El lagrangiano y la condición de acción estacionaria
Se fijan las posiciones y los instantes de partida y llegada, y se calcula para cada trayectoria un único número llamado «acción».
Cambiar las condiciones:
Cambiar los valores con el control deslizante
時間幅 3π/2 s。どちらの経路の作用が小さいか？
時間幅を π/2 s にすると、作用が小さい経路は？
Explicar el fenómeno a partir de las ecuaciones
1Construcción del lagrangianoL=T − U=½ m x² − U(x)……
2La acción S se obtiene integrando L a lo largo de la trayectoriaS=∫t₁t₂ L(x, x) dt……
3Una pelota lanzada verticalmente hacia arriba permite estudiar cómo varía la acción al modificar la trayectoriax(t)→x(t)+ε η(t)，η(t₁)=η(t₂)=0……
4Desarrollo de L para obtener la variación de orden 1 de la acciónδS=ε ∫t₁t₂(∂L/∂x · η+∂L∂x · η)dt……
Objetivo: sacar η como factor común en el integrando para obtener una condición válida para cualquier η. El término que contiene η impide hacerlo directamente.
5El término que contiene η se integra por partes para sacar η como factor comúnδS=ε ∫t₁t₂[∂L/∂x− ddt(∂L/∂x)]η dt……
6Condición para que δS = 0 con cualquier forma de perturbaciónddt (∂L∂x)=∂L∂x……
7La condición de acción estacionaria permite deducir la ecuación de movimiento de Newtonm x=−dUdx……
8Cálculo de la variación de orden 2 de la acción para un resorteS(A) − S₀=(m A² τ4)[(πτ)² − km]……
9El movimiento del péndulo se describe mediante un ánguloL=½ m ℓ² θ²+m g ℓ cosθ→θ=−(gℓ) sinθ……
Ampliación: aplicaciones a otros movimientos
10El método también se aplica al péndulo dobleL(θ₁, θ₂, θ₁, θ₂)→2 ecuaciones……
11Reformulación mediante el hamiltonianoH=p x − L，x=∂H∂p，p=−∂H∂x……
12Representación en el plano del ángulo y la cantidad de movimiento generalizadaH(θ, p)=Constante……
Lo aprendido en este capítulo
La condición de que la variación de orden 1 de la acción sea 0 ante cualquier pequeña modificación de la trayectoria que mantenga fijos los extremos es, en este capítulo, equivalente a la ecuación de movimiento de Newton. En el caso del péndulo, al incorporar la condición de longitud constante del hilo mediante el uso del ángulo como coordenada, se puede formular la ecuación de movimiento sin calcular la tensión.
−6.54 mJ·sDiferencia de acción para τ=3π/2 s
Una acción estacionaria no tiene por qué ser mínima. Para un intervalo de tiempo de 3π/2 s, la acción de la trayectoria candidata es 6.54 mJ·s menor que la de la trayectoria en reposo.
En la vida cotidianaLa trayectoria de la luz al refractarse también se obtiene imponiendo que la variación de orden 1 del tiempo de recorrido sea 0 al perturbar ligeramente el punto de paso (principio de Fermat).
Resumen detallado
El movimiento puede determinarse a partir de la fuerza en cada instante o de la condición de que la acción S de la trayectoria completa sea estacionaria (su variación de orden 1 es 0). Los 2 enfoques son equivalentes, pero el segundo permite elegir libremente las coordenadas y prescindir de las fuerzas de ligadura. Una acción estacionaria no es necesariamente mínima: si el intervalo de tiempo es largo, puede haber trayectorias cuya acción sea menor que la de la trayectoria real. Al pasar del lagrangiano al hamiltoniano, se obtiene una formulación que sirve de punto de partida para la mecánica cuántica y la mecánica estadística.
Recordar
出発・到着 x = 0、候補 A sin(πt/τ)。k = 4.0 N/m、m = 1.0 kg、τ = π s で作用が小さいのは？