用公式解释现象
- 1构造拉格朗日量L
= T − U= ½ m x² − U(x)…… - 2沿路径
对 SL积分， 求得 作用量 S = ∫t₁t₂ L(x, x) dt…… - 3以竖直
上抛 x(t)的 小球 为例， 观察 路径 的 扰动 方式 与作用量 的 变化 → x(t)+ ε η(t) ，η(t₁)= η(t₂) ……= 0 - 4展开
L， δS求作 用量 的 1阶变化 = ε ∫t₁t₂(∂L/∂x · η+ ∂L∂x · η) dt…… - 目
的： 为 得 出 对 任意 η都 成立 的 条件， 需要 在 被 积式 中 提取 公因子 η。 含 η的 项妨 碍 了 这一步。 - 5对
含 δSη的 项作 分部 积分， 提取 公因子 η = ε ∫t₁t₂[∂L/∂x− ddt(∂L/∂x)]η dt…… - 6求
出 ddt (∂L∂x)任意 扰动 方式 下均有 δS = 0的 条件 = ∂L∂x…… - 7由驻定
条件导出牛顿 m x运动 方程 = −dUdx…… - 8计算弹
簧 S(A) − S₀振子 作 用量 的 2阶变化 = (m A² τ4)[(πτ)² − km]…… - 9用
角度 L描述 单摆 的 运动 = ½ m ℓ² θ²+ m g ℓ cosθ → θ= −(gℓ) sinθ …… - 拓展：
在 其他 运动 中 的 应用 - 10同样
适用 L(θ₁, θ₂, θ₁, θ₂)于 双摆 → 2个方程…… - 11改写为
哈密顿量 H= p x − L ，x= ∂H∂p，p ……= −∂H∂x - 12在
角度 H(θ, p)与 广义 动量 构成 的 平面 上绘图 = 恒定……