Oscilación amortiguada, oscilación forzada y resonancia
Se aplica una fuerza externa periódica de amplitud 0.20 N a un objeto de 1.0 kg unido a un resorte de constante elástica 4.0 N/m.
Cambiar las condiciones:
Cambiar los valores con el control deslizante
十分時間がたつと、振幅は一定の力F₀による伸びF₀/kの何倍か？
抵抗係数だけを10倍にすると、定常振幅はF₀/kの何倍か？
Explicar el fenómeno a partir de las ecuaciones
1Se incorporan una fuerza de resistencia y una fuerza externa periódicam d²xdt²=−k x− b dxdt+F₀ cos ωt……
El movimiento del sistema se expresa como la suma de la solución de la ecuación sin fuerza externa, xlibre, y la oscilación estacionaria que persiste con la misma frecuencia angular que la fuerza externa, xforzada: x = xlibre + xforzada (el paso 10 explica por qué se pueden sumar).xlibre es la componente que compensa la diferencia entre las condiciones iniciales de posición y velocidad y las de la oscilación estacionaria. La posición inicial 0 y la velocidad inicial 0 del sistema no se asignan directamente a xlibre (la determinación de los coeficientes se explica al final del paso 4).
2Se sustituye una función exponencial en la ecuación sin fuerza externax=eλt⇒m λ²+b λ+k=0……
3Las soluciones se clasifican en 3 casos según la intensidad de la resistenciaλ=−γ ± √(γ² − ω₀²)……
4Se obtiene una solución con la misma frecuencia angular que la fuerza externaxforzada=Re(A eiωt)⇒(k − mω² + i b ω) A=F₀……
5Se obtiene la amplitud|A|=F₀√((k − mω²)² + (bω)²)……
6Se aplica la fuerza a la frecuencia angular natural|A|=F₀b ω₀……
7Se obtiene el retraso de fase del desplazamiento respecto a la fuerza externatan δ=2γωω₀² − ω²……
8Se comprueba numéricamente la transición a la oscilación estacionariax(t)→|A| cos(ωt − δ)……
9Q expresa qué tan pequeño es el amortiguamientoQ=ω₀2γ=kb ω₀……
Ampliación: movimiento debido a varias fuerzas externas
10Se suman la solución sin fuerza externa y la solución estacionariax=xlibre+xforzada……
Lo aprendido en este capítulo
Al aplicar la fuerza a la frecuencia angular natural, el desplazamiento de la oscilación estacionaria se retrasa 1/4 de período respecto a la fuerza externa, y la velocidad y la fuerza externa tienen el mismo sentido. El crecimiento de la amplitud se explica porque el trabajo de la fuerza externa, promediado por período, supera la pérdida de energía debida a la resistencia. En la oscilación estacionaria, la fuerza externa y la resistencia se anulan entre sí, y la amplitud es F₀/(bω₀).
5.0 vecesAmplitud ÷ F₀/k
Al mantener las demás condiciones y multiplicar el coeficiente de resistencia por 10, la amplitud estacionaria pasa a ser 0.5 veces F₀/k.
En la vida cotidianaUn edificio alto puede oscilar intensamente si el período de las oscilaciones de un terremoto se aproxima a su período natural.
Resumen detallado
Incluso una ecuación diferencial cuya solución se desconoce puede convertirse en un problema algebraico al sustituir una función exponencial. En presencia de una fuerza de resistencia, la amplitud de la oscilación disminuye exponencialmente. Si se aplica una fuerza externa periódica, la amplitud aumenta de forma pronunciada cerca de la frecuencia natural. Cuando la frecuencia angular de la fuerza externa coincide con la frecuencia angular natural, la fuerza del resorte constituye la fuerza neta que produce la aceleración, mientras que la fuerza externa equilibra la fuerza de resistencia. Por ello, la resistencia determina la amplitud. El funcionamiento de un columpio, un diapasón y una radio puede explicarse con 1 sola ecuación.