Sobre un suelo sin fricción, se comprime el resorte situado entre un cuerpo de 1 kg y otro de 3 kg y se suelta cuando ambos están en reposo.
Cambiar las condiciones:
Cambiar los valores con el control deslizante
自然長に戻ったとき、3 kgの速さは1 kgの何倍か？
右を固定すると、ばねが自然長に戻ったときの左の速さは、固定しない場合の何倍か？
Explicar el fenómeno a partir de las ecuaciones
1Se considera el caso en que L no depende de la posición∂L∂x=0⇒p=∂L∂x=constante……
2Se escribe el lagrangiano L de los 2 cuerposL=½ m₁ x₁²+½ m₂ x₂²− U(x₂ − x₁)……
3Los 2 cuerpos se trasladan la misma distancia a en el mismo sentidox₁→x₁+a，x₂→x₂+a⇒∂L∂x₁+∂L∂x₂=0……
4Se suman las ecuaciones de Euler-Lagrange de los 2 cuerposd(p₁ + p₂)dt=0……
5Se aplica el resultado a los 2 cuerpos inicialmente en reposom₁ v₁+m₂ v₂=0⇒|v₂||v₁|=m₁m₂……
6Se define H como posible magnitud conservada y se estudia su variación temporaldHdt=px+p x− (∂L∂x) x− (∂L∂x) x− ∂L∂t……
7Se eliminan los términos que se cancelan∂L∂t=0⇒H=∑ᵢ pᵢ xᵢ − L=constante……
8Se calculan las 2 rapideces a partir de la conservación de la cantidad de movimiento y de la energía½ k d²=½ m₁ v₁²+½ m₂ v₂²……
9Se fija al suelo el cuerpo de la derechaCon el cuerpo fijo:p₁+p₂ no es constante，Por conservación de la energía½ m₁ v₁²=½ k d²……
Ampliación: simetría de rotación, trabajo externo, fase y fricción
10Se considera un lagrangiano L invariante ante rotaciones∂L∂θ=0⇒m r² θ=constante……
11Se modifica la constante elástica con el tiempok(t)=k₀(1 + ε cos 2ω₀t)⇒dHdt=½ (dkdt) x²，En general, es distinto de 0……
12Se reúnen las correspondenciasSimetría continua→Magnitud conservada correspondiente……
13Se desplaza la fase de la ondaDel campo de Schrödinger:Simetría de fase de la acción→Conservación de la probabilidad total……
14Se reconsidera el caso con fricciónEnergía mecánica→Energía interna del suelo y de los cuerpos……
Lo aprendido en este capítulo
Como L no cambia al variar únicamente el instante manteniendo iguales la posición y la velocidad, dH/dt=0. En este dispositivo, H=T+U, por lo que la energía total se conserva. Además, en el caso sin fijar, L no cambia al trasladar todo el dispositivo, de modo que también se conserva la cantidad de movimiento total de los 2 cuerpos.
1/3Razón entre las rapideces |v₂|/|v₁|
Al fijar el cuerpo de la derecha, la cantidad de movimiento total de los 2 cuerpos no se conserva. Con la misma compresión, la rapidez del cuerpo de la izquierda es aproximadamente 1.15 veces la del caso sin fijar.
En la vida cotidianaCuando 2 personas se empujan sobre el hielo, la de menor masa se aleja con mayor rapidez.
Las leyes de conservación no son leyes que deban memorizarse por separado. Las 3 simetrías que expresan que las leyes son las mismas en cualquier lugar del espacio, en cualquier orientación y en cualquier instante dan lugar a la conservación de la cantidad de movimiento, del momento angular y de la energía. Si se fija al suelo el cuerpo de la derecha, el sistema formado por los 2 cuerpos y el resorte recibe una fuerza externa del soporte, por lo que la cantidad de movimiento total deja de conservarse. Sin embargo, la energía se conserva porque el soporte no realiza trabajo y L no depende del tiempo. Todas las leyes de conservación estudiadas en la enseñanza secundaria eran manifestaciones de esta 1 idea.