阪大 過去問 2022年 物理｜AI解答・解説・シミュレーション｜アトリエファクトリー

物　理　問　題

（解答はすべて物理解答用紙に記入すること）

第1問

〔1〕　図 1 のように，水平方向に $x$ 軸，鉛直上向きに $y$ 軸をとった平面内における質量 $M$ の物体 A と質量 $m$ の物体 B の運動を考える。物体 A は，$x$ 軸に平行に固定された棒に沿って滑らかに動くことができる。また，物体 A と物体 B は伸び縮みしない長さ $\ell$ で質量の無視できる糸でつながれている。糸と鉛直方向とのなす角度 $\theta$〔rad〕を，図 1 に示すように定義する。物体 A と棒の間の摩擦力は無視でき，また，物体 A および物体 B は質点とみなしてよい。重力加速度の大きさを $g$ とする。

I.　まず，物体 A を棒の一点に動かないように固定する。糸がたるまないように物体 B を持ち上げ，静かに離すと物体 B は振動をはじめた。このとき，以下の問に答えよ。

問 1　以下の文中の空欄に入れるべき数式を解答欄に記せ。

　糸の角度が $\theta$ のとき，糸の張力の大きさを $S$，物体 B の加速度の $x$ 成分および $y$ 成分を，それぞれ，$a_x$ および $a_y$ とするとき，物体 B の運動方程式は，$m{a}_x=$ (a) および $m{a}_y=$ (b) と表される。

問 2　$|\theta |$ が十分に小さいとき，物体 B は水平方向にのみ運動すると考えてよい。このとき，問 1 で求めた運動方程式において，$\sin \theta \fallingdotseq \theta$，$\cos \theta \fallingdotseq 1$ と近似し，振動の周期 $T$ を求めよ。

II.　次に，物体 A を棒に沿って動かす。ただし，物体 A の加速度の $x$ 成分が，図 2 に示すように，${\displaystyle \frac{T}{2}}$ ごとに $\pm \alpha (\alpha >0)$ で符号が変わるように物体 A を加減速させながら動かす。ここで，$T$ は問 2 で求めた周期である。また，時刻 $t=0$ で糸は鉛直で，物体はいずれも静止しており，このときの物体の位置の $x$ 座標を 0 とする。なお，物体 B の振動の振幅は十分小さく，$|\theta |$ は十分に小さいとしてよい。このとき，以下の問に答えよ。

問 3　時刻 $t=nT$（$n$ は自然数）における物体 A の $x$ 座標 $x_n$ を求めよ。

問 4　時刻 $t$ が $0<t<{\displaystyle \frac{T}{2}}$ の間の運動を考える（図 3）。このとき，以下の文中の空欄に入れるべき数式を解答欄に記せ。

　物体 A とともに動く非慣性系で物体 B に作用する慣性力の水平成分は，右向きを正として (c) であるので，この非慣性系で，物体 B は初期位置から水平方向に右向きを正として，(d) だけずれた位置を中心として，周期が $T$ の単振動を半周期だけする。したがって，時刻 $t={\displaystyle \frac{T}{2}}$ で，糸の角度 $\theta$ は (e) となり，この非慣性系で物体 B は静止する。ただし，角度 $\theta$ は図 1 のように定義する。

問 5　時刻 $t=nT$（$n$ は自然数）における糸の角度 ${\theta }_n$ を求めよ。

問 6　物体 A が図 2 に示す加速度の $x$ 成分をもつためには，物体 A に重力，糸からの張力，棒からの抗力以外に，外力を作用させる必要がある。$t={\displaystyle \frac{T}{6}}$ におけるこの外力の $x$ 成分を求めよ。

III.　次に，物体 A を水平な棒に沿って自由に動けるようにする。糸が鉛直で，物体 A が静止している状態で，物体 B に $x$ 軸の正の向きに大きさ $v_0$ の速度を与えたところ，糸はたるまずに，また，糸の角度 $\theta$ が $-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ のある範囲で，物体 B は振動した。図 4 には，ある時刻における，物体 A および物体 B の運動の様子を点線で示す。ただし，$|\theta |$ は微小とは限らない。このとき，以下の問に答えよ。

問 7　物体 B が最高点に達したときの，物体 A の速さを求めよ。

問 8　物体 B の最高点の高さを，物体 B の初期位置を基準として求めよ。

第2問

〔2〕　図 1 のような回路をブリッジ回路という。いくつかのブリッジ回路に関する問題を考える。ただし，導線の電気抵抗と電源の内部抵抗は，共に無視できるほど小さいものとする。

I.　図 1 の回路において，抵抗 1，2，3，4 の抵抗値が，それぞれ $R_1$〔Ω〕，$R_2$〔Ω〕，$R_3$〔Ω〕，$R_4$〔Ω〕であるとする。検流計 G に電流は流れていないものとする。直流電源の電圧の大きさを $E$〔V〕とする。このとき，以下の問に答えよ。

問 1　抵抗 1 に加わる電圧の大きさ $V_1$〔V〕と，抵抗 2 に加わる電圧の大きさ $V_2$〔V〕の比 ${\displaystyle \frac{V_2}{V_1}}$ を，$E,R_1,R_2,R_3$ のうち，必要なものを用いて表せ。

問 2　$R_4$〔Ω〕を，$R_1,R_2,R_3$ を用いて表せ。

II.　単一の抵抗に加わる電圧と流れる電流との間の関係を，電流–電圧特性という。電流–電圧特性が直線で表せない抵抗のことを非直線抵抗という。図 1 の回路が非直線抵抗を含む場合について考える。

　図 1 の回路において，抵抗 1 は非直線抵抗 X，抵抗 2，3 はそれぞれ抵抗値が $R_2$〔Ω〕，$R_3$〔Ω〕の抵抗，抵抗 4 は非直線抵抗 Y であるとする。非直線抵抗 X および非直線抵抗 Y の電流–電圧特性は未知であるとする。検流計 G に電流は流れていないものとする。直流電源の電圧の大きさを $E$〔V〕とする。このとき，以下の問に答えよ。

問 3　抵抗 1 に加わる電圧の大きさを $V_{\mathrm{X}}$〔V〕，抵抗 1 を流れる電流の大きさを $I_{\mathrm{X}}$〔A〕とする。抵抗 2 にオームの法則を適用することによって，$I_{\mathrm{X}}$〔A〕を $V_{\mathrm{X}},E,R_2$ を用いて表せ。

問 4　$E=4.0$ V，$R_2=1.0$ Ω，$R_3=2.0$ Ω とする。このとき，以下の (a)，(b) の 2 つの場合について，それぞれ答えよ。

(a)　非直線抵抗 X として，図 2 の（あ）に示される電流–電圧特性を持つ非直線抵抗を用いた場合を考える。このとき，$V_{\mathrm{X}}$〔V〕，および，抵抗 4 に加わる電圧の大きさ $V_{\mathrm{Y}}$〔V〕を，それぞれ有効数字 2 桁で求めよ。

(b)　非直線抵抗 X と非直線抵抗 Y として，図 2 の（あ），（い），（う），（え）に示される電流–電圧特性を持つ非直線抵抗のいずれかを，それぞれ用いた場合を考える。非直線抵抗 X と非直線抵抗 Y の電流–電圧特性として，最も適した組み合わせを答えよ。解答においては，それぞれを（あ），（い），（う），（え）から一つずつ選ぶこと（例：「X：（い），Y：（あ）」）。なお，「X：（い），Y：（い）」のように，X と Y について同じ選択肢を選んでもよい。

III.　さらに，図 3 の回路について考える。交流電源の電圧は，最大値が $E_0$〔V〕，角周波数が $\omega$〔rad/s〕であり，点ウを基準とした点アの電位は，時刻 $t$〔s〕において $E_0\cos (\omega t)$ となる。抵抗 5，6 の抵抗値を $R$〔Ω〕，コンデンサの電気容量を $C$〔F〕，コイルの自己インダクタンスを $L$〔H〕とする。交流電流計は，交流電流の大きさを測定できる装置である。測定の結果，あらゆる時刻において常に，点イと点エの間には電流が流れていないことがわかった。このとき，以下の問に答えよ。なお，図 3 における矢印の向きを電流の正の向きとする。また，実数 $\alpha ,\beta ,\gamma ,\theta$ に対して成り立つ，以下の公式を，必要に応じて用いてよい。

問 5　抵抗 5 を流れる電流を，その最大値 $I_5$〔A〕と，交流電源の電圧との位相差 $\varphi$ を用いて，$I_5\cos (\omega t-\varphi )$ と表す。このとき，以下の文中の空欄 (a)〜(d) に入るべき数式を解答欄に記入せよ。ただし，(a)，(b) については $I_5,\omega ,R,L$ のうち必要なものを用いて表し，(c)，(d) については $E_0,\omega ,R,L$ のうち必要なものを用いて表せ。

　点ウを基準とした点イの電位は (a) $\cos (\omega t-\varphi )$ と表され，点イを基準とした点アの電位は (b) $\sin (\omega t-\varphi )$ と表される。これらの和が，交流電源の電圧 $E_0\cos (\omega t)$ と等しい。よって，$I_5=$ (c)〔A〕，$\tan \varphi =$ (d) であることがわかる。

問 6　コンデンサを流れる電流は $I_{\mathrm{C}}\sin (\omega t-\varphi )$ と表せる。$I_{\mathrm{C}}$〔A〕を，$I_5,\omega ,R,C$ のうち必要なものを用いて表せ。

問 7　$C$〔F〕を $\omega ,R,L$ のうち必要なものを用いて表せ。

第3問

〔3〕　以下の A と B の両方の問題に解答せよ。なお A と B は独立した内容の問題である。

A.　図 1 のような固定されたシリンダー内に，なめらかに動く 2 つのピストンがある。ピストンで仕切られたシリンダー内の各領域を，左から部屋 A，部屋 B，部屋 C とよぶ。部屋 A と部屋 B をピストン 1，部屋 B と部屋 C をピストン 2 が仕切る。部屋 A と部屋 C の中にあるヒーター ${\mathrm{H}}_{\mathrm{A}}$ とヒーター ${\mathrm{H}}_{\mathrm{C}}$ を用いて，それぞれの部屋の内部にある気体を加熱することができる。シリンダー，ピストン，ヒーターをあわせて装置とよぶことにする。装置の熱容量は無視できる。

　この装置のピストンを，外部から動かしたり固定したりすることができる。ピストンがヒーターにぶつからない範囲で動く場合について考える。各部屋にはそれぞれ 1 モルずつ，同一の理想気体が入っている。この理想気体の定積モル比熱を $C_V$，定圧モル比熱を $C_p$ とする。気体定数を $R$ とする。

I.　この装置を絶対温度 $T_0$ の環境に置いて，順番に以下の操作をする。はじめ，部屋 A，B，C の気体の体積はいずれも $V_0$ であった。装置は外部に熱を通すものとする。以下の問に答えよ。

　図 2 に，絶対温度 $T$ が一定である 1 モルの理想気体の圧力と体積の関係を示す。解答にあたっては，図 2 の斜線部の面積が $RT\log {\displaystyle \frac{V_2}{V_1}}$ であることを用いてよい。ここでの $\log x$ は，${\log }_{e}x$ である。$e(=2.71828\cdots )$ は無理数であり，$e$ を底とする対数を自然対数という。

問 1　まず，ピストン 2 を固定した状態でピストン 1 を十分にゆっくりと右に動かし，部屋 A の気体の体積が ${\displaystyle \frac{4}{3}}{V}_0$ となったところでピストン 1 を固定した。このときの，部屋 B の気体の圧力 $p_{\mathrm{B}}$ を，$R,T_0,V_0$ を用いて表せ。

問 2　問 1 の操作によってピストン 1 が部屋 B の気体にした仕事 $W_{\mathrm{B}}$ を，$R,T_0,V_0$ のうち必要なものを用いて表せ。

問 3　問 1 で最後にピストン 1 を固定した状態からピストン 2 を十分にゆっくりと左に動かし，部屋 C の気体の体積が ${\displaystyle \frac{4}{3}}{V}_0$ となったところでピストン 2 を固定した。問 1 の操作を始める前からここにいたるまでの変化について，以下の量を求めよ。必要であれば，$R,C_V,T_0,V_0$ を用いてよい。

(a)　3 つの部屋内にある気体の内部エネルギーの増加量の総和 $\Delta U$

(b)　装置から外部に放出された熱の総量 $Q$

II.　ふたたび，各部屋の気体の体積が $V_0$，絶対温度が $T_0$ である状態から操作を始める。これ以降は装置を断熱材で覆い，シリンダーの外壁を通した外部との熱のやりとりが起きないものとする。2 つのピストンは固定されていない。ピストンは熱を通さない素材でできており，部屋の間での熱のやりとりはないものとする。このときの装置と気体の状態を状態（あ）とする。

　まず，ヒーター ${\mathrm{H}}_{\mathrm{A}}$ を用いて部屋 A の気体をゆっくりと加熱したところ，2 つのピストンがゆっくりと動き始めた。加熱をやめてから十分に時間が経ち，2 つのピストンが静止したときの装置と気体の状態を，状態（い）とする。さらに，ヒーター ${\mathrm{H}}_{\mathrm{C}}$ を用いて部屋 C の気体をゆっくりと加熱したところ，2 つのピストンがゆっくりと動き始めた。加熱をやめてから十分に時間が経ち，2 つのピストンが静止したときの装置と気体の状態を，状態（う）とする。状態（う）において，部屋 A，B，C の気体の体積比は 4：1：4 になっていた。以下の問に答えよ。

　解答にあたっては，$p$ を理想気体の圧力，$V$ を理想気体の体積とすると，断熱過程において $p{V}^{\gamma }$ が一定に保たれることを用いてよい。ただし，$\gamma ={\displaystyle \frac{C_p}{C_V}}$ である。

問 4　状態（う）における部屋 B の気体の絶対温度 $T_{\mathrm{B}}$ を，$\gamma ,T_0$ のうち必要なものを用いて表せ。

問 5　ヒーター ${\mathrm{H}}_{\mathrm{A}}$ が部屋 A の気体に与えた熱を $Q_1$，ヒーター ${\mathrm{H}}_{\mathrm{C}}$ が部屋 C の気体に与えた熱を $Q_2$ とする。$Q_1+Q_2$ を $\gamma ,C_V,T_0$ を用いて表せ。

問 6　状態（い）における部屋 A，B，C の気体の体積を，それぞれ $V_{\mathrm{A}},V_{\mathrm{B}},V_{\mathrm{C}}$ とする。$V_{\mathrm{A}}:V_{\mathrm{B}}:V_{\mathrm{C}}$ を，最も簡単な整数の比で表せ。

B.　X 線は可視光や紫外線よりも波長の短い光であり，加速した電子を物質の表面に照射すると発生する。

I.　図 1 のような装置を使用して，X 線を発生させる場合について考える。ただし，フィラメントの電源の電圧 $V_0$ は，高圧電源の電圧 $V$ に対して十分に小さい。

　陰極・陽極間に高電圧 $V$ を加えると X 線が発生し，発生する X 線の波長とその強度の関係（X 線波長スペクトル）は，図 2 のようになる。連続 X 線と，特定の波長に強い強度をもつ固有 X 線（特性 X 線）が発生することがわかる。電子の質量を $m$，電子の電荷を $-e$，プランク定数を $h$，光の速さを $c$ として，以下の問に答えよ。

問 7　図 2 に示されている点 P の波長（最短波長）${\lambda }_0$ を $h,c,m,e$ および $V$ のうち必要なものを用いて表せ。

II.　図 3 のような原子モデルを使って，原子番号が $Z(10<Z\leqq 18)$ の原子が放出する固有 X 線を考える。中心に電荷 $+Ze$ を持つ原子核があり，そのまわりを電子が等速円運動している。

　軌道上の電子は，次の量子条件にしたがう。

　量子条件　原子内の電子は，円軌道の周の長さが物質波の波長の $n$ 倍（$n$ は正の整数）であるときに，定常状態として安定に存在できる。

　円軌道上の電子は，図 3A のように，定まった個数（$n=1$ の軌道には 2 個，$n=2$ の軌道には 8 個，$\cdots$）だけ，低いエネルギー準位から状態を占めていく。同一（$n$ 番目）の軌道にある電子は，同じエネルギー準位 $E_n$ をもつとする（$E_n<0$）。円軌道にある電子には，原子核との間にクーロン力がはたらき，他の電子から力は受けないとする。ただし，$n\geqq 2$ の軌道にある電子からは，より内側の軌道にある電子の数の分だけ，原子核の電荷を打ち消すように見えるため，クーロン力は補正を受ける（例えば，図 3A の $n=2$ の軌道にある電子からは，原子核の電荷が $+(Z-2)e$ に見える）。

　固有 X 線は，次の振動数条件にしたがって放出される。

　振動数条件　図 3B のように，加速された電子が原子内の電子を弾き飛ばしたとき，図 3C のように，外側の軌道の電子がより内側の軌道に移って，エネルギー準位差に対応する振動数の X 線が放出される。

　軌道上の電子の速さは，光の速さ $c$ より十分に遅いとして，以下の問に答えよ。

問 8　図 3A の $n=3$ の軌道の半径を $r_3$ としたとき，クーロン力と遠心力のつり合いの関係から，$r_3$ を，$h,m,e,Z$，真空中のクーロンの法則の比例定数 $k_0$ を用いて表せ。

問 9　図 3A のエネルギー準位 $E_2,E_3$ を，水素原子（$Z=1$）の基底状態の電子のエネルギー準位 $E_{\mathrm{H}}$ と $Z$ のみを使ってそれぞれ表せ。ただし，クーロン力による位置エネルギーは無限遠をゼロ（基準）とする。

問 10　図 2 に示されている固有 X 線の 2 つのピークは，図 3C のように，電子が $n=2$ から $n=1$ と，$n=3$ から $n=1$ の軌道へ移るときに放出される X 線に対応する。固有 X 線が放出される直前には，$n=1$ の軌道にある電子の数は 1 個であることに注意して，固有 X 線の波長 ${\lambda }_2$ を，$E_{\mathrm{H}},Z,h,c$ を使って表せ。