名大過去問 2024年数学｜AI解答・解説・シミュレーション

名大過去問 2024年数学｜AI解答・解説・シミュレーション｜アトリエファクトリー

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第1問

関数 $f (x) = \sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt{x}}$ （ $x > 0$ ）に対して， $y = f (x)$ のグラフを $C$ とする。

(1)　 $f (x)$ の極値を求めよ。

(2)　 $x$ 軸上の点 $P (t, 0)$ から $C$ にちょうど 2 本の接線を引くことができるとする。そのような実数 $t$ の値の範囲を求めよ。

(3)　(2) において， $C$ の 2 つの接点の $x$ 座標を $α$ ， $β$ （ $α < β$ ）とする。 $α$ ， $β$ がともに整数であるような組 $(α, β)$ をすべて求めよ。

第2問

$c$ を 1 より大きい実数とする。また， $i$ を虚数単位として， $α = \frac{1 - i}{\sqrt{2}}$ とおく。複素数 $z$ に対して，

P (z) = z^{3} - 3 z^{2} + (c + 2) z - c, Q (z) = - α^{7} z^{3} + 3 α^{6} z^{2} + (c + 2) α z - c

と定める。

(1)　方程式 $P (z) = 0$ を満たす複素数 $z$ をすべて求め，それらを複素数平面上に図示せよ。

(2)　方程式 $Q (z) = 0$ を満たす複素数 $z$ のうち実部が最大のものを求めよ。

(3)　複素数 $z$ についての 2 つの方程式 $P (z) = 0$ ， $Q (z) = 0$ が共通解 $β$ を持つとする。そのときの $c$ の値と $β$ を求めよ。

第3問

座標空間の 3 点 $A (3, 1, 3)$ ， $B (4, 2, 2)$ ， $C (4, 0, 1)$ の定める平面を $H$ とする。また，

\vec{A P} = s \vec{A B} + t \vec{A C} (s, t は非負の実数)

を満たすすべての点 $P$ からなる領域を $K$ とする。

(1)　内積 $\vec{A B} \cdot \vec{A B}$ ， $\vec{A C} \cdot \vec{A C}$ ， $\vec{A B} \cdot \vec{A C}$ を求めよ。

(2)　原点 $O (0, 0, 0)$ から平面 $H$ に下ろした垂線の足を $Q$ とする。 $\vec{A Q}$ を $\vec{A B}$ と $\vec{A C}$ で表せ。

(3)　領域 $K$ 上の点 $P$ に対して，線分 $Q P$ 上の点で $\vec{A R} = r \vec{A C}$ （ $r$ は非負の実数）を満たす点 $R$ が存在することを示せ。

(4)　領域 $K$ において原点 $O$ からの距離が最小となる点 $S$ の座標を求めよ。

第4問

袋の中にいくつかの赤玉と白玉が入っている。すべての玉に対する赤玉の割合を $p$ （ $0 ≦ p ≦ 1$ ）とする。袋から無作為に玉を一つ取り出して袋に戻す試行を行う。試行を $n$ 回行うとき，赤玉を $k$ 回以上取り出す確率を $f (k)$ とおく。

(1)　 $n ≧ 2$ に対して， $f (1)$ と $f (2)$ を求めよ。

(2)　 $k = 1, 2, \dots \dots, n$ に対して，等式

f (k) = \frac{n!}{(k - 1)! (n - k)!} \int_{0}^{p} x^{k - 1} (1 - x)^{n - k} d x

を示せ。

(3)　自然数 $k$ に対して，定積分

I = \int_{0}^{\frac{1}{2}} x^{k} (1 - x)^{k} d x

を求めよ。

第1問　x 軸の t から接線 2 本は t ＜ −18。接点が整数なのは (3,18) と (4,10)

答えは名大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

$f (x) = x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{- \frac{1}{2}}$ ， $f^{'} (x) = \frac{x - 2}{2 x \sqrt{x}}$ 。

(1)

$0 < x < 2$ で減少， $x > 2$ で増加。 $x = 2$ で極小値 $\sqrt{2} + \sqrt{2} = 2 \sqrt{2}$ 。極大値はない。

答え極小値

2 \sqrt{2} (x = 2)

(2)

接点 $s$ の接線が $(t, 0)$ を通る条件 $f (s) + f^{'} (s) (t - s) = 0$ を整理すると $s^{2} + (6 + t) s - 2 t = 0$ 。これが相異なる 2 つの正の解をもつ条件：判別式 $(t + 2) (t + 18) > 0$ ，積 $- 2 t > 0$ ，和 $- (6 + t) > 0$ 。まとめて $t < - 18$ 。

答え

t < - 18

(3)

$α β = - 2 t$ ， $α + β = - (6 + t)$ から $t$ を消して $(α - 2) (β - 2) = 16$ 。 $0 < α < β$ の整数で $(α - 2, β - 2) = (1, 16), (2, 8)$ 。

答え

(α

β) = (3

18)

(4

10)

第2問　Q(z) ＝ P(αz)。根は P の根を 45° 回したもの

答えは名大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

$α = \frac{1 - i}{\sqrt{2}} = \cos (- \frac{π}{4}) + i \sin (- \frac{π}{4})$ ， $α^{4} = - 1$ ， $α^{8} = 1$ 。

(1)

$P (1) = 0$ なので $P (z) = (z - 1) (z^{2} - 2 z + c)$ 。 $c > 1$ なので $z = 1 \pm \sqrt{c - 1} i$ 。

答え

z = 1

1 \pm \sqrt{c - 1} i

(2)

$α^{4} = - 1$ から $- α^{7} = α^{3}$ ， $3 α^{6} = - 3 α^{2}$ なので $Q (z) = P (α z)$ 。根は $z = α^{- 1} w$ （ $w$ は P の根）＝ P の根を $\frac{π}{4}$ 回したもの。実部は $w = 1 - \sqrt{c - 1} i$ のとき最大で， $\frac{1 + i}{\sqrt{2}} (1 - \sqrt{c - 1} i)$ 。

答え

\frac{(1 + \sqrt{c - 1}) + (1 - \sqrt{c - 1}) i}{\sqrt{2}}

(3)

共通解 $β$ は $P (β) = 0$ かつ $Q (β) = P (α β) = 0$ 。つまり $β$ も， $β$ を $- \frac{π}{4}$ 回した $α β$ も P の根。1 は回すと絶対値 1 の虚数になり合わない（ほかの根の絶対値は 1 より大きい）。 $β = 1 + s i$ （偏角 $θ$ ）を $- \frac{π}{4}$ 回して $1 - s i$ （偏角 $- θ$ ）に重なるので $θ - \frac{π}{4} = - θ$ ， $θ = \frac{π}{8}$ ， $s = \tan \frac{π}{8} = \sqrt{2} - 1$ 。 $c = 1 + s^{2} = 4 - 2 \sqrt{2}$ ， $β = 1 + (\sqrt{2} - 1) i$ 。

答え

c = 4 - 2 \sqrt{2}

β = 1 + (\sqrt{2} - 1) i

第3問　原点に一番近い K の点は、AC の半直線の上の (11/3, 1/3, 5/3)

答えは名大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

$\vec{A B} = (1, 1, - 1)$ ， $\vec{A C} = (1, - 1, - 2)$ 。平面 H の点を $A + s \vec{A B} + t \vec{A C}$ と書く。

(1)

成分から計算する。

答え

3

6

2

(2)

$\vec{O Q} = \vec{O A} + x \vec{A B} + y \vec{A C}$ が $\vec{A B}$ ， $\vec{A C}$ と垂直： $1 + 3 x + 2 y = 0$ ， $- 4 + 2 x + 6 y = 0$ 。 $x = - 1$ ， $y = 1$ 。

答え

\vec{A Q} = - \vec{A B} + \vec{A C}

(3)

Q は $(s, t) = (- 1, 1)$ ，P は $(s, t)$ （ $s, t ≧ 0$ ）。線分 QP の点 $(- 1 + λ (s + 1), 1 + λ (t - 1))$ で $λ = \frac{1}{s + 1} \in (0, 1]$ とすると $s$ 座標が 0， $t$ 座標は $\frac{s + t}{s + 1} ≧ 0$ 。これが R（ $r = \frac{s + t}{s + 1}$ ）。

答え証明

(4)

$| O P |^{2} = | O Q |^{2} + | Q P |^{2}$ で，(3) から $| Q R | ≦ | Q P |$ なので最小は AC の半直線の上。 $\vec{Q R} = \vec{A B} + (r - 1) \vec{A C}$ ， $| Q R |^{2} = 6 (r - 1)^{2} + 4 (r - 1) + 3$ は $r = \frac{2}{3}$ で最小。 $S = A + \frac{2}{3} \vec{A C}$ 。

答え

S (\frac{11}{3}, \frac{1}{3}, \frac{5}{3})

第4問　「k 回以上」の確率を p で微分すると 1 つの項だけ残る。I ＝ (k!)²/(2(2k+1)!)

答えは名大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

$f (k) = \sum_{j = k}^{n}_{n} C_{j} p^{j} (1 - p)^{n - j}$ 。

(1)

余事象（0 回・1 回）を引く。

答え

f (1) = 1 - (1 - p)^{n}

f (2) = 1 - (1 - p)^{n} - n p (1 - p)^{n - 1}

(2)

$f (k)$ を $p$ で微分すると，となりの項どうしが打ち消しあって $n \cdot_{n - 1} C_{k - 1} p^{k - 1} (1 - p)^{n - k} = \frac{n!}{(k - 1)! (n - k)!} p^{k - 1} (1 - p)^{n - k}$ だけ残る。右辺の微分も同じで， $p = 0$ でどちらも 0 なので等しい。

答え証明

(3)

(2) で $n = 2 k + 1$ ， $k$ を $k + 1$ にすると $f (k + 1) = \frac{(2 k + 1)!}{k! k!} \int_{0}^{p} x^{k} (1 - x)^{k} d x$ 。 $p = \frac{1}{2}$ では， $k + 1$ 回以上と $k$ 回以下が同じ確率なので $f (k + 1) = \frac{1}{2}$ 。

答え

I = \frac{(k!)^{2}}{2 (2 k + 1)!}

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このページの出典

問題・出題の意図と正解（名古屋大学の公表資料）

名古屋大学の利用の条件について

解答とシミュレーション（AIで作成）

制作

お知らせ

第1問　x 軸の t から接線 2 本は t ＜ −18。接点が整数なのは (3,18) と (4,10)

問題の読み方

(1)

(2)

(3)

第2問　Q(z) ＝ P(αz)。根は P の根を 45° 回したもの

問題の読み方

(1)

(2)

(3)

第3問　原点に一番近い K の点は、AC の半直線の上の (11/3, 1/3, 5/3)

問題の読み方

(1)

(2)

(3)

(4)

第4問　「k 回以上」の確率を p で微分すると 1 つの項だけ残る。I ＝ (k!)²/(2(2k+1)!)

問題の読み方

(1)

(2)

(3)

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第1問 x 軸の t から接線 2 本は t ＜ −18。接点が整数なのは (3,18) と (4,10)

問題の読み方

(1)

(2)

(3)

第2問 Q(z) ＝ P(αz)。根は P の根を 45° 回したもの

問題の読み方

(1)

(2)

(3)

第3問 原点に一番近い K の点は、AC の半直線の上の (11/3, 1/3, 5/3)

問題の読み方

(1)

(2)

(3)

(4)

第4問 「k 回以上」の確率を p で微分すると 1 つの項だけ残る。I ＝ (k!)²/(2(2k+1)!)

問題の読み方

(1)

(2)

(3)

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第1問　x 軸の t から接線 2 本は t ＜ −18。接点が整数なのは (3,18) と (4,10)

第2問　Q(z) ＝ P(αz)。根は P の根を 45° 回したもの

第3問　原点に一番近い K の点は、AC の半直線の上の (11/3, 1/3, 5/3)

第4問　「k 回以上」の確率を p で微分すると 1 つの項だけ残る。I ＝ (k!)²/(2(2k+1)!)