El período de oscilación de un resorte se obtiene a partir de la ecuación de movimiento. La comparación con un péndulo permite comprobar en qué condiciones el período es independiente de la amplitud.
Cambiar las condiciones:
Cambiar los valores con el control deslizante
同じばねとおもりで振幅を9倍にすると、1往復の時間は？
長さ1 mの振り子を10°と90°から静かに放す。周期が短いのは？
Explicar el fenómeno a partir de las ecuaciones
1La fuerza del resorte se sustituye en la ecuación de movimientom d²xdt²=−k x……
2Se despeja la aceleración y se define ω²=k/md²xdt²=−ω² x……
3La expresión de la proyección del movimiento circular se deriva 2 veces para comprobar si satisface la ecuación de movimientox=A sin(ωt + φ)……
4El período se obtiene a partir del tiempo que tarda la fase en aumentar 2πT=2π√(mk)……
5Se plantea la ecuación de movimiento del péndulom L d²θdt²=−m g sinθ……
6Se estudia la ecuación para ángulos de oscilación pequeñosPeríodo en la aproximación de ángulos pequeños:T=2π√(Lg)……
7Se estudian las oscilaciones de gran amplitud sin aproximar sinθT(θ₀)＞2π√(Lg)……
Ampliación: velocidad y aceleración, resorte vertical y energía
8La velocidad y la aceleración se obtienen derivando la expresión de la posiciónv=Aω cos(ωt + φ)，a=−Aω² sin(ωt + φ)……
9Se obtiene la posición de equilibrio del resorte vertical y se reescribe la ecuación en función del desplazamiento respecto de ellaAl definir y=x − mgk, se obtienem d²ydt²=−k y……
10La conservación de la energía se deduce multiplicando la ecuación de movimiento por la velocidad½ m v²+½ k x²=½ k A²……
Lo aprendido en este capítulo
La fuerza restauradora de un resorte ideal es proporcional al desplazamiento. El período depende de la masa y de la constante elástica, y es independiente de la amplitud.
1.000 vecesRelación entre períodos (9A respecto de A)
Al soltar un péndulo desde el reposo a 90°, su período es 1.18 veces el correspondiente a soltarlo desde 10°.
En la vida cotidianaEl péndulo de un reloj de pared oscila con una amplitud pequeña, por lo que las pequeñas variaciones de amplitud apenas alteran la hora que marca.
La ecuación de movimiento que incluye la fuerza elástica −kx tiene la misma forma que la de la proyección de un movimiento circular. Por ello, su solución se expresa mediante funciones trigonométricas, y el período 2π√(m/k) no depende de la amplitud. La ecuación del péndulo también adopta aproximadamente esta forma, pero solo para oscilaciones de pequeña amplitud, cuyo período puede aproximarse por 2π√(L/g). Para oscilaciones de gran amplitud, la aproximación sinθ ≒ θ deja de ser válida y el período aumenta.