La órbita elíptica se deduce de la ecuación de movimiento
El planeta se lanza desde el punto más cercano al Sol, en dirección perpendicular a la línea que los une. Se observa su trayectoria durante aproximadamente 1 revolución, bajo la acción exclusiva de la atracción del Sol.
Cambiar las condiciones:
Cambiar los valores con el control deslizante
次の近日点に達するまで、太陽のまわりを何度回るか？
1/r³の引力を足すと、次の近日点までに何度回るか？
Explicar el fenómeno a partir de las ecuaciones
1La aceleración se expresa en función de la distancia y el ánguloar=r − r θ²，aθ=(1r) d(r² θ)dt……
2La gravitación universal permite escribir las ecuaciones de movimiento en las 2 direccionesm (r − r θ²)=−G M mr²，(mr) d(r² θ)dt=0……
3La conservación del momento angular se deduce de la ecuación de movimiento en la dirección angularr² θ=h (constante)……
4La sustitución u=1/r convierte las derivadas respecto al tiempo en derivadas respecto a θu=1r，r=−h² u² d²udθ²……
5La sustitución en la ecuación de movimiento permite obtener una ecuación para ud²udθ²+u=G Mh²……
6La solución del movimiento armónico simple permite hallar el ángulo tras el que u vuelve a alcanzar su máximou=(G Mh²)(1 + e cosθ)……
7Se vuelve a r para examinar la forma de la órbitar=ℓ1 + e cosθ……
8El perihelio y el afelio permiten relacionar la forma de la órbita con la energíae²=1+2 E h²(G M)²……
9La velocidad areolar permite calcular el período de la órbita elípticaT²=(4π²G M) a³……
10La adición de un término de atracción proporcional a 1/r³ modifica la ecuación de ud²udθ²+(1 − κh²) u=G Mh²……
11El ángulo tras el que u vuelve a alcanzar su máximo permite calcular el avance del perihelioΘ=360°√(1 − κ/h²)……
Lo aprendido en este capítulo
En una órbita elíptica debida a una atracción proporcional a 1/r², u=1/r oscila con un período de 360° respecto al ángulo recorrido θ. Cuando θ aumenta 360°, la distancia r al Sol vuelve a su valor inicial en todas las direcciones. Por ello, la órbita se cierra tras 1 revolución.
Al añadir una atracción proporcional a 1/r³ con la intensidad utilizada aquí, la dirección del siguiente perihelio avanza 7.42°.
El caso real de MercurioEl perihelio de Mercurio presenta un avance adicional de 43 segundos de arco cada 100 años, explicado por la relatividad general.
Resumen detallado
Al eliminar el tiempo mediante la conservación del momento angular y definir u = 1/r, la ecuación de movimiento del planeta se convierte en una ecuación de movimiento armónico simple en función del ángulo. Para una fuerza proporcional a 1/r², el período es exactamente de 360°, por lo que la órbita es una curva cónica cerrada de la forma r = ℓ/(1 + e cosθ), cuya excentricidad queda determinada por la energía. Si la fuerza deja de ser proporcional a 1/r², el período de oscilación de u difiere de 360° y el perihelio avanza al completar 1 revolución.