La fuerza sobre un paquete de ondas da lugar a la ecuación de movimiento
Se calcula el comportamiento de un electrón en un campo eléctrico usando solo la ecuación de Schrödinger y se superpone el centro del paquete de ondas a la solución de la ecuación de movimiento.
Cambiar las condiciones:
Cambiar los valores con el control deslizante
波の計算の結果は、運動方程式の答えとどれだけ違うか
Explicar el fenómeno a partir de las ecuaciones
1Se obtiene la ecuación de la onda en ausencia de fuerzaħω=ħ²k²2m……
2La superposición de ondas forma un paquete de ondasψ(x, t)=∫ A(k) ei(kx − ωt) dk……
3Se obtiene la rapidez de propagación del paquete de ondasv=dωdk=ħkm……
4La rapidez se expresa en función de la cantidad de movimientov=pm……
5Se introduce la fuerzaiħ ∂ψ∂t=−(ħ²2m) ∂²ψ∂x²− F x ψ……
6El término de la fuerza hace girar la fase de la onda a un ritmo distinto en cada posiciónψ→ψ × eiFxt/ħ……
7El número de onda aumenta con el tiempok(t)=k₀+Ftħ……
8La fuerza modifica la cantidad de movimientodpdt=F……
9Se obtiene la ecuación de movimientomdvdt=F……
A partir de aquí, la fuerza varía con la posición
10Se obtienen las ecuaciones para los valores medios cuando la fuerza varía con la posiciónd⟨p⟩dt=⟨F(x)⟩，d⟨x⟩dt=⟨p⟩m……
11Para un paquete de ondas estrecho, la fuerza media coincide aproximadamente con la fuerza en el centrom d²⟨x⟩dt²≒F(⟨x⟩)+½ F″(⟨x⟩) σ²……
12Con una fuerza elástica, ambas fuerzas coinciden para cualquier anchuraF=−kx⇒F″=0……
13Ante una barrera estrecha, el centro se aparta de la solución de la ecuación de movimientoσ≳Longitud característica de variación de la fuerza⇒El paquete de ondas se divide en 2 partes……
14En los objetos de gran masa, el paquete de ondas apenas se ensanchaTiempo característico de ensanchamiento≒2mσ²ħ……
Lo aprendido en este capítulo
La fuerza hace girar la fase a un ritmo distinto en cada posición y reduce la separación entre las crestas de la onda, de modo que ħ dk/dt = F. Al combinar esta relación con v = ħk/m, se obtiene que el centro del paquete de ondas obedece m dv/dt = F.
Esta relación se cumple cuando el paquete de ondas es más estrecho que la longitud característica de variación de la fuerza. Ante una barrera estrecha, el paquete se divide en 2 partes.
En la vida cotidianaEn un microscopio electrónico, los campos eléctricos y magnéticos desvían el haz de electrones para formar una imagen. Como el centro del paquete de ondas del electrón sigue la ecuación de movimiento, el diseño puede basarse en el cálculo de las trayectorias de los electrones.
Resumen detallado
El término que representa la fuerza en la ecuación de Schrödinger hace girar la fase de la onda en cada posición y aumenta el número de onda según ħ dk/dt = F. Como la rapidez del paquete de ondas es v = ħk/m, su centro obedece a m dv/dt = F. Cuando la fuerza varía con la posición, se cumple exactamente d⟨p⟩/dt = ⟨F(x)⟩. Si la anchura del paquete de ondas es pequeña en comparación con la escala de longitud en la que varía la fuerza, esta relación se reduce a la ecuación de movimiento.