京大過去問 2023年数学｜AI解答・解説・シミュレーション

京大過去問 2023年数学｜AI解答・解説・シミュレーション｜アトリエファクトリー

— 1 —

第1問　（35 点）

次の各問に答えよ．

問 1　定積分 $\int_{1}^{4} \sqrt{x} \log (x^{2}) d x$ の値を求めよ．

問 2　整式 $x^{2023} - 1$ を整式 $x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1$ で割ったときの余りを求めよ．

第2問　（30 点）

空間内の $4$ 点 $O, A, B, C$ は同一平面上にないとする．点 $D, P, Q$ を次のように定める．点 $D$ は $\vec{O D} = \vec{O A} + 2 \vec{O B} + 3 \vec{O C}$ を満たし，点 $P$ は線分 $O A$ を $1 : 2$ に内分し，点 $Q$ は線分 $O B$ の中点である．さらに，直線 $O D$ 上の点 $R$ を，直線 $Q R$ と直線 $P C$ が交点を持つように定める．このとき，線分 $O R$ の長さと線分 $R D$ の長さの比 $O R : R D$ を求めよ．

第3問　（30 点）

$n$ を自然数とする． $1$ 個のさいころを $n$ 回投げ，出た目を順に $X_{1}, X_{2}, \dots \dots, X_{n}$ とし， $n$ 個の数の積 $X_{1} X_{2} \dots \dots X_{n}$ を $Y$ とする．

（1）　 $Y$ が $5$ で割り切れる確率を求めよ．

（2）　 $Y$ が $15$ で割り切れる確率を求めよ．

— 2 —

第4問　（35 点）

次の関数 $f (x)$ の最大値と最小値を求めよ．

f (x) = e^{- x^{2}} + \frac{1}{4} x^{2} + 1 + \frac{1}{e^{- x^{2}} + \frac{1}{4} x^{2} + 1} (- 1 ≦ x ≦ 1)

ただし， $e$ は自然対数の底であり，その値は $e = 2.71 \dots \dots$ である．

第5問　（35 点）

$O$ を原点とする $x y z$ 空間において，点 $P$ と点 $Q$ は次の $3$ つの条件(a)，(b)，(c)を満たしている．

(a)　点 $P$ は $x$ 軸上にある．

(b)　点 $Q$ は $y z$ 平面上にある．

点 $P$ と点 $Q$ が条件(a)，(b)，(c)を満たしながらくまなく動くとき，線分 $P Q$ が通過してできる立体の体積を求めよ．

第6問　（35 点）

$p$ を $3$ 以上の素数とする．また， $θ$ を実数とする．

（1）　 $\cos 3 θ$ と $\cos 4 θ$ を $\cos θ$ の式として表せ．

（2）　 $\cos θ = \frac{1}{p}$ のとき， $θ = \frac{m}{n} \cdot π$ となるような正の整数 $m, n$ が存在するか否かを理由を付けて判定せよ．

問題は，このページで終わりである．

第1問　部分積分と、x⁵ ＝ 1 のくり返し

出題意図（京大）　問1 . 数学IIIで学習する定積分に関し、基礎的な理解と計算力について問うた。問2 . 整式の割り算に関する基礎的な理解について問うた。

京大の解答例との答え合わせ　京大はこの問題の解答例を出していない（出題の意図だけを公表している）

答えは京大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

小問 2 つの計算問題。問1は対数の積分＝部分積分、問2は割る式 $x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1$ が $x^{5} - 1$ の因数であることに気づけるかがポイント。

問1

$\log (x^{2}) = 2 \log x$ （ $x > 0$ ）なので、 $2 \int_{1}^{4} \sqrt{x} \log x d x$ を求める。 $\sqrt{x}$ を積分する側、 $\log x$ を微分する側にして部分積分：

\int \sqrt{x} \log x d x = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \log x - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{1}{x} d x = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \log x - \frac{4}{9} x^{\frac{3}{2}}

$x = 4$ で $x^{3 / 2} = 8$ 、 $x = 1$ で $1$ なので

\int_{1}^{4} \sqrt{x} \log x d x = \frac{16}{3} \log 4 - \frac{4}{9} (8 - 1) = \frac{32}{3} \log 2 - \frac{28}{9}

2 倍して $\frac{64}{3} \log 2 - \frac{56}{9} ≒ 8.565$ 。

答え

\frac{64}{3} \log 2 - \frac{56}{9}

（

\log (x^{2}) = 2 \log x

、

\int \sqrt{x} \log x d x = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \log x - \frac{4}{9} x^{\frac{3}{2}}

）

問2

$x^{5} - 1 = (x - 1) (x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1)$ なので、 $x^{5} - 1$ は割る式で割り切れる。つまり余りを考えるときは $x^{5}$ を 1 に置きかえてよい。

$2023 = 5 \times 404 + 3$ なので

x^{2023} - 1 = (x^{5})^{404} x^{3} - 1

$(x^{5})^{404} - 1$ は $x^{5} - 1$ で割り切れる（ $a^{404} - 1$ は $a - 1$ で割り切れる）ので、 $x^{2023} - 1$ と $x^{3} - 1$ の差は割る式で割り切れる。 $x^{3} - 1$ は 3 次で割る式（4 次）より低いので、これがそのまま余り： $x^{3} - 1$ 。

答え

x^{3} - 1

（

x^{5} - 1 = (x - 1) (x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1)

より

x^{5} \equiv 1

。

2023 = 5 \cdot 404 + 3

なので

x^{2023} \equiv x^{3}

）

第2問　2 本の直線が交わるように R を決めると、OR : RD ＝ 1 : 9

出題意図（京大）　空間図形と空間ベクトルに関する基礎的な理解と計算力について問うた。

京大の解答例との答え合わせ　京大はこの問題の解答例を出していない（出題の意図だけを公表している）

答えは京大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

O を始点に $\vec{a} = \vec{O A}, \vec{b} = \vec{O B}, \vec{c} = \vec{O C}$ とおく。4 点が同じ平面にないので、どんな点も $x \vec{a} + y \vec{b} + z \vec{c}$ とただ 1 通りに書ける。これを使って「同じ点を 2 通りに書いて係数をくらべる」のが筋。

$\vec{O P} = \frac{1}{3} \vec{a}$ 、 $\vec{O Q} = \frac{1}{2} \vec{b}$ 、 $\vec{O D} = \vec{a} + 2 \vec{b} + 3 \vec{c}$ 、R は直線 OD 上なので $\vec{O R} = k \vec{O D}$ 。

第2問

直線 QR と直線 PC の交点を X とすると、X は 2 通りに書ける。

\vec{O X} = (1 - s) \vec{O Q} + s \vec{O R} = s k \vec{a} + (\frac{1 - s}{2} + 2 s k) \vec{b} + 3 s k \vec{c}

\vec{O X} = (1 - u) \vec{O P} + u \vec{c} = \frac{1 - u}{3} \vec{a} + u \vec{c}

係数をくらべて

s k = \frac{1 - u}{3}, \frac{1 - s}{2} + 2 s k = 0, 3 s k = u

1 つ目と 3 つ目から $u = 1 - u$ で $u = \frac{1}{2}$ 、 $s k = \frac{1}{6}$ 。2 つ目に入れて $\frac{1 - s}{2} + \frac{1}{3} = 0$ 、 $s = \frac{5}{3}$ 。よって $k = \frac{s k}{s} = \frac{1}{10}$ 。

$0 < k < 1$ なので R は線分 OD の上にあり、 $O R : R D = k : (1 - k) = 1 : 9$ 。

まとめると $k = \frac{1}{3 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 3}$ になっていて、P が OA を $1 : 2$ に分ける（ $\vec{a}$ の係数 $\frac{1}{3}$ ）ことと Q が中点（ $\vec{b}$ の係数 $\frac{1}{2}$ ）であることが、3 と 2 の重みとして入っている。

答え

O R : R D = 1 : 9

（

\vec{O R} = k \vec{O D}

、交点を

\vec{O Q} + s \vec{Q R} = \vec{O P} + u \vec{P C}

とおき係数比較：

s k = \frac{1 - u}{3}

\frac{1}{2} - \frac{s}{2} + 2 s k = 0

3 s k = u

から

u = \frac{1}{2}

s k = \frac{1}{6}

s = \frac{5}{3}

k = \frac{1}{10}

）

第3問　15 で割れる＝5 と 3 の両方。「無い」方から数える

出題意図（京大）　確率の基本的な理解と余事象を用いた確率の計算について、計算方法を適切に説明して確率の計算が行なえるかどうかを問うた。

京大の解答例との答え合わせ　京大はこの問題の解答例を出していない（出題の意図だけを公表している）

答えは京大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

積が 5 で割り切れるのは「5 の目が 1 回でも出る」とき。15 で割り切れるのは「5 の目が出て、かつ 3 の倍数（3 か 6）の目が出る」とき。どちらも「1 回でも出る」なので、出ない方（余事象）を数えるのが楽。

(1)

5 で割り切れないのは、5 の目が 1 回も出ないとき。毎回 $\frac{5}{6}$ なので ${(\frac{5}{6})}^{n}$ 。求める確率は

1 - {(\frac{5}{6})}^{n}

答え

1 - {(\frac{5}{6})}^{n}

（5 で割れない＝5 が 1 回も出ない）

(2)

15 で割り切れない ⇔ 「5 が 1 回も出ない」または「3 も 6 も 1 回も出ない」。

- 5 が出ない： ${(\frac{5}{6})}^{n}$ - 3 も 6 も出ない： ${(\frac{4}{6})}^{n}$ - どちらも（3, 5, 6 が出ない）： ${(\frac{3}{6})}^{n}$

「または」の確率は、2 つを足して重なり（両方）を 1 回ひく： ${(\frac{5}{6})}^{n} + {(\frac{2}{3})}^{n} - {(\frac{1}{2})}^{n}$ 。よって

1 - {(\frac{5}{6})}^{n} - {(\frac{2}{3})}^{n} + {(\frac{1}{2})}^{n}

$n = 1$ では $1 - \frac{5}{6} - \frac{2}{3} + \frac{1}{2} = 0$ で、1 回では 15 で割れないことと合う。 $n = 2$ では $\frac{4}{36}$ （(3,5),(5,3),(5,6),(6,5) の 4 通り）。

答え

1 - {(\frac{5}{6})}^{n} - {(\frac{2}{3})}^{n} + {(\frac{1}{2})}^{n}

（5 が出ない：

{(\frac{5}{6})}^{n}

、3 の倍数が出ない：

{(\frac{4}{6})}^{n}

、両方出ない：

{(\frac{3}{6})}^{n}

）

第4問　「u ＋ 1/u」は、中身 u だけ見ればいい

出題意図（京大）　数学IIIで学習する微分法を利用して、論証を伴って最大値と最小値の求値ができるかどうかの論理力と計算力を問うた。

京大の解答例との答え合わせ　京大はこの問題の解答例を出していない（出題の意図だけを公表している）

答えは京大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

式は長いが、 $u = e^{- x^{2}} + \frac{1}{4} x^{2} + 1$ とおくと $f = u + \frac{1}{u}$ という形。だから中身 $u$ の動く範囲を調べ、そのあと $u + \frac{1}{u}$ を $u$ の関数として見る、という 2 段で考える。さらに $u$ は $x^{2}$ だけで決まるので、 $s = x^{2} (0 ≦ s ≦ 1)$ として調べればよい。

第4問

$u (s) = e^{- s} + \frac{s}{4} + 1$ を微分すると $u^{'} (s) = - e^{- s} + \frac{1}{4}$ 。 $0 ≦ s ≦ 1$ では $e^{- s} ≧ e^{- 1} > \frac{1}{4}$ （ $e < 4$ ）なので $u^{'} (s) < 0$ 、 $u$ は減るだけ。

u (0) = 2, u (1) = \frac{1}{e} + \frac{5}{4} = \frac{4 + 5 e}{4 e}

$u$ はこの間を動く。どちらも 1 より大きい。

次に $h (u) = u + \frac{1}{u}$ 。 $h^{'} (u) = 1 - \frac{1}{u^{2}} > 0 (u > 1)$ なので、 $u > 1$ では $u$ が大きいほど $h$ も大きい。

よって $f$ は $u$ が一番大きい $s = 0$ （ $x = 0$ ）で最大 $2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$ 、 $u$ が一番小さい $s = 1$ （ $x = \pm 1$ ）で最小

\frac{4 + 5 e}{4 e} + \frac{4 e}{4 + 5 e}

値はおよそ $2.236$ 。 $u$ が 1 より大きい範囲にいたことが、 $u + \frac{1}{u}$ を「 $u$ とならんで動く」と言えるための大事な点。

答え最大値

\frac{5}{2} (x = 0)

、最小値

\frac{4 + 5 e}{4 e} + \frac{4 e}{4 + 5 e} (x = \pm 1)

（

s = x^{2}

で

u^{'} (s) = - e^{- s} + \frac{1}{4} < 0 (0 ≦ s ≦ 1)

、

u ≧ 1

で

u + \frac{1}{u}

は増加）

第5問　線分が通る立体は、切ると円。半径は (1−√x)²

出題意図（京大）　回転体の体積を題材として、式から空間図形を的確に把握する力と体積を求めるための正確な計算力について問うた。

京大の解答例との答え合わせ　京大はこの問題の解答例を出していない（出題の意図だけを公表している）

答えは京大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

線分が動いてできる立体の体積は、ある平面で切った切り口の面積を求めて積分するのが基本。この問題は、Q が yz 平面上を自由に回れるので、立体は x 軸のまわりに回転対称。だから $x$ 座標を決めて切ると、切り口は円（中を詰めた円板）になり、その半径を求めればよい。

また $x ≧ 0$ の側と $x ≦ 0$ の側は同じ形なので、 $x ≧ 0$ を求めて 2 倍する。

第5問

$O P = a (0 ≦ a ≦ 1)$ として P $(a, 0, 0)$ 、Q は yz 平面上で原点から $1 - a$ の距離。線分 PQ 上の点を「P から Q へ $t$ の割合だけ進んだ点」とすると

x = (1 - t) a, x 軸からの距離 = t (1 - a)

$x = X (0 ≦ X ≦ 1)$ で切るとき、 $(1 - t) (1 - (1 - a))$ の形を見るため $b = 1 - a$ とおくと $X = (1 - t) (1 - b)$ 、距離は $t b$ 。

$X$ を決めたとき距離 $t b$ を一番大きくしたい。 $1 - t$ と $1 - b$ の積が $X$ と決まっているので、相加平均と相乗平均の関係から

(1 - t) + (1 - b) ≧ 2 \sqrt{X} ⟹ t + b ≦ 2 - 2 \sqrt{X}

さらに $t b ≦ {(\frac{t + b}{2})}^{2} ≦ (1 - \sqrt{X})^{2}$ 。等号は $t = b = 1 - \sqrt{X}$ のときで、実際にとれる。距離 0 から最大までのあいだの値はすべて通る（連続に動く）ので、切り口は半径 $(1 - \sqrt{X})^{2}$ の円板。

体積は

V = 2 \int_{0}^{1} π (1 - \sqrt{X})^{4} d X

$\sqrt{X} = w$ 、 $X = w^{2}$ 、 $d X = 2 w d w$ とおくと

V = 4 π \int_{0}^{1} w (1 - w)^{4} d w = 4 π (\int_{0}^{1} (1 - w)^{4} d w - \int_{0}^{1} (1 - w)^{5} d w) = 4 π (\frac{1}{5} - \frac{1}{6}) = \frac{2 π}{15}

答え

\frac{2}{15} π

（

x

軸のまわりに対称。

O P = a

、PQ 上の点は

| x | = (1 - t) a

,　距離

t (1 - a)

。

| x | = X

のとき距離の最大は

(1 - \sqrt{X})^{2}

、切り口はその半径の円。

2 \int_{0}^{1} π (1 - \sqrt{X})^{4} d X = \frac{2 π}{15}

）

第6問　cos θ ＝ 1/p の角は、何回まわしても出発点にもどらない

出題意図（京大）　三角関数と整数を題材として、正しく推論をしてそれを的確に記述する力を問うた。

京大の解答例との答え合わせ　京大はこの問題の解答例を出していない（出題の意図だけを公表している）

答えは京大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

$θ = \frac{m}{n} π$ なら $n θ = m π$ なので $\cos n θ = \pm 1$ 。だから「 $\cos k θ$ が $\pm 1$ になる $k$ があるか」を調べればよい。 $\cos k θ$ を $\cos θ = \frac{1}{p}$ の式で書き、分母と分子の形（ $p$ で割り切れるか）に注目するのが筋。(1) はその準備。

(1)

3 倍角： $\cos 3 θ = \cos (2 θ + θ) = \cos 2 θ \cos θ - \sin 2 θ \sin θ$ に $\cos 2 θ = 2 \cos^{2} θ - 1$ 、 $\sin 2 θ \sin θ = 2 \sin^{2} θ \cos θ = 2 (1 - \cos^{2} θ) \cos θ$ を入れて

\cos 3 θ = 4 \cos^{3} θ - 3 \cos θ

4 倍角： $\cos 4 θ = 2 \cos^{2} 2 θ - 1 = 2 (2 \cos^{2} θ - 1)^{2} - 1 = 8 \cos^{4} θ - 8 \cos^{2} θ + 1$ 。

答え

\cos 3 θ = 4 \cos^{3} θ - 3 \cos θ

\cos 4 θ = 8 \cos^{4} θ - 8 \cos^{2} θ + 1

(2)

和積の公式 $\cos (k + 1) θ + \cos (k - 1) θ = 2 \cos θ \cos k θ$ から

\cos (k + 1) θ = 2 \cos θ \cos k θ - \cos (k - 1) θ

$\cos k θ = \frac{a_{k}}{p^{k}}$ とおくと、 $a_{0} = 1, a_{1} = 1$ で

a_{k + 1} = 2 a_{k} - p^{2} a_{k - 1}

となり、 $a_{k}$ はすべて整数。 $p$ で割った余りを見ると $a_{k + 1} \equiv 2 a_{k}$ なので $a_{k} \equiv 2^{k - 1} (\mod p)$ 。 $p$ は 3 以上の素数（奇数）なので $2^{k - 1}$ は $p$ で割り切れず、 $a_{k}$ はどれも $p$ で割り切れない。

もし $θ = \frac{m}{n} π$ となる正の整数 $m, n$ があれば $\cos n θ = \pm 1$ 、つまり $a_{n} = \pm p^{n}$ となって $p$ で割り切れ、矛盾する。よってそのような $m, n$ は存在しない。

(1) の式で確かめると、 $p = 3$ のとき $\cos 3 θ = \frac{4}{27} - 1 = - \frac{23}{27}$ 、分子 $- 23$ は 3 で割り切れない（ $- 23 \equiv 1 (\mod 3)$ で、 $2^{2} = 4 \equiv 1$ と余りも合う）。

答え存在しない。

\cos k θ = \frac{a_{k}}{p^{k}}

とおくと

a_{0} = a_{1} = 1

a_{k + 1} = 2 a_{k} - p^{2} a_{k - 1}

（

\cos (k + 1) θ + \cos (k - 1) θ = 2 \cos θ \cos k θ

）。よって

a_{k} \equiv 2^{k - 1} (\mod p)

で、

p

は奇素数なので

a_{k}

は

p

で割り切れない。

θ = \frac{m}{n} π

なら

\cos n θ = \pm 1

で

a_{n} = \pm p^{n}

となり矛盾

京大過去問 2023年数学｜AI解答・解説・シミュレーション｜アトリエファクトリー

このページの出典

問題・出題意図等（京都大学の公表資料）

京都大学の利用の条件について

解答とシミュレーション（AIで作成）

制作

お知らせ

第1問　部分積分と、x⁵ ＝ 1 のくり返し

問題の読み方

問1

問2

第2問　2 本の直線が交わるように R を決めると、OR : RD ＝ 1 : 9

問題の読み方

第2問

第3問　15 で割れる＝5 と 3 の両方。「無い」方から数える

問題の読み方

(1)

(2)

第4問　「u ＋ 1/u」は、中身 u だけ見ればいい

問題の読み方

第4問

第5問　線分が通る立体は、切ると円。半径は (1−√x)²

問題の読み方

第5問

第6問　cos θ ＝ 1/p の角は、何回まわしても出発点にもどらない

問題の読み方

(1)

(2)

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第1問 部分積分と、x⁵ ＝ 1 のくり返し

問題の読み方

問1

問2

第2問 2 本の直線が交わるように R を決めると、OR : RD ＝ 1 : 9

問題の読み方

第2問

第3問 15 で割れる＝5 と 3 の両方。「無い」方から数える

問題の読み方

(1)

(2)

第4問 「u ＋ 1/u」は、中身 u だけ見ればいい

問題の読み方

第4問

第5問 線分が通る立体は、切ると円。半径は (1−√x)²

問題の読み方

第5問

第6問 cos θ ＝ 1/p の角は、何回まわしても出発点にもどらない

問題の読み方

(1)

(2)

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第1問　部分積分と、x⁵ ＝ 1 のくり返し

第2問　2 本の直線が交わるように R を決めると、OR : RD ＝ 1 : 9

第3問　15 で割れる＝5 と 3 の両方。「無い」方から数える

第4問　「u ＋ 1/u」は、中身 u だけ見ればいい

第5問　線分が通る立体は、切ると円。半径は (1−√x)²

第6問　cos θ ＝ 1/p の角は、何回まわしても出発点にもどらない