Gravitación universal y movimiento de los planetas
Un pequeño cuerpo celeste recorre una órbita elíptica con la estrella central en uno de sus focos. Al principio, la distancia desde la estrella hasta el punto más lejano es 2 veces la distancia hasta el punto más cercano.
Cambiar las condiciones:
Cambiar los valores con el control deslizante
最遠点での速さは、最接近点での速さの何倍か？
半径1.0と2.0（×10¹¹ m）の円軌道。外側の速さは内側の何倍か？
Explicar el fenómeno a partir de las ecuaciones
1Se expresa la fuerza gravitatoriaF=G M mr²……
2Se obtiene la variación temporal del momento angular a partir de la ecuación de movimientod(𝐫 × m𝐯)dt=𝐫 × 𝐅……
3Se deduce la conservación del momento angular a partir de una fuerza dirigida hacia el centro𝐫 × m𝐯=Constante……
4Se calcula la razón entre las rapideces en el punto más cercano y en el más lejanovlejanovcercano=rcercanorlejano……
A partir de aquí se estudian órbitas circulares: se pasa de los extremos de una elipse a una órbita de radio constante.
5Se obtiene la rapidez en una órbita circularv=√(G Mr)……
6Se obtiene la energía potencialU=−G M mr……
7Se aplica la conservación de la energía½ m v²−G M mr=E……
Ampliación: movimiento de la Tierra y la Luna y leyes de las órbitas
8Se aplica el resultado a la superficie terrestreg=G MR²……
9Se comprueba que la Luna también está cayendoaLuna=g (Rr)²……
10Se obtiene la relación entre el período y el radioT²=(4π²G M) r³……
11Se calcula la velocidad de escapev=√(2 G MR)……
12Se resuelve numéricamente para observar la forma de la órbitam d²𝐫dt²=−G M m 𝐫r³……
Lo aprendido en este capítulo
Al acercarse al Sol, la energía potencial disminuye y la energía cinética aumenta, por lo que el cuerpo se mueve más rápido. También se conserva el momento angular. Como rv tiene el mismo valor en el punto más cercano y en el más lejano, se puede calcular la razón entre las rapideces en ambos puntos.
0.500 del valor inicialRazón entre las rapideces en las condiciones iniciales
Al comparar 2 órbitas circulares de distinto radio, si el radio se duplica, la rapidez se reduce aproximadamente a 0.71 de su valor.
En la vida cotidianaLa Tierra alcanza su mínima distancia al Sol a principios de enero, cuando se mueve a unos 30.3 km/s. A principios de julio, en el punto más lejano, su rapidez es de unos 29.3 km/s.
Resumen detallado
Al introducir la fuerza de gravitación universal GMm/r² en la ecuación de movimiento, se obtienen las 3 leyes de Kepler. Como la fuerza apunta hacia el centro, el momento angular y la velocidad areolar permanecen constantes, y en los extremos del eje mayor de la elipse la rapidez es inversamente proporcional a la distancia al centro de atracción. De la ecuación de movimiento para una órbita circular se obtiene T² ∝ r³, y al resolver numéricamente la ecuación de movimiento se obtiene una órbita elíptica con el Sol en uno de sus focos. Tanto el peso mg en la superficie terrestre como el movimiento de la Luna son manifestaciones de 1 misma fuerza.