1000 muones producidos a una altura de 3.0 km se dirigen hacia el suelo al 98% de la rapidez de la luz.
Cambiar las condiciones:
Cambiar los valores con el control deslizante
高さ3.0 kmで生まれたミュー粒子の何％が地上に届くか？
同じ速さで鉛直から60°傾いて飛ぶと、何％が地上に届くか？
Explicar el fenómeno a partir de las ecuaciones
1El principio de relatividad es el punto de partidaLas leyes de la físicaen cualquier sistema de referencia inercialse expresan de la misma forma……
2La rapidez de las ondas electromagnéticas se obtiene a partir de las ecuaciones de Maxwell en el vacío.c=1√(ε₀μ₀)≒2.998×10⁸ m/s……
3El principio de relatividad también se aplica al electromagnetismo.La rapidez de la luz en cualquier sistema de referencia inercial=c……
4El tiempo de ida y vuelta de la luz se calcula en el sistema de referencia inercial en el que el reloj está en reposo.Δt₀=2Lc……
La separación entre los espejos, perpendicular a la dirección del movimiento, también es L vista desde el suelo. Aquí se utiliza esta propiedad: solo se contraen las longitudes paralelas a la dirección del movimiento, como se verá en el paso 13.
5El tiempo de ida y vuelta de la luz en el reloj en movimiento se calcula en el sistema de referencia inercial del suelo.Δt=γ Δt₀，γ=1√(1 − v²/c²)……
6El valor de γ se calcula para distintas rapideces.γ=1√(1 − v²/c²)≒5.03（v=0.98c）……
La vida media τ es el promedio de las vidas de muchas partículas. El instante de desintegración varía de una partícula a otra; no se desintegran todas a la vez al transcurrir τ.En cada intervalo de igual duración sobrevive la misma fracción de las partículas presentes al comienzo de ese intervalo. Por ello, el número de partículas disminuye exponencialmente y, cuando t₀ = τ, se cumple N/N₀ = 1/e, como indica el punto azul oscuro de la figura.
7La ecuación de desintegración de los muones se expresa en función del tiempo medido desde el suelo.N=N₀ e−t/(γτ)……
8Se calcula la fracción que llega al suelo.NN₀=e−h/(γ v τ)≒0.397……
9En el sistema de referencia inercial que se mueve con las partículas, se calcula el espesor de la atmósfera que permite obtener la misma fracción de llegada.L=hγ≒597 m……
10Se calcula la fracción que llega al suelo cuando la trayectoria es oblicua y la distancia recorrida se duplica.NN₀=(e−h/(γ v τ))²≒0.157……
A partir de aquí se profundiza en la simultaneidad, la transformación de Lorentz, la energía y el GPS.
11Se emite luz desde el centro de un tren y se comparan los instantes en que llega a las paredes delantera y trasera.tdelante − tdetrás=2ℓ vc² − v²……
12La transformación de x′ se plantea como una expresión lineal y su coeficiente se determina mediante la condición que cumple la luz.x′=γ(x − v t)，γ=1√(1 − v²/c²)……
13Se obtiene la transformación de t′.x′=γ(x − v t)，t′=γ(t − v xc²)……
14Se obtiene la relación entre las velocidades medidas en distintos sistemas de referencia inerciales.u=u′ + v1 + u′ v/c²……
15La energía cinética se deduce a partir de la cantidad de movimiento p = γ m v y se expresa la energía total.K=(γ − 1) m c²，E=K+m c²=γ m c²……
16Se calcula el retraso de los relojes de los satélites GPS.Δt≒−v²2c² × 1 día≒-7.2 μs……
Lo aprendido en este capítulo
Al aplicar el principio de relatividad también a las ecuaciones de Maxwell en el vacío, la rapidez de la luz resulta ser c en cualquier sistema de referencia inercial. Como consecuencia, mientras transcurre un tiempo t en la superficie terrestre, para una partícula en movimiento transcurre t/γ. Su vida media medida desde la superficie es γτ, y la fracción que llega al suelo se puede calcular a partir del tiempo de vuelo y de la ecuación de desintegración.
39.7 %Fracción que llega al suelo
Si, con la misma rapidez, la trayectoria forma 60° con la vertical, la distancia recorrida es 2 veces mayor y la fracción que llega al suelo es el cuadrado de la fracción original, aproximadamente el 16%.
En la vida cotidianaEl movimiento rápido de los satélites GPS retrasa sus relojes unos 7.2 μs en 1 día. Este retraso también se corrige durante su funcionamiento.
Resumen detallado
Al aplicar el principio de relatividad también al electromagnetismo, la rapidez de la luz es c en cualquier sistema de referencia inercial. Un reloj de luz permite deducir que, mientras un reloj en movimiento mide un intervalo Δt₀, en tierra transcurre un intervalo γΔt₀. Los muones que se producen a una altura de 3.0 km tienen una vida media de 11.0 μs medida en tierra, y aproximadamente el 40% llega al suelo. En el sistema de referencia inercial que se mueve con los muones, el espesor de la atmósfera se contrae a 597 m y se obtiene la misma proporción. Estos resultados se unifican mediante la transformación de Lorentz, de la que se deduce que la composición de velocidades no permite superar c y que incluso un cuerpo en reposo posee una energía E=mc².