Una esfera maciza homogénea y un aro delgado, de igual masa y radio, se sueltan simultáneamente desde el reposo en planos de igual inclinación.
Cambiar las condiciones:
Cambiar los valores con el control deslizante
球が坂に沿って1 m進んだ瞬間、輪は何m進んでいるか？
摩擦のない坂で同時に放すと、同じ距離に達するのはどちらが先か？
Explicar el fenómeno a partir de las ecuaciones
1La ecuación de rotación se deduce de las ecuaciones de movimiento de las partículasdLdt=N……
2Se calcula la componente axial del momento angular de un sólido rígidoLz=I ω，I=Σ mi ρi²……
3Se compara con la ecuación de movimientoI dωdt=Nz……
4Se plantean 2 ecuaciones de movimiento para un cuerpo que rueda sin deslizarM a=M g sinθ− f，I α=f R……
Condición de rodadura sin deslizamiento: la velocidad del punto de contacto es 0 → la rapidez del centro de masa es v = Rω → al derivar respecto al tiempo se obtiene a = Rα.
5La condición de rodadura sin deslizamiento permite eliminar la fuerza de fricción de las ecuacionesa=g sinθ1 + I/MR²……
6Se comprueba la condición necesaria para rodar sin deslizarμs≧k tanθ1 + k……
7Se comparan las distancias recorridas por la esfera y el aro en un mismo instantexaroxesfera=aaroaesfera=(1 + 25)/(1 + 1)=0.70……
A partir de aquí, el momento angular permite explicar otros fenómenos
8La energía permite comparar las rapideces tras descender una misma alturaM g h=½ M v²+½ I ω²=½ M v² (1 + IMR²)……
9La conservación del momento angular permite calcular la rapidez de giro al recoger los brazosI₁ ω₁=I₂ ω₂……
10Se explica por qué gira el eje de un trompo inclinadoΩ≒M g d/(I ω)……
11Se reinterpreta el resultado como una ley de conservaciónN=0⇒L=constante……
Lo aprendido en este capítulo
Cuando ambos ruedan sin deslizar, la masa del aro se distribuye más lejos del eje que la de la esfera, por lo que su razón I/MR² es mayor. En consecuencia, la aceleración de su centro de masa, g sinθ/(1+I/MR²), es menor. Tras descender una misma altura, la fracción de energía cinética correspondiente a la rotación también es mayor en el aro.
0.70 vecesDistancia recorrida por el aro ÷ distancia recorrida por la esfera
Sin embargo, si se sueltan desde el reposo en un plano sin fricción, tanto la esfera como el aro deslizan sin girar y llegan simultáneamente.
En la vida cotidianaReducir la masa de la parte exterior de una rueda de bicicleta facilita ponerse en marcha al pedalear.
Resumen detallado
El movimiento de rotación se puede resolver con una ecuación de la misma forma que la ecuación de movimiento, sustituyendo la masa por el momento de inercia y la fuerza por el momento de una fuerza. La rapidez de rodadura depende únicamente de la forma del cuerpo, y el momento angular se conserva si el momento de las fuerzas externas es nulo. La rotación de un patinador, la precesión de un trompo y la velocidad areolar de los planetas se deducen de 1 sola ecuación.