東北大 過去問 2026年 物理｜AI解答・解説・シミュレーション｜アトリエファクトリー

第1問

図 1 のように，水平でなめらかな床の上に，床に固定された壁（固定壁）と接するように質量 $M$ の直方体の箱が置かれている。箱の内側には水平面に対して角度 $\theta$ をなす斜面 AB があり，水平面 BC となめらかに接続している。点 A と点 B，点 B と点 C の水平方向の距離はいずれも $L$ である。箱の中には質量 $m$ の小球があり，斜面 AB および水平面 BC の上をなめらかに運動することができる。

重力加速度の大きさを $g$ とし，小球，床，固定壁それぞれと箱との間の摩擦，小球の大きさ，箱の変形，空気による抵抗は無視できるものとして，以下の問(1)，(2) に答えよ。解答は解答用紙の所定の場所に記入せよ。また，結果だけでなく，考え方や計算の過程も説明せよ。

図 1

問(1)　箱と固定壁が接した状態で，小球を斜面の上端（点 A の位置）で静止させ，静かにはなしたところ，小球は斜面 AB および水平面 BC から離れることなく運動し，点 C に到達した。

(a)　小球が斜面 AB 上にあるとき，小球が斜面から受ける力の大きさ $N$ を，$m$，$g$，$\theta$ を用いて表せ。

(b)　小球が斜面 AB 上にあるとき，固定壁が箱に水平右向きに及ぼす力の大きさ $F$ を，$m$，$M$，$g$，$\theta$ の中から必要なものを用いて表せ。

(c)　点 C に到達する直前の小球の速さを $v_0$ とする。$v_0$ を，$m$，$g$，$\theta$，$L$ の中から必要なものを用いて表せ。

(d)　点 C に到達した小球は箱の内壁に衝突した。衝突の反発係数を $e$（$e<1$）とするとき，衝突直後の小球の速度 $v_1$ および箱の速度 $V_1$ を，$m$，$M$，$v_0$，$e$ を用いて表せ。ただし，衝突により箱の底面が床から離れることはないものとし，速度の向きは水平右向きを正とする。

(e)　小球が箱の内壁に衝突した後，箱は固定壁を離れ，小球は水平面 BC を通過して斜面 AB をのぼっていった。水平面 BC を基準とする小球の高さの最大値 $h$ を，$m$，$M$，$v_0$，$e$，$g$，$L$ の中から必要なものを用いて表せ。ただし，箱と固定壁が衝突することはないものとしてよい。

問(2)　図 2 のように，底面を床に接したまま，箱が水平右向きに一定の加速度 $a$（$a>0$）で運動するようにした。運動する箱の中で，小球を斜面の上端（点 A の位置）で箱に対して静止させ，静かにはなしたところ，小球は斜面 AB および水平面 BC から離れることなく運動し，点 C に到達した。

図 2

(a)　小球が斜面 AB 上にあるとき，箱とともに動く人から見た小球にはたらくすべての力を，解答用紙の所定欄に図示せよ。解答では，力の向きを小球を始点とする矢印で表し，矢印のそばにそれぞれの力の名称を記すこと。

(b)　箱とともに動く人から見て，小球が点 A から点 C に到達するまでに小球にはたらく力がした仕事の総和 $W$ を，仕事の定義にもとづいて求め，$m$，$M$，$g$，$a$，$\theta$，$L$ の中から必要なものを用いて表せ。

(c)　箱とともに動く人から見た，点 C に到達する直前の小球の速さを $v_0^{\prime }$ とする。運動エネルギーの変化と仕事の関係を使って，$v_0^{\prime }$ を，$m$，$M$，$g$，$a$，$\theta$，$L$ の中から必要なものを用いて表せ。

(d)　小球が点 C に到達するためには，$a$ の値がある値 $a_0$ 以下でなければならない。$a_0$ を，$m$，$M$，$g$，$\theta$，$L$ の中から必要なものを用いて表せ。

点 C に到達した小球は箱の内壁と反発係数 $e$（$e<1$）で衝突した。

(e)　十分に長い時間が経過した後の，箱とともに動く人から見た小球の位置と時間の関係を表すグラフとして最も適当なものを，図 3 の (あ)〜(え) の中から一つ選び，記号で答えよ。また，その記号を選んだ理由を説明せよ。図の縦軸は，小球の水平方向の位置を表している。

図 3

第2問

真空中の荷電粒子の運動について考える。荷電粒子の運動に伴う自己誘導や相互誘導の影響は無視する。重力の影響も無視できるものとする。真空の透磁率を ${\mu }_0$ とする。以下の問(1)，(2) に答えよ。解答は解答用紙の所定の場所に記入せよ。また，結果だけでなく，考え方や計算の過程も説明せよ。

問(1)　図 1 のように単位長さあたりの巻数 $n$ で半径 $R$ のソレノイド（円筒状コイル）があり，電流 $I$（$I>0$）が矢印の向きに流れている。ソレノイドの長さは半径 $R$ に比べて十分に長い。ソレノイドの中心軸 AA′ 上の点 O を原点として，中心軸に沿って $z$ 軸を，$z$ 軸に直交するように $x$ 軸，$y$ 軸をとる。点 O はソレノイドの内部にあり，ソレノイドの両端から十分に遠く離れている。図 2 に A′ から見た断面図を示す。

(a)　ソレノイドの内部における磁束密度の大きさ $B$ を，${\mu }_0$，$n$，$I$，$R$ の中から必要なものを用いて表し，磁束密度の向きを，(あ) $z$ 軸の正の向き，(い) $z$ 軸の負の向き，から選び記号で答えよ。解答は結果のみでよい。

(b)　図 2 のように，荷電粒子（質量 $m$，電荷 $q$（$q>0$））を点 O から $x$ 軸の正方向に速さ $v_0$ で放出したところ，荷電粒子は等速円運動を始めた。円運動の半径を $r$，周期を $T$，および円運動の中心 P の座標を $(X,Y,0)$ とする。$r$，$T$，$X$，$Y$ を，それぞれ，$v_0$，$q$，$m$，$B$ の中から必要なものを用いて表せ。

(c)　荷電粒子がソレノイドに衝突しないためには，電流 $I$ がある値 $I_0$ より大きい必要がある。$I_0$ を，${\mu }_0$，$v_0$，$q$，$m$，$n$，$R$ を用いて表せ。

図 1

図 2

原点 O から荷電粒子 1（質量 $m$，電荷 $q$（$q>0$））と荷電粒子 2（質量 $3m$，電荷 $2q$）を同時に，同じ速さ $v_0$ で放出した。放出角度は，図 3 に示すように，荷電粒子 1 は $z$ 軸から $x$ 軸の正方向に $\theta$ で，荷電粒子 2 は $z$ 軸から $x$ 軸の負方向に $\theta$ であった。2 個の荷電粒子間にはたらく静電気力は無視できるものとする。

(d)　2 個の荷電粒子の速度の $z$ 成分が一定になる理由を述べよ。

(e)　荷電粒子を放出したときから 2 個の荷電粒子が初めて衝突するまでの時間 $T^{\prime }$ と，衝突する点 P′ の座標 $(X^{\prime },Y^{\prime },Z^{\prime })$ を，$v_0$，$\theta$，$q$，$m$，$B$ の中から必要なものを用いて表せ。ここで，2 個の荷電粒子は，ソレノイドに衝突することなく運動するものとしてよい。

図 3

問(2)　次に，一様な電場（電界）と一様な磁束密度の影響を受ける荷電粒子の運動を考える。図 4 のように点 O′ を原点とする座標軸 $(x,y,z)$ を設定する。電場は $y$ 軸の正の方向に，磁束密度は $z$ 軸の正の方向（紙面裏から表）に向いている。大きさは，それぞれ，$E$ と $B$ とする。時刻 $t=0$ に荷電粒子（質量 $m$，電荷 $q$（$q>0$））を点 O′ から静かにはなしたところ，荷電粒子は $y$ 軸の正の方向に運動し始め，$xy$ 平面内を運動した。

(a)　荷電粒子の速度の $x$ 成分，$y$ 成分をそれぞれ $v_x$，$v_y$ とするとき，荷電粒子が受ける力の $x$ 成分 $F_x$ と $y$ 成分 $F_y$ を，それぞれ，$v_x$，$v_y$，$q$，$m$，$E$，$B$ の中から必要なものを用いて表せ。

(b)　微小時間 $\Delta t$ の間に，荷電粒子の位置が $(x,y)$ から $(x+\Delta x,y+\Delta y)$ に変化したとすると，速度 $(v_x,v_y)$ は $({\displaystyle \frac{\Delta x}{\Delta t}},{\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta t}})$ と表される。また，微小時間 $\Delta t$ の間に，荷電粒子の速度が $(v_x,v_y)$ から $(v_x+\Delta v_x,v_y+\Delta v_y)$ に変化したとすると，加速度 $(a_x,a_y)$ は $({\displaystyle \frac{\Delta v_x}{\Delta t}},{\displaystyle \frac{\Delta v_y}{\Delta t}})$ と表される。運動方程式を用いると $\Delta v_x$ は，ある定数 $c$ を使って $\Delta v_x=c\Delta y$ と書ける。$c$ を，$q$，$m$，$B$ を用いて表せ。

(c)　問(2)(b) の結果とエネルギー保存則を用いて，荷電粒子の $y$ 座標の最大値 $y_1$ を，$q$，$m$，$E$，$B$ を用いて表せ。

図 4

第3問

回折格子による光の干渉について，以下の問(1)，(2) に答えよ。解答は解答用紙の所定の場所に記入せよ。また，結果だけでなく，考え方や計算の過程も説明せよ。なお，$|x|\ll 1$ となる微小量 $x$ に対しては，$\sin x\fallingdotseq x$ の近似を用いよ。

問(1)　図 1 に示すように，多数のスリット ${\mathrm{S}}_k$（$k$ は整数）が等間隔 $d$ で並んだ回折格子が大気中に置かれている。位相のそろった波長 $\lambda$ の平行光線を，回折格子の面に垂直に入射させ，回折格子と平行に置かれたスクリーンで回折光を観測する。回折格子へ入射する光の進行方向と回折光の進行方向のなす角（回折角）を $\theta$（$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$，単位はラジアン）とする。回折格子とスクリーンとの距離は，$d$，$\lambda$ に比べて十分に大きいため，各スリットからスクリーン上の一点に達する光の光路は互いに平行とみなすことができる。大気の屈折率は 1 とする。

(a)　回折角 $\theta$ でスクリーンに達する光のうち，${\mathrm{S}}_0$ を通る光と ${\mathrm{S}}_1$ を通る光の光路差 $\Delta \ell$ を，$d$，$\theta$ を用いて表せ。

(b)　図 2 は，$|\theta |\ll 1$ の範囲で，$\theta$ に対する回折光の強さの分布を示したものである。明線が生じる回折角を，${\theta }_m=m\alpha$（$m$ は整数，$\alpha$ は正の定数）と表す。$\alpha$ を，$\lambda$，$d$ を用いて表せ。

図 1

図 2

問(2)　図 3 のように，厚さ $a$，屈折率 $n$（$n>1$）のガラス平板に，一定の間隔 $2d$ で深さ $b$（$b<a$）の平坦な溝をつけ，図 1 と同じ回折格子に接して置く。ガラス平板の溝を通った光は奇数番号のスリット ${\mathrm{S}}_{2k+1}$（$k$ は整数）に入射し，ガラス平板の溝を通らなかった光は偶数番号のスリット ${\mathrm{S}}_{2k}$ に入射する。光はガラス平板の内部を直進し，ガラス表面での反射やガラス内部での減衰の影響は無視できるものとする。

ガラス平板を取り付けた回折格子は，奇数番目のスリット ${\mathrm{S}}_{2k+1}$ からなる間隔 $2d$ の回折格子 1 と，偶数番目のスリット ${\mathrm{S}}_{2k}$ からなる間隔 $2d$ の回折格子 2 を組み合わせたものとして考えることができる。以下の問(a)〜(g) には $|\theta |\ll 1$ として答えよ。

(a)　仮に，回折格子 1 のみがあったときに明線が生じる回折角を ${\theta }_m^{\prime }$ とする。問(1)(b) と同様にして，${\theta }_m^{\prime }=m{\alpha }^{\prime }$（$m$ は整数，${\alpha }^{\prime }$ は正の定数）と表す。${\alpha }^{\prime }$ を，$\lambda$，$d$ を用いて表せ。

(b)　$\theta ={\theta }_m^{\prime }$ でスクリーンに達する光のうち，${\mathrm{S}}_0$ を通る光と ${\mathrm{S}}_1$ を通る光の光路差 $\Delta {\ell }^{\prime }$ を，$d$，$\lambda$，$a$，$b$，$n$，$m$ の中から必要なものを用いて表せ。

(c)　回折格子 1 による回折光と回折格子 2 による回折光が，$\theta =0$ で強め合う場合を考える。$\theta ={\theta }_m^{\prime }$ が明線となる正の $m$ の値を，小さい順に 3 つ答えよ。

(d)　回折格子 1 による回折光と回折格子 2 による回折光が，$\theta =0$ で弱め合う場合を考える。$\theta ={\theta }_m^{\prime }$ が明線となる正の $m$ の値を，小さい順に 3 つ答えよ。

光は電磁波の一種であり，電場（電界）と磁場（磁界）の振動が波として空間を伝わるものである。回折光の電場は紙面垂直方向に振動する横波とする。

(e)　回折角 ${\theta }_m^{\prime }$ での回折光の電場を考える。回折格子 2 を通った光のスクリーン上での電場の時間変化が，$E_2=A\sin \omega t$ と表されるとき，回折格子 1 を通った光のスクリーン上での電場の時間変化は，$E_1=A\sin (\omega t+\varphi )$ と表すことができる。$t$ は時刻，$\omega$，$A$ は正の定数である。$\varphi$ の大きさを，$\lambda$ および問(2)(b) の $\Delta {\ell }^{\prime }$ を用いて表せ。

(f)　$E_1$ と $E_2$ を重ねあわせた電場の時間変化は，$E^{\prime }=A^{\prime }\sin (\omega t+{\varphi }^{\prime })$ と表すことができる。$A^{\prime }$ と ${\varphi }^{\prime }$ を，$A$，$\varphi$ を用いて表せ。ここで，必要に応じて，$\sin X+\sin Y=2\sin {\displaystyle \frac{X+Y}{2}}\cos {\displaystyle \frac{X-Y}{2}}$ の関係を用いよ。

(g)　$n=1.5$，$a=2\lambda$，$b={\displaystyle \frac{1}{2}}\lambda$ のガラス平板を用いたときの回折光の強さと $\theta$ の関係を表すグラフとして最も適切なものを，図 4 の (ア)〜(カ) の中から 1 つ選び，記号で答えよ。また，その記号を選んだ理由を説明せよ。なお，光の強さは電場の振幅の 2 乗に比例することが知られている。図 4 の (ア) は図 2 と同じグラフである。

図 3

図 4