名大 過去問 2024年 物理｜AI解答・解説・シミュレーション｜アトリエファクトリー

第1問

図 1 のように，水平な床に置かれた質量 $M$ の水槽に，一様な密度 $\rho$，体積 $V$ の液体 1 が入っている。この液体に，中空かつ細長い円柱状の浮きを静かに浮かべた。この浮きの底面積を $S$ とする。浮きの中にはおもりが入っており，浮きの底面が床面に平行かつ液面から深さ $d_0$ だけ液中に沈んだ位置で静止した。なお，浮きの高さは $d_0$ に比べて十分長いものとする。また，水槽や浮きの変形，大気圧は無視できるものとする。重力加速度の大きさを $g$ として，以下の設問に答えよ。

設問(1)：おもりを含めた浮き全体の質量を $m_0$ とする。$m_0$ を $M,S,d_0,\rho ,g,V$ の中から必要なものを用いて表せ。

設問(2)：図 1 に示したように，浮きが静止しているとき，水槽の底面が床から受ける垂直抗力の大きさを $N_0$ とする。$N_0$ を $M,S,d_0,\rho ,g,V$ の中から必要なものを用いて表せ。

次に，図 1 で静止していた浮きを指でゆっくりと押し，図 2 のように，浮きの底面を液面から $d_0+d$ のところまで沈めて静止させた。ただし，$0<d<d_0$ であり，$d$ は $d_0$ に比べて十分小さいものとする。その後，指を静かに離すと，浮きと液面の高さは周期的に変化した。以下では，水槽の底面積は浮きの底面積 $S$ に比べて十分大きく，液面の高さの変化は $d$ に比べて十分小さく無視できるものとする。このとき，浮きの運動は鉛直方向に限定され，浮きの中心軸は常に鉛直に保たれていたものとする。また，浮きの運動の際に生じる液体 1 や大気から受ける抵抗力，水槽や浮きの変形，液体の温度変化，大気圧は無視できるものとする。円周率を $\pi$ として，以下の設問に答えよ。

設問(3)：図 2 のように，浮きの底面が液面から深さ $d_0+d$ のところで静止しているとき，水槽の底面が床から受ける垂直抗力の大きさを $N_1$ とする。$N_1$ を $M,S,d,d_0,\rho ,g,V$ の中から必要なものを用いて表せ。

設問(4)：指を静かに離したあと，浮きの底面が液面から $d_0+x$ の深さの位置に来たときの浮きの加速度を $a$ とする。$a$ を $S,d,d_0,\rho ,g,x$ の中から必要なものを用いて表せ。このとき，浮きの運動は単振動とみなせるものとし，その運動の周期 $T$ を $S,d,d_0,\rho ,g,x$ の中から必要なものを用いて表せ。ただし，$-d\leqq x\leqq d$ であり，$x,a$ は鉛直下向きを正とする。

図 3 のように，一様な密度 $\rho$，体積 $V$ である粘度の高い液体 2 が，水平な床の上に置かれた質量 $M$ の水槽に入っている。また，体積を無視できる質量 $m$ の金属球が，天井から糸で吊るされ，水槽の側面から十分離れた位置に，液体 2 に完全に浸かり静止している。

いま，時刻 $t=0$ において糸を静かに切断すると，金属球は鉛直方向に落下運動をはじめ，その速度は終端速度に到達した。そのあと，金属球は底面に衝突し，十分に時間が経ったのちに底面上で静止した。金属球が終端速度に到達したとみなせる時刻を $t_1$，底面上で静止したとみなせる時刻を $t_2$ とする。

ここで，金属球が液体 2 の中を速度 $v$ で運動するとき，金属球は，速度と逆向きに大きさ $k|v|$ の抵抗力を受けるものとする。ただし，$k$ は正の定数とする。また，金属球の体積を無視できることから，金属球が液体 2 から受ける浮力は考えなくてもよいものとする。糸の体積や質量，糸が液体 2 や大気から受ける抵抗力，水槽の変形，液体の温度変化，液面の振動および高さの変化は無視できるものとする。重力加速度の大きさを $g$ として，以下の設問に答えよ。

設問(5)：時刻 $t=0$ で糸を切る直前および直後において，水槽が床から受ける垂直抗力の大きさをそれぞれ $N_2,N_3$ とする。$N_2,N_3$ をそれぞれ $M,\rho ,V,m,g,k$ の中から必要なものを用いて表せ。

設問(6)：時刻が $0<t<t_1$ の範囲にあるとき，液中を落下する金属球の速度を $v$，加速度を $a$（いずれも鉛直下向きを正）とする。このときの金属球に関する運動方程式を $m,g,v,a,k$ の中から必要なものを用いて表せ。また，このとき，水槽が床から受ける垂直抗力の大きさ $N_4$ を $M,\rho ,V,m,g,k,v$ の中から必要なものを用いて表せ。

設問(7)：金属球の速度が終端速度に到達したとみなせる時刻 $t=t_1$ において，水槽が床から受ける垂直抗力の大きさは $N_5$ となった。$N_5$ を $M,\rho ,V,m,g,k$ の中から必要なものを用いて表せ。

設問(8)：水槽が床から受ける垂直抗力の大きさ $N$ の時刻 $t$ に伴う変化の概形として，最も適切なものを以下の選択肢の中から 1 つ選べ。ただし，$t_1<t<t_2$ の時間における $N$ の変化は複雑なので，選択肢のグラフには描かれていない。なお，選択肢のグラフはいずれも，横軸は $t$，縦軸は $N$，原点は O であり，点線は補助線である。

第2問

図 1 のように，$xy$ 水平面内に 2 本の十分に長い導線レールが，それぞれ $x$ 軸に平行に置かれている。2 本の導線レールの間隔は $d$ であり，スイッチ ${\mathrm{S}}_1,{\mathrm{S}}_2,{\mathrm{S}}_3$，電気容量 $C,2C$ のコンデンサー，電気抵抗 $R$ の抵抗器 2 個が取り付けられている。この 2 本の導線レールの上に $y$ 軸と平行に金属棒を置く。抵抗器以外の電気抵抗および，金属棒と導線レールとの間の摩擦は無視できるものとする。また，紙面に垂直に裏から表に向かう磁束密度 $B$ の一様な磁場があるとし，接地点の電位を 0 とする。

初めは各コンデンサーには電荷は蓄えられておらず，スイッチ ${\mathrm{S}}_1$〜${\mathrm{S}}_3$ は開いている。2 本の導線レールとの接触を保ったまま金属棒を一定の速さ $v_0$ で図 1 の太い矢印の方向に動かす。このとき金属棒は常に $y$ 軸に平行とする。スイッチの開閉にかかわらず金属棒を太い矢印の方向に一定の速さ $v_0$ で動かし続けた。設問(1)〜(6)までは $B,C,R,d,v_0$ のうち必要なものを用いて答えよ。

図 1

設問(1)：${\mathrm{S}}_1$〜${\mathrm{S}}_3$ を開いた状態で一定の速さ $v_0$ で動いている金属棒に誘導起電力が生じる。図 1 の点 ${\mathrm{A}}_1$ の電位 $V_1$ を符号も含めて数式で表せ。

時刻 $t=0$ で ${\mathrm{S}}_1$ と ${\mathrm{S}}_2$ を同時に閉じると金属棒に電流 $I_1$ が流れ，十分に長い時間が経ったのち，電気容量 $C$ のコンデンサーに蓄えられた電気量 $Q$ が一定になった。

設問(2)：${\mathrm{S}}_1$ と ${\mathrm{S}}_2$ を閉じた直後に金属棒に流れる電流 $I_1$ を図 1 の矢印の方向を正として符号も含めて数式で表せ。また，$t=0$ から $Q$ が一定になる時刻までの電流 $I_1$ の時刻 $t$ に対する変化の概形として最も適切なものを以下の選択肢(ア)〜(ク)より 1 つ選べ。点線は補助線である。

設問(3)：電気容量 $C$ のコンデンサーに蓄えられている電気量 $Q$ の大きさと静電エネルギー $U$ をそれぞれ数式で表せ。

設問(4)：時刻 $t=0$ から十分に長い時間が経つまでの間に金属棒に加えられた仕事 $W$ は $W=Q|V_1|$ で与えられるとする。抵抗器で発生したジュール熱 $J$ を数式で表せ。

次に，${\mathrm{S}}_1$ を開いたのちに $t=t_1$ で ${\mathrm{S}}_3$ を閉じた。なお，${\mathrm{S}}_2$ は閉じたままである。${\mathrm{S}}_3$ を閉じ十分に長い時間が経ったのち，両コンデンサーの極板間の電位差がそれぞれ一定になった。

設問(5)：$t=t_1$ で ${\mathrm{S}}_3$ を閉じた直後に ${\mathrm{S}}_2$ に流れる電流 $I_2$ と ${\mathrm{S}}_3$ に流れる電流 $I_3$ を図 1 の矢印の方向を正として符号も含めてそれぞれ数式で表せ。また，$t=t_1$ から両コンデンサーの極板間の電位差がそれぞれ一定になる時刻までの電流 $I_2$ と $I_3$ の時刻 $t$ に対する変化の概形として最も適切なものを以下の選択肢(ケ)〜(ツ)よりそれぞれ 1 つ選べ。点線は補助線である。

設問(6)：${\mathrm{S}}_3$ を閉じ十分に長い時間が経った時点において，図 1 の点 ${\mathrm{A}}_2$ の電位 $V_2$，点 ${\mathrm{A}}_3$ の電位 $V_3$ を符号も含めてそれぞれ数式で表せ。また，$t=t_1$ から両コンデンサーの極板間の電位差がそれぞれ一定になる時刻までの電位 $V_2$ と $V_3$ の時刻 $t$ に対する変化の概形として最も適切なものを前の選択肢(ケ)〜(ツ)よりそれぞれ 1 つ選べ。

次に，図 2 のように，電気抵抗 $R$ の抵抗器，電気容量 $C$ のコンデンサー，自己インダクタンス $L$ のコイル，スイッチ ${\mathrm{S}}_1,{\mathrm{S}}_2,{\mathrm{S}}_3$ からなる回路において，導線レールの右側部分にある壁と金属棒をばねでつないだ。この時，コンデンサーに電荷は蓄えられておらず，スイッチ ${\mathrm{S}}_1$〜${\mathrm{S}}_3$ は開いている。この状態で位置 $x=a$ に金属棒を置き，時刻 $t=0$ で初速度を 0 として手を放すと，金属棒は $x=0$ を中心として一定の角振動数 $\omega$ と周期 $T$ で振動した。金属棒は常に $y$ 軸に平行であり，${\omega }^{2}LC=1$ が成り立つとする。抵抗器以外の電気抵抗および，金属棒と導線レールとの間の摩擦は無視できるものとする。以下の設問に $B,C,R,L,d,a,\omega ,t$ のうちから必要なものを用いて答えよ。なお，金属棒の位置 $x$ と $x$ 方向の速度 $v$ は時刻 $t$ の関数として，$x(t)=a\cos (\omega t)$，$v(t)=-a\omega \sin (\omega t)$ と近似できるものとする。

図 2

設問(7)：${\mathrm{S}}_1$ を開いた状態で金属棒に誘導起電力が生じる。図 2 の点 A の電位 $V_4(t)$ を符号も含めて数式で表せ。また，$t=0$ から 1 周期分の $V_4(t)$ の時刻 $t$ に対する変化の概形として最も適切なものを以下の選択肢(テ)〜(ニ)より 1 つ選べ。

次に，$t=0$ で金属棒を振動させたのちに ${\mathrm{S}}_1$ を閉じ，${\mathrm{S}}_2$ と ${\mathrm{S}}_3$ をさまざまな組み合わせで開閉した。金属棒に電流が流れる場合，金属棒は磁場から力を受けるが，この力はばねの力に比べて小さく，振動開始後の金属棒の運動は，$x(t)=a\cos (\omega t)$ で近似的に表すことができるものとする。

設問(8)：${\mathrm{S}}_2,{\mathrm{S}}_3$ の開閉の組み合わせとして，以下の(ヌ)〜(ハ)を考える。金属棒に流れる電流の振幅が最も大きくなるものをすべて選べ。

(ヌ)　${\mathrm{S}}_2$ 開，${\mathrm{S}}_3$ 開　　(ネ)　${\mathrm{S}}_2$ 開，${\mathrm{S}}_3$ 閉　　(ノ)　${\mathrm{S}}_2$ 閉，${\mathrm{S}}_3$ 開　　(ハ)　${\mathrm{S}}_2$ 閉，${\mathrm{S}}_3$ 閉

設問(9)：設問(8)で金属棒に流れる電流の振幅が最も大きい場合の電流 $I_4(t)$ を図 2 の矢印の方向を正として符号も含めて数式で表せ。また，$t=0$ から 1 周期分の電流 $I_4(t)$ の時刻 $t$ に対する変化の概形として最も適切なものを前の選択肢(テ)〜(ニ)より 1 つ選べ。

第3問

図 1 のように，空気中に被写体，焦点距離 $f$ の凸レンズ，および凸レンズの光軸に垂直にスクリーンが置かれている。被写体と凸レンズの中心の距離を ${\ell }_1$，スクリーンと凸レンズの中心の距離を ${\ell }_2$ とし，F と F′ はそれぞれ被写体側とスクリーン側の焦点である。凸レンズは固定され，被写体およびスクリーンは光軸上を動かすことができる。

図 1

設問(1)：凸レンズによる被写体の像に関する以下の文章が正しい記述になるように，(あ)，(い)，(え)，(お)は数字を記入し，(う)，(か)は選択肢(ア)〜(エ)より 1 つずつ選べ。

　${\ell }_1={\displaystyle \frac{2}{3}}f$ の場所に被写体を置き凸レンズの右側から見たところ，凸レンズから距離 (あ) $f$ の位置に，被写体の (い) 倍の大きさの (う) ができた。

　次に被写体を ${\ell }_1>f$ の範囲で凸レンズから遠ざける方向に移動させた。スクリーンの位置を調整したところ，${\ell }_1=$ (え) $f$，${\ell }_2=$ (お) $f$ のときにスクリーン上に被写体と同じ大きさの (か) が映し出された。

選択肢：(ア) 正立の虚像　(イ) 倒立の虚像　(ウ) 正立の実像　(エ) 倒立の実像

図 2 のような断面 ABC が二等辺三角形の形状をしたプリズムを空気中に用意する。このプリズムの屈折率 $n$ は 1 より大きいものとする。図 2 右は ABC での断面図であり，プリズムの長方形の面 ${\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2{\mathrm{B}}_1$ に対して矢印のように垂直方向に左より単色光を入射した場合の屈折の様子を表している。光線はプリズムの面 ${\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2{\mathrm{C}}_2{\mathrm{C}}_1$ の法線に対して角度 $\beta$ で屈折して出ていく。$\theta$ は入射光線がプリズムによって曲げられる角度である。以下の設問では，角度 $\alpha ,\beta ,\theta$ は十分小さいとして，$\sin \alpha \fallingdotseq \alpha$，$\sin \beta \fallingdotseq \beta$，$\sin \theta \fallingdotseq \theta$，$\tan \theta \fallingdotseq \theta$ を用いよ。空気の屈折率は 1 とする。また，プリズム，凸レンズと空気の境界における光の反射は無視できるものとする。

図 2

設問(2)：屈折率 $n$ を $\alpha$ と $\beta$ を用いて表せ。

設問(3)：角度 $\theta$ を $\alpha ,n$ を用いて表せ。

次に，空気中に，小さな穴（以下ピンホールとよぶ）のあいた板，凸レンズ，図 2 のプリズム，スクリーンを図 3 のように配置する。ピンホールは凸レンズの光軸上にあり，プリズムの面 ${\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2{\mathrm{B}}_1$ とスクリーンは光軸に垂直である。プリズム上の点 C は光軸上にある。スクリーン上には，光軸との交点 O を座標の原点として，図 3 のように AB に平行で上向きに $x$ 軸をとる。

図 3

図 4 は図 3 に対する，凸レンズの光軸とスクリーン上の $x$ 軸を含む平面での断面図である。凸レンズの直径 $d$ はプリズムの辺 ${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1={\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2=\mathrm{A}\mathrm{B}$ と同じ長さであり，ピンホールと凸レンズの中心の距離を $\ell$，プリズムの面 ${\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2{\mathrm{B}}_1$ とスクリーンの距離を $L$ とする。ピンホールの左側に空気中での波長 $\lambda$ の単色光源を置く。凸レンズから出た光が光軸に平行に揃えられるように距離 $\ell$ を調整する。図 4 には $x$ 軸上の座標値 $x_{\mathrm{P}}$ の点 P に到達しうる 2 本の光の経路が描かれている。光はプリズムによって角度 $\theta$ だけ曲げられた後に，点 P に到達する。

図 4

設問(4)：スクリーンとプリズムの距離 $L$ がある値 $L_{\mathrm{c}}$ 以上では，プリズムで角度 $\theta$ 曲げられたのちに点 O に到達する光線は存在しなくなる。この値 $L_{\mathrm{c}}$ を，$\ell ,\theta ,d$ のうち必要なものを用いて表せ。

ピンホールからの光は，凸レンズ通過後に図 5 のように平面波としてプリズムの面 ${\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2{\mathrm{B}}_1$ に対して垂直に入射する。$\ell$ は凸レンズの直径 $d$ に比べて十分大きく，平面波は均一とみなせるとする。この平面波は，プリズムで進行方向が曲げられた後，プリズム上半部からの平面波 1 と下半部からの平面波 2 がスクリーン上に到達する。図 5 にはスクリーン上の点 P と点 O に到達する平面波の波面の様子が描かれており，a と a′ は平面波 1 の同一波面上の点，b と b′ は平面波 2 の同一波面上の点である。線分 a′O と線分 aP は平面波 1 の波面に垂直であり，線分 b′O と線分 bP は平面波 2 の波面に垂直である。また，凸レンズの端およびプリズムの端による回折の効果は無視できるとする。

図 5

設問(5)：線分 a′O の長さを $\overline{{\mathrm{a}}^{\prime }\mathrm{O}}$，線分 b′O の長さを $\overline{{\mathrm{b}}^{\prime }\mathrm{O}}$ と表すものとする。平面波 1 と平面波 2 に対する経路長は $\overline{{\mathrm{a}}^{\prime }\mathrm{O}}=\overline{{\mathrm{b}}^{\prime }\mathrm{O}}$ を満たす。このとき，(あ) 経路長の差 $|\overline{\mathrm{a}\mathrm{P}}-\overline{{\mathrm{a}}^{\prime }\mathrm{O}}|$，(い) 経路長の差 $|\overline{\mathrm{b}\mathrm{P}}-\overline{{\mathrm{b}}^{\prime }\mathrm{O}}|$，(う) 経路長の差 $|\overline{\mathrm{a}\mathrm{P}}-\overline{\mathrm{b}\mathrm{P}}|$ をそれぞれ $x_{\mathrm{P}},\theta$ を用いて表せ。ただし，$x_{\mathrm{P}}\geqq 0$ の範囲で答えよ。

設問(6)：$x$ 軸上の点 P において平面波が強め合った。強め合う条件を $\theta ,\lambda ,x_{\mathrm{P}}$，整数 $m=0,1,2,\cdots$ を用いて表せ。ただし，$x_{\mathrm{P}}\geqq 0$ の範囲で答えよ。

設問(7)：$x$ 軸上での干渉縞の明線の間隔を $\theta ,\lambda$ を用いて表せ。

設問(8)：$x$ 軸上での光の強度分布を定性的に表す図として最もふさわしいものを，$L$ と設問(4)の $L_{\mathrm{c}}$ との大小関係が，(あ) $L<L_{\mathrm{c}}$ の場合については，選択肢(ア)(イ)(ウ)(エ)より，(い) $L>L_{\mathrm{c}}$ の場合については，選択肢(オ)(カ)(キ)(ク)より，それぞれ 1 つずつ選べ。ただし，プリズムの点 C を通る光は無視できるとする。

設問(9)：プリズムの屈折率 $n$ は光の波長の増大に伴い，$n>1$ の範囲で単調に減少するものとする。光源の波長を長くした場合の干渉縞の明線間隔の振舞いの記述に関して，最もふさわしいものを以下の選択肢(ア)〜(エ)から 1 つ選べ。

(ア)：間隔は変化しない。　(イ)：間隔は狭くなる。　(ウ)：間隔は広くなる。　(エ)：与えられた条件だけからは判断できない。