折り紙と数学

点を重ねる折り方は、線対称の作図になる。折り目の角度は、平らに畳めるかを決める。同じ幾何学が、鶴の展開図から宇宙で開く構造までつながっている。

鶴の展開図赤は山、青は谷

平らに折った鶴面の重なりを灰色で示す

図は「進める」で1ステップずつ動く。白い丸はドラッグできる。

折るとは線対称

紙の点 P を点 Q に重ねる。折り目の上の点は、P と Q から等しい距離にある。そのため折り目は、線分 PQ の垂直二等分線になる。

紙の片側は、折り目を軸に回る。平らになるまで折ると、移った点は折り目について線対称の位置に来る。紙の上の長さは変わらない。

XP = XQX は折り目の上の点

辺と辺を重ねて折れば、その角を二等分できる。点を重ねる操作と線を重ねる操作が、折り紙の作図の出発点になる。

点 P・Q を動かす線対称の作図

白い丸をドラッグ。選択した点は矢印キーでも動かせる。

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折り目の単位方向を u、折り目上の点を c とする。点 p の射影は f = c + u(u·(p−c))。線対称の点は p′ = 2f−p となる。図では、回転中の座標も折り目からの距離を保って計算する。

出典：三谷純「折り紙の中の数学」。

芳賀の定理で分数を作る

正方形の辺を 1 とする。上の辺の点 P を、右上の角から距離 a の位置に取る。右下の角を P に重ねて折る。

移った下の辺と左の辺の交点を Q とする。左上の角から Q までの長さは、a だけで決まる。

左上から Q まで = 2a / (1+a)

a を 1/2 にすれば、長さ 2/3 の位置ができる。辺を半分に折って目印を付ければ、定規を使わずに三等分につながる長さを取れる。

上辺の点 P を動かす正方形の辺 = 1

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折り目は (1,0) と (1−a,1) の垂直二等分線。線対称で移した下辺と x=0 の交点は Q=(0,(1−a)/(1+a)) になる。左上からの距離は 1−(1−a)/(1+a)=2a/(1+a)。

芳賀和夫は「オリガミクス」という言葉を作った生物学者。出典：芳賀, Origamics Part 1（1999）、Wikipedia “Mathematics of paper folding”。一般化：オクムラ（Okumura）（2014）。

作図を支える7つの基本操作

点を通る、点を線に乗せる、線を重ねる。折り紙の単純な折り方は、これらの条件を組み合わせた7つの操作で表せる。

条件を指定しても、折り目が1本に決まるとは限らない。操作5では解が0〜2本、操作6では0〜3本ある。図は、条件を満たすすべての折り目を青の点線で示す。どれも谷折りとして描く。

操作6は、2点をそれぞれ別の直線へ同時に乗せる。これが、次の章で3次方程式を解く作図になる。

点と、直線上の丸を動かす青の点線が計算した解（谷折り）

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操作5では、固定する点を中心とし、動かす点を通る円を考える。その円と目標の直線の交点が、点を移す先になる。交点ごとに垂直二等分線を作る。

操作6では、片方の点の移動先を直線上のパラメータ t で表す。もう片方の点も目標の直線に乗る条件を整理すると、t の3次以下の方程式になる。実根をすべて求め、線対称の条件を再検査する。

1980年代にジャック・ジュスタン（Jacques Justin）が7つの操作を記した。その後に藤田と羽鳥が独立に再発見した。操作7は、新しい作図可能数を増やさない。細かい年の記載は資料によって異なる。出典：三谷純、Wikipedia “Huzita–Hatori axioms”、アルペリン（Alperin）とラング（Robert Lang）（2009）。

折る作図は3次方程式を解く

定規とコンパスの作図は、2次方程式を解く操作まで扱える。角の三等分と立方体の体積を倍にする作図は、それだけではできない。

折り紙の操作6は、2つの条件を同時に満たす折り目を作る。阿部恒の方法では角を三等分できる。メッサー（Peter Messer）の方法では、立方体の体積を倍にする辺の比、2の3乗根を作れる。

阿部の方法では、角の頂点 O を水平線へ、左辺の点 B を角の斜めの辺へ同時に乗せる。O とその移動先 O′ を結ぶ線が、角を三等分する。

角 θ 60°

補助線 → 同時折り → 結果操作6を使う

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阿部の作図では O=(0,0)、B=(0,2h) とする。折り目の法線の角を φ とすると O′=(h cotφ,h)。B′ が角 θ の辺に乗る条件は tanθ=tan3φ になる。図は正方形の中に移動先が来る φ=θ/3 の解を使う。

メッサーの作図では O=(0,0)、B=(0,1/3)。O を右辺へ、B を高さ 2/3 の線へ乗せる。O′=(1,u) とすると 3u³−3u²+3u−1=0。r=(1−u)/u とおけば r³=2 となる。

阿部の方法は1980年に報告された。メッサーの作図は1986年。ベロッホ（Margherita Beloch）は1936年に同時折りで一般の3次方程式を解いた。出典：三谷純、ハル（Hull）（2011）、メッサー, Crux Mathematicorum 12(10)。正七角形も折り紙で作図でき、2cos(2π/7) は z³+z²−2z−1=0 の解となる。

1点のまわりに平らに折れる条件がある

折り線が1点に集まると、そのまわりに角が並ぶ。川崎の定理では、折り線が偶数本で、1つおきの角の和がどちらも180°なら、山谷を適切に選んで平らに折れる。

α₁ + α₃ + … = 180°
α₂ + α₄ + … = 180°

前川の定理は、平らに折れた頂点で、山と谷の本数の差がちょうど2になることを示す。

|山の本数 − 谷の本数| = 2

山谷を指定した場合は、その並び方も効く。両隣より小さい角の両側は、山谷が異なる。図では角度と本数に加え、指定した山谷で折り返せることも確かめる。

端の丸で角度、線を押して山谷扇形を折り返す

折り線の角度と山谷を変えられる

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平らに畳んだとき、隣の扇形は折り線で鏡映になる。向きが交互に反転するため、最初の面と最後の面がつながるには、角の交互和が0でなければならない。

川崎の条件だけでは山谷の指定は決まらない。前川の条件を加えても、任意の山谷の並びを許せるわけではない。図は最小の角を山谷の異なる折り目で消していく方法で、山谷の並びを調べる。

これらの結果は複数の人が独立に見つけた。村田の1966年の論文にも結果があり、1970年代末〜1980年代に川崎・ロバートソン（Robertson）・ジュスタンらが独立に得た。名称はカサハラ（Kasahara）とタカハマ（Takahama）（1987）に見られる。出典：三谷純、Wikipedia “Kawasaki's theorem” “Maekawa's theorem”。

鶴の展開図にも同じ条件が現れる

内部の頂点を押して数字を表示鶴の内部頂点 54個

手元の150作品の展開図で、内部頂点3,654個を調べた。すべてで川崎と前川の条件が成り立った。内部頂点のない作品は4つある。

平らに折った結果から得た展開図を使うため、これは定理どおりになることの確かめに当たる。

詳しく — 確かめの方法

紙の外周に接する頂点を除く。山・谷の折り線だけを集め、方向の角度を順に並べる。隣り合う角度の差から1つおきの角の和を計算し、山と谷の本数も数える。

検査そのものも確かめた。各頂点の山谷を1本変えると、3,654個すべてで前川の条件が不成立になった。折り線を約1.7°回すと、3,654個すべてで川崎の条件が不成立になった。

出典：同梱の展開図データと検査結果。図も同じ頂点・辺のデータから描く。

頂点の条件だけでは全体は決まらない

各頂点のまわりで折れても、離れた部分どうしが交差して、紙全体を平らに折れない場合がある。全体の判定には、面の重なり方まで扱う必要がある。

細長い紙なら、隣り合う山谷で短い区間を畳む「クリンプ」と、短い端を折る操作を繰り返して判定できる。クリンプは、中の区間が両隣以下の長さで、両側の山谷が異なるときに使える。

一般の展開図の判定は NP 困難である。これは、広い種類の難しい計算問題を、この判定に置き換えられることを指す。

山谷を指定した m×n の地図折りは、NP 困難か多項式時間で解けるかが未解決。細長い紙と 2×n の地図は、多項式時間で判定できる。

短い区間から折る細長い紙の判定

詳しく

多項式時間とは、入力の大きさのある固定の累乗で計算量を抑えられること。細長い紙では、クリンプと端の折りを取り除いても、残った部分の折れる・折れないが保たれる。

出典：バーン（Bern）とヘイズ（Hayes）, SODA（1996）、アキタヤ（Akitaya）ら “Box pleating is hard”（2016）、アーキン（Arkin）ら “When can you fold a map?”（2004）、モーガン（Morgan）（2012）、三谷純。

番号つきの切手の折り方の数は 1, 2, 6, 16, 50, 144, 462 と続く。一般式は知られていない。出典：OEIS A000136。

折る回数が増えると必要な長さが急に増える

数学の紙に厚さがなくても、実際の紙には厚さがある。同じ方向に半分ずつ折ると、折り返す部分は内側の紙を回り込む。折る回数が増えると、必要な長さが急に増えていく。厚さを変えたときの長さは、厚さに比例する。

L = (πt / 6)(2ⁿ+4)(2ⁿ−1)n：折る回数　t：紙の厚さ　L：必要な長さ

ギャリバン（Britney Gallivan）は高校生のときにこの式を導いた。2002年、長さ1,219 mのトイレットペーパーを、同じ方向に12回半分に折った。

回数が増えるほど、式の中の2ⁿが長さを大きくする。薄い紙に変えると、必要な長さは厚さに比例して小さくなる。

1方向に折る紙の断面長さと厚さを計算

回数 n 6厚さ t（mm）

厚さの値は計算用に設定した値。断面は拡大して表示する。

詳しく

ギャリバンは2001年12月に式を導き、2002年1月27日に実際に折った。紙の長さは4,000フィート。13回の記録は St. Mark's School の生徒によるもので、複数の巻きをつないでいる。

出典：Guinness World Records。図の厚さは計算用の入力値。紙の製品ごとの実測値は用いていない。断面の曲線は半円で描き、厚さと層数の増え方を示す。

突起の長さを紙の上の距離へ移す

脚や角を作るには、その長さに使える紙を確保する。長さ r の突起に半径 r の円を対応させると、円の配置として考えられる。

作りたい形を、枝分かれする線の図「ツリー」で表す。枝先どうしを紙に配置するときは、木に沿って測った距離以上の間隔が必要になる。

紙の上の距離 ≥ 木の上の距離中心から枝分かれする木では、枝先 i・j の距離 ≥ rᵢ+rⱼ

図では円の重なりと紙の外へのはみ出しを減らすように、位置を少しずつ更新する。枝を長くすると必要な円も大きくなり、同じ紙に収める条件が厳しくなる。

突起のツリー

正方形への円の配置

詳しく

1980年代に前川淳の「悪魔」が、部品に分けて展開図を組み立てる考え方を広めた。目黒俊幸とラングらが理論を進めた。両者は1990年代初めに独立に近い考えに至った。

Tree Method はツリーから距離の制約を作る設計方法。ラングは設計ソフト TreeMaker を公開した。出典：三谷純、ラング, Origami Design Secrets。

図の更新は円の重なりを減らす局所的な計算。重なりとはみ出しの量は、円の重なり量と外へのはみ出し量をそれぞれ二乗して足したもの。最適な配置を必ず見つけるという意味ではない。

平らに折れば一刀で輪郭を切れる

線分でできたどんな図形も、紙を平らに折って、1回まっすぐ切るだけで切り抜ける。これが一刀切りの定理である。

ここでは五角の対称性を使う。円形の紙を半分に折る。さらに折り返すと、扇形が10枚重なる。重なった紙を直線で切ると、開いた輪郭は、その線を10枚の紙で折り返して写した形になる。

切る線の角度を変えると星になる。五角の対称軸に垂直な切り方では、隣り合う線がつながって正五角形になる。

一刀切りの問題は1721年の『和国知恵較』にも見られる。ベッツィー・ロスが一刀で五芒星を切ったという話は、言い伝えとして伝わる。

切り線の角度

折る → 切る → 開く折り返しで計算する輪郭

角度は切り線に垂直な向きと水平線のなす角。4回折ったあと、「進める」で切り、次に開く。

詳しく

一般の図形に対する定理はドメイン（Demaine）・ドメイン・ルービウ（Lubiw）（1999）。輪郭の辺を内側へ平行に動かし、その頂点の軌跡を使う方法と、円を配置する方法がある。

歴史資料にはフーディーニ（Houdini）の Paper Magic（1922）、ロー（Loe）の Paper Capers（1955）、ガードナー（Gardner）の Scientific American（1960）がある。ベッツィー・ロスの話は1873年の Harper's 記事に見られる。

図は五角の対称性による作図を計算する。角幅 π/5 の扇形上で n·p=d を切り線とし、鏡映して輪郭を得る。

三浦折りは面の形を保って開く

三浦折りは、平行四辺形を繰り返す折り方である。向かい合う両端を引くと、全体が一度に開く。どの面も平らなまま動く。

各頂点には4本の折り線が集まる。山3本・谷1本、またはその逆になる。角の1つおきの和も180°で、5章の前川と川崎の条件を満たす。

α + (180°−α) = 180°
|3−1| = 2

三浦公亮によるこの構造は、人工衛星で宇宙に開いた。1995年打ち上げの Space Flyer Unit の実験で使われた。

ドラッグで視点を回す赤は山、青は谷

折り角 θ

辺長 a=b=1 の4×4面。図の内側を横へドラッグすると回転する。上下のページ移動は図の外から操作できる。

詳しく

ジグザグの折り線は全部山か全部谷になる。直線の折り線は山谷が交互になる。図では、内部頂点の山谷が分かるように色を付けた。

平行四辺形の辺を a,b、鋭角を α、折りのパラメータを θ とする。X=a cosθ、H=a sinθ、S=b cosα/cosθ、Y=√(b²−S²)。頂点は (iX+(j mod 2)S, jY, (i mod 2)H)。この閉じた式で、すべての面の辺長と対角線の長さを保つ。

出典：三浦, Tech Report 618（1985）、JAXA “2D Array”、Wikipedia “Miura fold”。実験の打ち上げ日は1995年3月18日。

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折り方から数学と設計が育った

紙を折って図形を作る実践から、作図の理論と平らに折れる条件が整理された。さらに、折り目を逆に設計して形を作る方法へ広がっている。

1721

『和国知恵較』に一刀切りの問題

1893

ロウ（Row）『Geometric Exercises in Paper Folding』

1936

ベロッホが折り紙による3次方程式の解法

1966

村田の論文に頂点の条件

1980

阿部の角の三等分

1985

三浦折りの技術報告

1986

メッサーの立方根の作図

1989

第1回折り紙の科学国際会議

1996

バーンとヘイズが全体の判定の NP 困難性

1999

芳賀『Origamics Part 1』／ドメイン・ドメイン・ルービウの一刀切り

2002

ギャリバンが同じ方向に12回折る

2017

ドメイン・タチ（Tachi）の Origamizer。どの多面体も折れる実用的な方法

詳しく — 出典一覧

三谷純「折り紙の中の数学」日本数学会『数学通信』。本文 PDF
芳賀, Origamics Part 1（1999）。オクムラ, Forum Geometricorum 14（2014）。
基本操作：Huzita–Hatori axioms、アルペリン & ラング（2009）。ジュスタン・藤田・羽鳥の発表年や再発見年は資料によって記載が分かれるため、本文では年代と順序で示した。
作図：Mathematics of paper folding、ハル, American Mathematical Monthly 118(4)（2011）、メッサー, Crux Mathematicorum 12(10), 284–285（1986）。Brewer & Hinojosa, GEAR（2021）。
頂点：Kawasaki's theorem、Maekawa's theorem。複数の人が独立に得た結果であり、呼び名も異なる。川崎自身は「伏見の定理」と呼んだ。
全体：バーン & ヘイズ, SODA（1996）。アキタヤら（2016）。アーキンら “When can you fold a map?”。モーガン, MIT 修士論文（2012）。Map folding。
回数：Guinness World Records。
設計：ラング, Origami Design Secrets。ドメイン & タチ, Origamizer（2017）。
一刀切り：Fold-and-cut theorem、ドメイン・ドメイン・ルービウ, SODA（1999）、ドメイン（2010）。ベッツィー・ロスの五芒星の話は言い伝えとして扱った。
三浦折り：三浦, Tech Report 618, ISAS（1985）。JAXA “2D Array”。Miura fold、Space Flyer Unit。
展開図と数値検査：同梱の鶴の最終形データ、150作品の定理検査結果。元の座標から図と角度を計算した。