名大過去問 2023年数学｜AI解答・解説・シミュレーション

名大過去問 2023年数学｜AI解答・解説・シミュレーション｜アトリエファクトリー

— 3 —

第1問

実数係数の 4 次方程式 $x^{4} - p x^{3} + q x^{2} - r x + s = 0$ は相異なる複素数 $α, \overset{―}{α}, β, \overset{―}{β}$ を解に持ち，それらは全て複素数平面において，点 1 を中心とする半径 1 の円周上にあるとする。ただし， $\overset{―}{α}$ ， $\overset{―}{β}$ はそれぞれ $α$ ， $β$ と共役な複素数を表す。

(1)　 $α + \overset{―}{α} = α \overset{―}{α}$ を示せ。

(2)　 $t = α + \overset{―}{α}$ ， $u = β + \overset{―}{β}$ とおく。 $p, q, r, s$ をそれぞれ $t$ と $u$ で表せ。

(3)　座標平面において，点 $(p, s)$ のとりうる範囲を図示せよ。

第2問

$0 < b < a$ とする。 $x y$ 平面において，原点を中心とする半径 $r$ の円 $C$ と点 $(a, 0)$ を中心とする半径 $b$ の円 $D$ が 2 点で交わっている。

(1)　半径 $r$ の満たすべき条件を求めよ。

(2)　 $C$ と $D$ の交点のうち $y$ 座標が正のものを $P$ とする。 $P$ の $x$ 座標 $h (r)$ を求めよ。

(3)　点 $Q (r, 0)$ と点 $R (a - b, 0)$ をとる。 $D$ の内部にある $C$ の弧 $P Q$ ，線分 $Q R$ ，および線分 $R P$ で囲まれる図形を $A$ とする。 $x y z$ 空間において $A$ を $x$ 軸の周りに 1 回転して得られる立体の体積 $V (r)$ を求めよ。ただし，答えに $h (r)$ を用いてもよい。

(4)　 $V (r)$ の最大値を与える $r$ を求めよ。また，その $r$ を $r (a)$ とおいたとき， ${lim}_{a \to \infty} (r (a) - a)$ を求めよ。

第3問

(1)　方程式 $e^{x} = \frac{2 x^{3}}{x - 1}$ の負の実数解の個数を求めよ。

(2)　 $y = x (x^{2} - 3)$ と $y = e^{x}$ のグラフの $x < 0$ における共有点の個数を求めよ。

(3)　 $a$ を正の実数とし，関数 $f (x) = x (x^{2} - a)$ を考える。 $y = f (x)$ と $y = e^{x}$ のグラフの $x < 0$ における共有点は 1 個のみであるとする。このような $a$ がただ 1 つ存在することを示せ。

第4問

$n$ を正の整数とし， $n$ 次の整式 $P_{n} (x) = x (x + 1) \dots (x + n - 1)$ を展開して $P_{n} (x) = \sum_{m = 1}^{n}_{n} B_{m} x^{m}$ と表す。

(1)　等式 $\sum_{m = 1}^{n}_{n} B_{m} = n!$ を示せ。

(2)　等式

P_{n} (x + 1) = \sum_{m = 1}^{n} (_{n} B_{m} \cdot_{m} C_{0} +_{n} B_{m} \cdot_{m} C_{1} x + \dots +_{n} B_{m} \cdot_{m} C_{m} x^{m})

を示せ。ただし， $_{m} C_{0},_{m} C_{1}, \dots,_{m} C_{m}$ は二項係数である。

(3)　 $k = 1, 2, \dots, n$ に対して，等式 $\sum_{j = k}^{n}_{n} B_{j} \cdot_{j} C_{k} =_{n + 1} B_{k + 1}$ を示せ。

第1問　解が円 |z−1| ＝ 1 の上なら α＋ᾱ ＝ αᾱ。(p, s) は 3 本の線でかこまれた所

答えは名大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

円 $| z - 1 | = 1$ の上の点は $z = 1 + \cos θ + i \sin θ$ と書ける。

(1)

$| α - 1 | = 1$ から $(α - 1) (\overset{―}{α} - 1) = 1$ 。展開して $α \overset{―}{α} - α - \overset{―}{α} = 0$ 。

答え証明

(2)

(1) から $α, \overset{―}{α}$ は $x^{2} - t x + t = 0$ の解， $β, \overset{―}{β}$ は $x^{2} - u x + u = 0$ の解。 $(x^{2} - t x + t) (x^{2} - u x + u)$ を展開してくらべる。

答え

p = t + u

q = t + u + t u

r = 2 t u

s = t u

(3)

$α$ は虚数なので $t = 2 + 2 \cos θ$ は $0 < t < 4$ ，同じく $0 < u < 4$ 。4 つが相異なるので $t \neq u$ 。 $t, u$ は $X^{2} - p X + s = 0$ の相異なる 2 解で，ともに $0$ と $4$ の間：判別式 $p^{2} - 4 s > 0$ ， $s > 0$ ， $16 - 4 p + s > 0$ ， $0 < \frac{p}{2} < 4$ 。境界は含まない。

答え

0 < p < 8

s > 0

s < \frac{p^{2}}{4}

s > 4 p - 16

第2問　回した体積が一番大きい r は (3a²+2ab+b²)/(3a+b)。a が大きいと a ＋ b/3

答えは名大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

$Q (r, 0)$ ， $R (a - b, 0)$ 。図形 A は R から P の線分・P から Q の弧・x 軸でかこまれる。

(1)

中心間の距離 $a$ が $| r - b | < a < r + b$ 。 $0 < b < a$ より $a - b < r < a + b$ 。

答え

a - b < r < a + b

(2)

$x^{2} + y^{2} = r^{2}$ と $(x - a)^{2} + y^{2} = b^{2}$ を引いて $2 a x = a^{2} + r^{2} - b^{2}$ 。

答え

h (r) = \frac{a^{2} + r^{2} - b^{2}}{2 a}

(3)

$a - b ≦ x ≦ h$ は線分 RP を回した円すい（底面の半径 $\sqrt{r^{2} - h^{2}}$ ，高さ $h - (a - b)$ ）， $h ≦ x ≦ r$ は球の一部 $π \int_{h}^{r} (r^{2} - x^{2}) d x$ 。

答え

V = π {\frac{(r^{2} - h^{2}) (h - a + b)}{3} + \frac{2}{3} r^{3} - r^{2} h + \frac{h^{3}}{3}}

(4)

$h^{'} = \frac{r}{a}$ を使って微分し整理すると $V^{'} (r) = - \frac{π r (r - a + b) {(3 a + b) r - (3 a^{2} + 2 a b + b^{2})}}{3 a^{2}}$ 。 $r > a - b$ で符号が変わるのは $r = \frac{3 a^{2} + 2 a b + b^{2}}{3 a + b}$ だけ。その前では ${}$ の中が負なので $V^{'} > 0$ ，後では $V^{'} < 0$ なので，そこで最大。 $r (a) - a = \frac{b (a + b)}{3 a + b} \to \frac{b}{3}$ 。

答え

r = \frac{3 a^{2} + 2 a b + b^{2}}{3 a + b}

{lim}_{a \to \infty} (r (a) - a) = \frac{b}{3}

第3問　y ＝ x³ − ax が e^x に接するのは、e^x(x−1) ＝ 2x³ の負の解ただ 1 つのとき

答えは名大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

$y = x^{3} - a x$ と $y = e^{x}$ が接する条件： $x^{3} - a x = e^{x}$ かつ $3 x^{2} - a = e^{x}$ 。 $a$ を消すと $e^{x} (x - 1) = 2 x^{3}$ 。

(1)

$φ (x) = 2 x^{3} - e^{x} (x - 1)$ とすると $φ^{'} (x) = x (6 x - e^{x})$ 。 $x < 0$ で $6 x - e^{x} < 0$ なので $φ^{'} > 0$ ， $φ$ は増加。 $φ (- 1) < 0$ ， $φ (0) = 1 > 0$ なので，負の解はちょうど 1 つ（ $x_{0} ≒ - 0.745$ ）。

答え

1

個

(2)

$h (x) = x^{3} - 3 x - e^{x}$ は $x \to - \infty$ で負， $x = - 1$ で $2 - e^{- 1} > 0$ ， $x \to 0$ で $- 1 < 0$ 。さらに $h^{″} (x) = 6 x - e^{x} < 0$ （ $x < 0$ ）なので $h^{'}$ は減り続け， $h^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 - e^{x}$ は $x \to - \infty$ で正， $x \to 0$ で $- 4 < 0$ 。 $h$ は増えてから減る山の形なので， $x < 0$ でちょうど 2 回 0 になる。

答え

2

個

(3)

共有点の条件を $a = A (x) = x^{2} - \frac{e^{x}}{x}$ （ $x < 0$ ）と書く。 $A^{'} (x) = \frac{2 x^{3} - e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$ の分子は (1) の $φ$ で， $x_{0}$ の前で負・後で正。 $A$ は $x \to - \infty$ でも $x \to 0^{-}$ でも $+ \infty$ になり， $x_{0}$ でただ 1 つの最小値 $a^{*} = A (x_{0}) = 3 x_{0}^{2} - e^{x_{0}}$ をとる（ $e^{x_{0}} = \frac{2 x_{0}^{3}}{x_{0} - 1}$ を使うと $a^{*} = \frac{x_{0}^{2} (x_{0} - 3)}{x_{0} - 1} > 0$ ）。よって $a < a^{*}$ で 0 個， $a = a^{*}$ で 1 個（接する）， $a > a^{*}$ で 2 個で，共有点がちょうど 1 つになる正の $a$ はただ 1 つ。

答え証明（

a = 3 x_{0}^{2} - e^{x_{0}}

）

第4問　x(x+1)…(x+n−1) の係数の和は n!、ずらすと n+1 次の係数が出る

答えは名大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

$P_{n} (x) = x (x + 1) \dots (x + n - 1) = \sum_{m = 1}^{n}_{n} B_{m} x^{m}$ 。

(1)

$x = 1$ を入れると $P_{n} (1) = 1 \cdot 2 \dots n = n!$ ，右辺は係数の和。

答え証明

(2)

$P_{n} (x + 1) = \sum_{n} B_{m} (x + 1)^{m}$ の $(x + 1)^{m}$ を二項定理で展開する。

答え証明

(3)

$P_{n} (x + 1) = (x + 1) (x + 2) \dots (x + n) = \frac{P_{n + 1} (x)}{x} = \sum_{m = 1}^{n + 1}_{n + 1} B_{m} x^{m - 1}$ 。(2) の右辺の $x^{k}$ の係数 $\sum_{j = k}^{n}_{n} B_{j}_{j} C_{k}$ と，この $x^{k}$ の係数 $_{n + 1} B_{k + 1}$ をくらべる。

答え証明

名大過去問 2023年数学｜AI解答・解説・シミュレーション｜アトリエファクトリー

このページの出典

問題・出題の意図と正解（名古屋大学の公表資料）

名古屋大学の利用の条件について

解答とシミュレーション（AIで作成）

制作

お知らせ

第1問　解が円 |z−1| ＝ 1 の上なら α＋ᾱ ＝ αᾱ。(p, s) は 3 本の線でかこまれた所

問題の読み方

(1)

(2)

(3)

第2問　回した体積が一番大きい r は (3a²+2ab+b²)/(3a+b)。a が大きいと a ＋ b/3

問題の読み方

(1)

(2)

(3)

(4)

第3問　y ＝ x³ − ax が e^x に接するのは、e^x(x−1) ＝ 2x³ の負の解ただ 1 つのとき

問題の読み方

(1)

(2)

(3)

第4問　x(x+1)…(x+n−1) の係数の和は n!、ずらすと n+1 次の係数が出る

問題の読み方

(1)

(2)

(3)

名大 過去問 2023年 数学｜AI解答・解説・シミュレーション｜アトリエファクトリー

第1問 解が円 |z−1| ＝ 1 の上なら α＋ᾱ ＝ αᾱ。(p, s) は 3 本の線でかこまれた所

問題の読み方

(1)

(2)

(3)

第2問 回した体積が一番大きい r は (3a²+2ab+b²)/(3a+b)。a が大きいと a ＋ b/3

問題の読み方

(1)

(2)

(3)

(4)

第3問 y ＝ x³ − ax が e^x に接するのは、e^x(x−1) ＝ 2x³ の負の解ただ 1 つのとき

問題の読み方

(1)

(2)

(3)

第4問 x(x+1)…(x+n−1) の係数の和は n!、ずらすと n+1 次の係数が出る

問題の読み方

(1)

(2)

(3)

名大過去問 2023年数学｜AI解答・解説・シミュレーション｜アトリエファクトリー

第1問　解が円 |z−1| ＝ 1 の上なら α＋ᾱ ＝ αᾱ。(p, s) は 3 本の線でかこまれた所

第2問　回した体積が一番大きい r は (3a²+2ab+b²)/(3a+b)。a が大きいと a ＋ b/3

第3問　y ＝ x³ − ax が e^x に接するのは、e^x(x−1) ＝ 2x³ の負の解ただ 1 つのとき

第4問　x(x+1)…(x+n−1) の係数の和は n!、ずらすと n+1 次の係数が出る