Las vibraciones de los átomos dentro de una molécula se estudian mediante un resorte cuántico. Incluso en el estado de energía mínima, la posición no queda fijada en 1 punto.
Cambiar las condiciones:
Cambiar los valores con el control deslizante
基底状態の位置の幅を半分にした直後、平均エネルギーは何倍か？
基底状態の位置の幅を2倍にした直後、平均エネルギーは何倍か？
Explicar el fenómeno a partir de las ecuaciones
1Se incorpora la energía potencial del resorte.−(ħ²2m) φ″+½ m ω² x² φ=E φ……
2Se sustituye una función gaussiana y se obtiene la energía.φ₀ ∝ e−mωx²/2ħ，E₀=½ ħω……
3Se estudian las energías de los estados excitados.En=ħω (n + ½)……
4Se invierte el orden de aplicación de los operadores de posición y cantidad de movimiento.x p − p x=iħ……
5Se obtiene la relación entre las dispersiones de la posición y la cantidad de movimiento.Δx · Δp≧ħ2……
6Se obtiene el límite inferior de la energía para estados con valores medios de posición y cantidad de movimiento iguales a 0.⟨E⟩≧ħ²8mΔx²+½ m ω² Δx²……
7Se obtiene la dispersión que minimiza el límite inferior de la energía F(Δx).Mínimo de F(Δx)=½ ħω，Δx=σ₀=√(ħ2mω)……
8Se obtiene la energía inmediatamente después de modificar la dispersión de la posición.⟨E⟩=2 E₀+E₀8=2.125 E₀……
Ampliación: movimiento de los valores medios y átomo de hidrógeno
9Se obtiene la evolución temporal de los valores medios de la posición y la cantidad de movimiento.d⟨x⟩dt=⟨p⟩m，d⟨p⟩dt=−⟨dVdx⟩……
A partir de aquí se estudian estados con simetría esférica en 3 dimensiones y momento angular 0. No basta con sustituir V en la ecuación de 1 dimensión.
10Se comprueban los niveles de energía del átomo de hidrógeno.En=−13.6 eVn²……
Lo aprendido en este capítulo
Cuando los valores medios de la posición y la cantidad de movimiento son 0, el límite inferior de la energía cinética aumenta al reducir la dispersión de la posición, mientras que la energía potencial aumenta al ampliarla. Al obtener el límite inferior de la energía total mediante Δx·Δp ≧ ħ/2, su mínimo es ½ħω. La distribución de probabilidad del estado fundamental no cambia con el tiempo.
2.125 veces⟨E⟩÷E₀ inmediatamente después de la operación
Al reducir a la mitad la dispersión de la posición del estado fundamental y multiplicar por 2 la de la cantidad de movimiento, la energía media se multiplica por 2.125.
En la vida cotidianaLas oscilaciones de punto cero del helio son grandes y, a presiones normales, no se solidifica por mucho que se enfríe.
Resumen detallado
Al introducir la energía potencial de un resorte en la ecuación de Schrödinger, se obtienen niveles de energía equidistantes, dados por ħω(n + ½), y la energía mínima es ½ħω. Este es el valor mínimo permitido por el principio de incertidumbre, que impide que la posición y la cantidad de movimiento tengan valores perfectamente definidos al mismo tiempo. Tanto al reducir como al aumentar el ancho de la distribución de posición, aumenta una de las dos contribuciones a la energía, la cinética o la potencial, y con ello aumenta la energía media. Por su parte, los valores medios de la posición y de la cantidad de movimiento evolucionan según las ecuaciones de movimiento, de modo que la mecánica clásica se conserva en los valores medios de la mecánica cuántica.