で $- \infty$ 。中間値の定理から $G (a_{n}) = 0$ の $a_{n}$ がただ 1 つ。

答え証明

(3)

$F_{n} (4)$ で $x = 4 - u$ とおくと $F_{n} (4) = \int_{0}^{2 - \frac{1}{n}} \frac{f (4 - u)}{2 - u} d u$ 。 $u < 2$ で $4 - u > u$ なので $f (4 - u) > f (u)$ ， $F_{n} (4) > \int_{0}^{2 - \frac{1}{n}} \frac{f (u)}{2 - u} d u$ 。よって $G (4) < 0$ ， $a_{n} < 4$ 。

答え

a_{n} < 4

名大過去問 2022年数学｜AI解答・解説・シミュレーション｜アトリエファクトリー

このページの出典

問題・出題の意図と正解（名古屋大学の公表資料）

名古屋大学の利用の条件について

解答とシミュレーション（AIで作成）

制作

お知らせ

第1問　x³ を x²＋αx＋β で割った余りが 3x＋b になる α の数は、b ＝ α³ − 3α の解の数

問題の読み方

(1)

(2)

第2問　ab＋2c ≧ abc は 29/108、ab＋2c と 2abc が互いに素は 13/72

問題の読み方

(1)

(2)

第3問　4α²−2αβ+β² ＝ 0 から β/α ＝ 1＋√3 i：α ＝ A、β ＝ C

問題の読み方

(1)

(2)

第4問　x ＝ 2 をはさむ積分がつりあう a_n は、いつも 4 より手前

問題の読み方

(1)

(2)

(3)

名大 過去問 2022年 数学｜AI解答・解説・シミュレーション｜アトリエファクトリー

第1問 x³ を x²＋αx＋β で割った余りが 3x＋b になる α の数は、b ＝ α³ − 3α の解の数

問題の読み方

(1)

(2)

第2問 ab＋2c ≧ abc は 29/108、ab＋2c と 2abc が互いに素は 13/72

問題の読み方

(1)

(2)

第3問 4α²−2αβ+β² ＝ 0 から β/α ＝ 1＋√3 i：α ＝ A、β ＝ C

問題の読み方

(1)

(2)

第4問 x ＝ 2 をはさむ積分がつりあう a_n は、いつも 4 より手前

問題の読み方

(1)

(2)

(3)

名大過去問 2022年数学｜AI解答・解説・シミュレーション｜アトリエファクトリー

第1問　x³ を x²＋αx＋β で割った余りが 3x＋b になる α の数は、b ＝ α³ − 3α の解の数

第2問　ab＋2c ≧ abc は 29/108、ab＋2c と 2abc が互いに素は 13/72

第3問　4α²−2αβ+β² ＝ 0 から β/α ＝ 1＋√3 i：α ＝ A、β ＝ C

第4問　x ＝ 2 をはさむ積分がつりあう a_n は、いつも 4 より手前