Las ondas se representan como una superposición de ondas sinusoidales
La forma de una cuerda pulsada se representa como una suma de ondas sinusoidales. Además, se compara cómo se aproxima la suma a una forma continua y a otra con saltos al aumentar el número de términos.
Cambiar las condiciones:
Cambiar los valores con el control deslizante
項数を20から1000へ増やすと、行きすぎは跳びの高さの何%に近づくか？
幅0.02 mでつなぐと、20項から1000項で行きすぎはどう変わるか？
Explicar el fenómeno a partir de las ecuaciones
1Un punto de una circunferencia se representa con un solo númeroeiθ=cosθ+i sinθ……
2La derivación se expresa como una multiplicaciónddt eiωt=iω eiωt……
3Los modos normales de la cuerda se enumeranyn=sin(nπxL) cos(ωn t)……
4La superposición permite construir una formaSN(x)=Σn=1N bn sin(nπxL)……
5Se estudia la ortogonalidad de las ondas sinusoidales de distinto orden∫0Lsin(nπxL)sin(mπxL)dx=(L2) δnm……
6Se aísla el coeficiente bnbn=(2L) ∫0Lf(x) sin(nπxL) dx……
A partir de aquí, los cálculos se realizan con la variable ξ = x/L, obtenida al dividir la posición por L y sin unidades.Las ecuaciones de los pasos 7 a 10 se expresan en ξ. Como L = 1 m, el valor de ξ coincide con el valor numérico de x medido en m. El eje horizontal de las figuras sigue siendo x［m］.
7Se calculan los coeficientes de la cuerda pulsadabn=8h sin(nπ/2)n²π²……
A partir de aquí se considera una función con saltos, en lugar de una cuerda física: en el modelo de cuerda con pendientes pequeñas, el desplazamiento no presenta saltos. La expresión «forma de la cuerda» se refiere únicamente al triángulo del paso 7.
8Se calculan los coeficientes de la forma con saltosbn=(2nπ)[cos(nπ/4)− cos(3nπ/4)]……
9Se calcula la altura del pico cercano al saltoPara N grandeAltura del pico de SN≒12+Si(π)π≒1.0895……
10Se obtiene una cota de la desviación para la forma con los saltos unidos por segmentos rectos|SN − f|≦8aπ² N……
Ampliación: evolución temporal de la cuerda y transformada de Fourier
11Cada componente evoluciona en el tiempoy(x, t)=½[F(x − ct) + F(x + ct)]……
12Una señal breve se representa mediante una superposición de ondas con un espectro continuo de frecuenciasΔt · Δω=1 (anchura del perfil gaussiano)……
Lo aprendido en este capítulo
La forma de una cuerda pulsada se puede expresar como una suma de ondas sinusoidales. Si la forma presenta una discontinuidad de salto, al aumentar el número de términos, el pico se estrecha y se acerca al salto, pero la sobreoscilación relativa tiende aproximadamente al 9%.
8.98%Sobreoscilación relativa a la altura del salto
Si el salto se sustituye por un segmento recto de anchura 0.02 m, la sobreoscilación con N=1000 es del 0.17%.
En la vida cotidianaAl comprimir mucho una fotografía, pueden aparecer patrones de ondulaciones finas junto a los contornos bien definidos.
Resumen detallado
Al usar eiθ, la derivación de una oscilación se convierte en una multiplicación, y las ecuaciones diferenciales se transforman en ecuaciones algebraicas. La forma de una cuerda fija en ambos extremos puede expresarse como una suma de funciones seno correspondientes a sus modos normales de vibración, y los coeficientes se obtienen mediante la ortogonalidad. Si la forma es continua, aunque presente puntos angulosos como los de una cuerda pulsada, la suma converge a la forma original en todos los puntos. Si la forma presenta una discontinuidad de salto, persiste cerca del salto una sobreoscilación de aproximadamente el 9%. Cada componente oscila con su propia frecuencia, de modo que su suma permite describir el movimiento completo.