京大過去問 2024年数学｜AI解答・解説・シミュレーション

京大過去問 2024年数学｜AI解答・解説・シミュレーション｜アトリエファクトリー

— 1 —

第1問　（30 点）

$n$ 個の異なる色を用意する．立方体の各面にいずれかの色を塗る．各面にどの色を塗るかは同様に確からしいとする．辺を共有するどの二つの面にも異なる色が塗られる確率を $p_{n}$ とする．次の問いに答えよ．

（1）　 $p_{4}$ を求めよ．

（2）　 ${lim}_{n \to \infty} p_{n}$ を求めよ．

第2問　（30 点）

$| x | ≦ 2$ を満たす複素数 $x$ と， $| y - (8 + 6 i) | = 3$ を満たす複素数 $y$ に対して， $z = \frac{x + y}{2}$ とする．このような複素数 $z$ が複素数平面において動く領域を図示し，その面積を求めよ．

第3問　（30 点）

座標空間の $4$ 点 $O, A, B, C$ は同一平面上にないとする．線分 $O A$ の中点を $P$ ，線分 $A B$ の中点を $Q$ とする．実数 $x, y$ に対して，直線 $O C$ 上の点 $X$ と，直線 $B C$ 上の点 $Y$ を次のように定める．

\vec{O X} = x \vec{O C}, \vec{B Y} = y \vec{B C}

このとき，直線 $Q Y$ と直線 $P X$ がねじれの位置にあるための $x, y$ に関する必要十分条件を求めよ．

— 2 —

第4問　（30 点）

与えられた自然数 $a_{0}$ に対して，自然数からなる数列 $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \dots$ を次のように定める．

a_{n + 1} = {\begin{matrix} \frac{a_{n}}{2} & (a_{n} が偶数のとき) \\ [2mm] \frac{3 a_{n} + 1}{2} & (a_{n} が奇数のとき) \end{matrix}

次の問いに答えよ．

（1）　 $a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}$ がすべて奇数であるような最小の自然数 $a_{0}$ を求めよ．

（2）　 $a_{0}, a_{1}, \dots, a_{10}$ がすべて奇数であるような最小の自然数 $a_{0}$ を求めよ．

第5問　（40 点）

$a$ は $a ≧ 1$ を満たす定数とする．座標平面上で，次の $4$ つの不等式が表す領域を $D_{a}$ とする．

x ≧ 0, \frac{e^{x} - e^{- x}}{2} ≦ y, y ≦ \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}, y ≦ a

次の問いに答えよ．

（1）　 $D_{a}$ の面積 $S_{a}$ を求めよ．

（2）　 ${lim}_{a \to \infty} S_{a}$ を求めよ．

第6問　（40 点）

自然数 $k$ に対して， $a_{k} = 2^{\sqrt{k}}$ とする． $n$ を自然数とし， $a_{k}$ の整数部分が $n$ 桁であるような $k$ の個数を $N_{n}$ とする．また， $a_{k}$ の整数部分が $n$ 桁であり，その最高位の数字が $1$ であるような $k$ の個数を $L_{n}$ とする．次を求めよ．

{lim}_{n \to \infty} \frac{L_{n}}{N_{n}}

ただし，例えば実数 $2345.678$ の整数部分 $2345$ は $4$ 桁で，最高位の数字は $2$ である．

問題は，このページで終わりである．

第1問　立方体の塗り分けは、「向かい合う面」で数える

出題意図（京大）　(1)は、数学Aで学習する「場合の数と確率」の問題である。確率についての諸性質を理解し、適切に使用し計算できるか。(2)ではさらに、数列の極限についての計算力と論理性。

京大の解答例との答え合わせ　京大はこの問題の解答例を出していない（出題の意図だけを公表している）

答えは京大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

立方体の面どうしで辺を共有しないのは、向かい合う 3 組（上下・前後・左右）だけ。だから「同じ色にしてよいのは向かい合う面どうしだけ」で、塗り分けは「向かい合う 3 組のうち、何組が同じ色か」で分けると数えやすい。全部の塗り方は $n^{6}$ 通りで同様に確からしい。

(1)

$n = 4$ で数える。

- 3 組とも同じ色：3 組に違う色を割り当てる。 $4 \cdot 3 \cdot 2 = 24$ 通り。 - ちょうど 2 組が同じ色：同じ色にする 2 組の選び方 3 通り、その 2 組の色 $4 \cdot 3$ 、残りの組の 2 面は残り 2 色を 1 つずつ（並べ方 $2 \cdot 1$ ）。 $3 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 72$ 通り。 - 1 組以下：同じ色でない 2 組の 4 面（たとえば前・後・左・右）は、向かい合う面も違う色なので 4 面すべて違う色。さらに残りの組（上・下）はその 4 面すべてととなり合うので、別の色が要る。5 色以上必要で、4 色では塗れない。0 通り。

合計 96 通りで、 $p_{4} = \frac{96}{4^{6}} = \frac{96}{4096} = \frac{3}{128}$ 。

答え

p_{4} = \frac{3}{128}

（よい塗り方：向かい合う 3 組がすべて同色

4 \cdot 3 \cdot 2 = 24

、ちょうど 2 組

3 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 72

、1 組以下は不可能（4 色では足りない）で計 96。

96

4^{6}

）

(2)

一般の $n$ でも同じ分け方をする。

- 3 組とも同じ色： $n (n - 1) (n - 2)$ - ちょうど 2 組： $3 \cdot n (n - 1) \cdot (n - 2) (n - 3)$ - ちょうど 1 組： $3 \cdot n \cdot (n - 1) (n - 2) (n - 3) (n - 4)$ - 0 組（6 面すべて違う色）： $n (n - 1) (n - 2) (n - 3) (n - 4) (n - 5)$

足して整理すると $n (n - 1) (n - 2) (n^{3} - 9 n^{2} + 29 n - 32)$ 。これを $n^{6}$ で割ると、分子も分母も $n^{6}$ が一番大きな項（係数 1）なので

{lim}_{n \to \infty} p_{n} = 1

色がとても多いと、となり合う面がたまたま同じ色になることがほとんど無くなる。

答え

1

（よい塗り方は

n (n - 1) (n - 2) (n^{3} - 9 n^{2} + 29 n - 32)

通りで、

p_{n} = \frac{n (n - 1) (n - 2) (n^{3} - 9 n^{2} + 29 n - 32)}{n^{6}} \to 1

）

第2問　円板と円の「真ん中」は、ドーナツ形

出題意図（京大）　「複素数平面」の問題である。複素数平面上の図形と複素数の関わりの理解。

京大の解答例との答え合わせ　京大はこの問題の解答例を出していない（出題の意図だけを公表している）

答えは京大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

$z = \frac{x}{2} + \frac{y}{2}$ と分けて考える。 $\frac{y}{2}$ は「中心 $4 + 3 i$ 、半径 $\frac{3}{2}$ の円」の上を動き、 $\frac{x}{2}$ は「原点中心、半径 1 の円板」の中を動く。 $z$ は円の上の点に、半径 1 の円板の中の点をたしたもの。円の上の各点を中心に半径 1 の円板を描き、それを全部集めた形を考える。

第2問

$w = z - (4 + 3 i)$ とおく。 $\frac{y}{2} - (4 + 3 i)$ は長さ $\frac{3}{2}$ のベクトル、 $\frac{x}{2}$ は長さ 1 以下のベクトルなので、 $w$ はその和。

- 和の長さは、2 つの長さの差と和の間： $\frac{3}{2} - 1 ≦ | w | ≦ \frac{3}{2} + 1$ 。 - 逆に、 $\frac{1}{2} ≦ | w | ≦ \frac{5}{2}$ の $w$ は、 $w$ と同じ向きに長さ $\frac{3}{2}$ のベクトルをとり、残り（長さ 1 以下）を $\frac{x}{2}$ にすれば作れる。

よって $z$ の動く範囲は

\frac{1}{2} ≦ | z - (4 + 3 i) | ≦ \frac{5}{2}

で、中心 $4 + 3 i$ 、半径 $\frac{1}{2}$ と $\frac{5}{2}$ の 2 つの円にはさまれた部分（ドーナツ形、境界をふくむ）。面積は

π {(\frac{5}{2})}^{2} - π {(\frac{1}{2})}^{2} = \frac{25 - 1}{4} π = 6 π

円の半径（3）が円板の半径（2）より大きいので、真ん中に穴が残るのがポイント。

答え中心

4 + 3 i

、半径

\frac{1}{2}

と

\frac{5}{2}

の 2 つの円にはさまれた部分（境界をふくむ）。面積

6 π

（

\frac{y}{2}

は中心

4 + 3 i

半径

\frac{3}{2}

の円上、

\frac{x}{2}

は半径

1

の円板。

| | z - (4 + 3 i) | - \frac{3}{2} | ≦ 1

）

第3問　ねじれの位置になるのは x ≠ y のとき

出題意図（京大）　ねじれの位置に関する題意を必要十分条件で適切に表現し、論証して結論を導けるか。それを説明できるか。

京大の解答例との答え合わせ　京大はこの問題の解答例を出していない（出題の意図だけを公表している）

答えは京大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

2 直線が「ねじれの位置」とは、交わらず平行でもないこと。言いかえると、2 直線をふくむ平面が無いこと。だから「4 点 P, X, Q, Y が同じ平面の上にあるのはいつか」を調べ、その否定を答えればよい。

$\vec{a} = \vec{O A}, \vec{b} = \vec{O B}, \vec{c} = \vec{O C}$ は同じ平面にないので、係数比較が使える。

第3問

P を始点に 3 本のベクトルを書く。

\vec{P X} = - \frac{1}{2} \vec{a} + x \vec{c}, \vec{P Q} = \frac{1}{2} \vec{b}, \vec{P Y} = - \frac{1}{2} \vec{a} + (1 - y) \vec{b} + y \vec{c}

（ $\vec{O Y} = \vec{b} + y (\vec{c} - \vec{b})$ を使った。）

4 点が同じ平面にある ⇔ $\vec{P Y} = s \vec{P X} + t \vec{P Q}$ となる実数 $s, t$ がある（ $\vec{P X}$ と $\vec{P Q}$ は平行でないので、この形で書ける）。係数をくらべると

\vec{a} : - \frac{1}{2} = - \frac{s}{2}, \vec{b} : 1 - y = \frac{t}{2}, \vec{c} : y = s x

1 つ目から $s = 1$ 、3 つ目から $y = x$ 。2 つ目は $t = 2 (1 - y)$ で必ずとれる。

よって 4 点が同じ平面にあるのは $x = y$ のときだけで、ねじれの位置にある必要十分条件は

x \neq y

たとえば $x = y = 1$ なら X も Y も C で、2 直線は C で交わる。

答え

x \neq y

（2 直線がねじれでない ⇔ P, X, Q, Y が同一平面上。

\vec{P X} = - \frac{1}{2} \vec{a} + x \vec{c}

\vec{P Q} = \frac{1}{2} \vec{b}

\vec{P Y} = - \frac{1}{2} \vec{a} + (1 - y) \vec{b} + y \vec{c}

が 1 次従属になる条件は

\vec{P Y} - \vec{P X}

を見て

x = y

）

第4問　奇数が続くのは、a₀＋1 が 2 で何回割れるか

出題意図（京大）　漸化式で与えられた数列について、題意に基づき必要十分条件を適切に論じ説明できるか。

京大の解答例との答え合わせ　京大はこの問題の解答例を出していない（出題の意図だけを公表している）

答えは京大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

奇数が続くときの式 $a_{n + 1} = \frac{3 a_{n} + 1}{2}$ は、両辺に 1 を足すと

a_{n + 1} + 1 = \frac{3 a_{n} + 3}{2} = \frac{3}{2} (a_{n} + 1)

ときれいな形になる。つまり奇数が続く間、 $a_{n} + 1$ は毎回 $\frac{3}{2}$ 倍になる。3 倍は 2 の因数を変えず、 $\frac{1}{2}$ で 2 の因数が 1 つ減る。これが筋。

(1)

$a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}$ がすべて奇数なら、上の式を 3 回使って $a_{3} + 1 = {(\frac{3}{2})}^{3} (a_{0} + 1) = \frac{27 (a_{0} + 1)}{8}$ 。これが整数（しかも $a_{3}$ が奇数なので偶数）であるためには、 $a_{0} + 1$ が $2^{4} = 16$ で割り切れる必要がある。

逆に $a_{0} + 1$ が 16 の倍数なら、 $a_{n} + 1$ は順に 8, 4, 2 の倍数で、 $a_{n}$ は奇数が続く。最小は $a_{0} + 1 = 16$ 、つまり $a_{0} = 15$ 。実際 $15 \to 23 \to 35 \to 53$ と奇数が 4 つ続く（次は 80 で偶数）。

答え

15

(2)

同じように考えると、 $a_{0}, \dots, a_{10}$ （11 個）がすべて奇数 ⇔ $a_{0} + 1$ が $2^{11}$ で割り切れる。

（ $a_{k}$ まで奇数が続いたとき $a_{k} + 1 = \frac{3^{k}}{2^{k}} (a_{0} + 1)$ が偶数であることが $a_{k}$ が奇数であることと同じなので、 $a_{0} + 1$ が $2^{k + 1}$ で割り切れることが必要十分。）

最小は $a_{0} = 2^{11} - 1 = 2047$ 。

答え

2047

（奇数のとき

a_{n + 1} + 1 = \frac{3}{2} (a_{n} + 1)

。

a_{0}

\dots

a_{k}

がすべて奇数 ⇔

a_{0} + 1

が

2^{k + 1}

で割り切れる。

k = 10

で

a_{0} = 2^{11} - 1

）

第5問　2 本の曲線のすき間は、どこまで行っても面積 1

出題意図（京大）　(1)では、与えられた領域の面積を、数学IIIで学習する定積分を使って表し、その計算が正しく実行できるか。(2)では、関数の極限に関わる計算力と論理性。

京大の解答例との答え合わせ　京大はこの問題の解答例を出していない（出題の意図だけを公表している）

答えは京大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

$\frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ と $\frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ の差は $e^{- x}$ で、 $x$ が大きくなるとすぐ小さくなる。2 本の曲線のすき間を、上の線 $y = a$ で切った部分が $D_{a}$ 。

面積は $x$ で切っても $y$ で切っても求められるが、上の線 $y = a$ があるので、 $y$ で切る（ $x$ を $y$ の式で表す＝逆関数）と境目の場合分けが少ない。

(1)

$y = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ を $x$ について解く。 $t = e^{x}$ として $t^{2} - 2 y t - 1 = 0$ 、 $t > 0$ から $t = y + \sqrt{y^{2} + 1}$ 、 $x = \log (y + \sqrt{y^{2} + 1})$ 。同じように $y = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2} (x ≧ 0)$ は $x = \log (y + \sqrt{y^{2} - 1}) (y ≧ 1)$ 。

高さ $y$ での横の幅は、 $0 ≦ y ≦ 1$ では $0$ から $\log (y + \sqrt{y^{2} + 1})$ まで、 $1 ≦ y ≦ a$ では $\log (y + \sqrt{y^{2} - 1})$ から $\log (y + \sqrt{y^{2} + 1})$ まで。

部分積分で $\int \log (y + \sqrt{y^{2} + 1}) d y = y \log (y + \sqrt{y^{2} + 1}) - \sqrt{y^{2} + 1}$ 、 $\int \log (y + \sqrt{y^{2} - 1}) d y = y \log (y + \sqrt{y^{2} - 1}) - \sqrt{y^{2} - 1}$ （微分すると $\frac{y}{\sqrt{y^{2} \pm 1}}$ が消し合う）。よって

S_{a} = a \log \frac{a + \sqrt{a^{2} + 1}}{a + \sqrt{a^{2} - 1}} - \sqrt{a^{2} + 1} + \sqrt{a^{2} - 1} + 1

答え

S_{a} = a \log \frac{a + \sqrt{a^{2} + 1}}{a + \sqrt{a^{2} - 1}} - \sqrt{a^{2} + 1} + \sqrt{a^{2} - 1} + 1

（

y

で切ると

x

は

\log (y + \sqrt{y^{2} - 1}) (y ≧ 1)

から

\log (y + \sqrt{y^{2} + 1})

まで）

(2)

$\sqrt{a^{2} + 1} - \sqrt{a^{2} - 1} = \frac{2}{\sqrt{a^{2} + 1} + \sqrt{a^{2} - 1}} \to 0$ 。

対数の部分は、 $\frac{a + \sqrt{a^{2} + 1}}{a + \sqrt{a^{2} - 1}} = 1 + \frac{\sqrt{a^{2} + 1} - \sqrt{a^{2} - 1}}{a + \sqrt{a^{2} - 1}} = 1 + h$ とおくと $h$ は $\frac{1}{a^{2}}$ くらいの大きさ。 $\log (1 + h) ≦ h$ なので

0 ≦ a \log (1 + h) ≦ a h = \frac{2 a}{(a + \sqrt{a^{2} - 1}) (\sqrt{a^{2} + 1} + \sqrt{a^{2} - 1})} \to 0

よって ${lim}_{a \to \infty} S_{a} = 1$ 。

$x$ で見ると、すき間の面積は $\int_{0}^{\infty} e^{- x} d x = 1$ と同じことを言っている。

答え

1

（

a \log \frac{a + \sqrt{a^{2} + 1}}{a + \sqrt{a^{2} - 1}} \to 0

\sqrt{a^{2} + 1} - \sqrt{a^{2} - 1} \to 0

）

第6問　最高位が 1 になる割合は、だんだん log₁₀2

出題意図（京大）　与えられた条件を指数関数、対数関数を使って適切に表現できるか、その上で、極限を求める計算力と論理性、それを説明できるか。

京大の解答例との答え合わせ　京大はこの問題の解答例を出していない（出題の意図だけを公表している）

答えは京大の正解ではなく、自分で解いて、式とは別の計算で確かめたもの。

問題の読み方

「整数部分が $n$ 桁」「最高位の数字が 1」を、常用対数の不等式に直すのが基本。 $a_{k} = 2^{\sqrt{k}}$ なので、 $\log_{10} a_{k} = \sqrt{k} \log_{10} 2$ 。 $L = \log_{2} 10 = \frac{1}{\log_{10} 2}$ とおくと、条件はすべて $\sqrt{k}$ の区間で書ける。 $\sqrt{k}$ が区間に入る $k$ の数は、区間の両端を 2 乗した差とほぼ同じ。

第6問

整数部分が $n$ 桁 ⇔ $10^{n - 1} ≦ a_{k} < 10^{n}$ ⇔ $n - 1 ≦ \sqrt{k} \log_{10} 2 < n$ ⇔

(n - 1) L ≦ \sqrt{k} < n L

最高位が 1 ⇔ さらに $a_{k} < 2 \cdot 10^{n - 1}$ ⇔ $\sqrt{k} \log_{10} 2 < n - 1 + \log_{10} 2$ ⇔

(n - 1) L ≦ \sqrt{k} < (n - 1) L + 1

$α ≦ \sqrt{k} < β$ となる整数 $k$ は、 $α^{2} ≦ k < β^{2}$ の整数なので、その個数は $β^{2} - α^{2}$ と 1 以下しか違わない。よって

N_{n} = (n L)^{2} - ((n - 1) L)^{2} + ε_{1} = (2 n - 1) L^{2} + ε_{1}

L_{n} = ((n - 1) L + 1)^{2} - ((n - 1) L)^{2} + ε_{2} = 2 (n - 1) L + 1 + ε_{2}

（ $| ε_{1} |, | ε_{2} | ≦ 1$ ）。分母・分子を $n$ で割って $n \to \infty$ とすると

{lim}_{n \to \infty} \frac{L_{n}}{N_{n}} = \frac{2 L}{2 L^{2}} = \frac{1}{L} = \log_{10} 2

およそ 0.301。 $n = 3$ では $55$ 個中 $14$ 個（0.255）で、 $n$ が大きくなるとゆっくり近づく。

答え

\log_{10} 2

（

L = \log_{2} 10

とすると、

n

桁 ⇔

(n - 1) L ≦ \sqrt{k} < n L

、最高位 1 ⇔

(n - 1) L ≦ \sqrt{k} < (n - 1) L + 1

。

N_{n} = (2 n - 1) L^{2} + O (1)

L_{n} = 2 (n - 1) L + O (1)

なので

\frac{L_{n}}{N_{n}} \to \frac{1}{L} = \log_{10} 2

）

京大過去問 2024年数学｜AI解答・解説・シミュレーション｜アトリエファクトリー

このページの出典

問題・出題意図等（京都大学の公表資料）

京都大学の利用の条件について

解答とシミュレーション（AIで作成）

制作

お知らせ

第1問　立方体の塗り分けは、「向かい合う面」で数える

問題の読み方

(1)

(2)

第2問　円板と円の「真ん中」は、ドーナツ形

問題の読み方

第2問

第3問　ねじれの位置になるのは x ≠ y のとき

問題の読み方

第3問

第4問　奇数が続くのは、a₀＋1 が 2 で何回割れるか

問題の読み方

(1)

(2)

第5問　2 本の曲線のすき間は、どこまで行っても面積 1

問題の読み方

(1)

(2)

第6問　最高位が 1 になる割合は、だんだん log₁₀2

問題の読み方

第6問

京大 過去問 2024年 数学｜AI解答・解説・シミュレーション｜アトリエファクトリー

第1問 立方体の塗り分けは、「向かい合う面」で数える

問題の読み方

(1)

(2)

第2問 円板と円の「真ん中」は、ドーナツ形

問題の読み方

第2問

第3問 ねじれの位置になるのは x ≠ y のとき

問題の読み方

第3問

第4問 奇数が続くのは、a₀＋1 が 2 で何回割れるか

問題の読み方

(1)

(2)

第5問 2 本の曲線のすき間は、どこまで行っても面積 1

問題の読み方

(1)

(2)

第6問 最高位が 1 になる割合は、だんだん log₁₀2

問題の読み方

第6問

京大過去問 2024年数学｜AI解答・解説・シミュレーション｜アトリエファクトリー

第1問　立方体の塗り分けは、「向かい合う面」で数える

第2問　円板と円の「真ん中」は、ドーナツ形

第3問　ねじれの位置になるのは x ≠ y のとき

第4問　奇数が続くのは、a₀＋1 が 2 で何回割れるか

第5問　2 本の曲線のすき間は、どこまで行っても面積 1

第6問　最高位が 1 になる割合は、だんだん log₁₀2