リヴァイア算技術ノート

この作品の海と体が、どの式・どの値で動いているか。
解説ページ「リヴァイア算」は高校生にも読めるように書いています。こちらはその裏側で、実際に動いているコードと数値をそのまま載せたものです。作った人：アトリエファクトリー（aTELiER FACTORY）。

作品と解説：/3d/creature/leviathan/
実行環境：ブラウザ（WebGL2 / three.js）。サーバ側の計算はありません
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0. 全体の作り

page/
  index.html   作品＋解説（1 つの住所。中で画面を切り替える）
  sea.js       海・空・泡・しぶき・描画の中心（約 2,800 行）
  creature.js  体の形（節・太さ・とげ・ひれ）
  rig.js       書き出した体（glb）に骨を貼る
  route.js     体が通る道（見せ場の並び）
  swim.js      うねり・向き・足し込み
  muscle.js    節どうしのつながり（なめらかさ）
  glsl.js      ノイズと空の色（シェーダから読む）
web/
  lev_body.glb 体のメッシュ（約 20MB）

計算はすべてブラウザの中。1 コマごとに「道の上の位置 → 体の節 → 水面の変形 → 泡としぶき → 描画」の順で進みます。

1. 海の形

1-1. 波は 8 本の足し算

作品の海は、向き・高さ・波長の違う sin 波 8 本の重ね合わせです。値はこれだけです（sea.js の WAVES）。

#	向き x	向き z	高さ A (m)	波長 λ (m)	とがり
1	1.00	0.10	1.144	31.7	0.42
2	0.90	−0.42	0.638	16.7	0.46
3	1.00	0.52	0.361	9.2	0.51
4	0.78	−0.62	0.194	5.1	0.56
5	1.00	0.20	0.106	2.7	0.72
6	0.58	0.82	0.055	1.5	0.74
7	1.00	−0.30	0.026	0.8	0.74
8	0.40	0.92	0.012	0.4	0.75

高さも波長も、地球の嵐の海を 1/5 に縮めた値です（体が 300m なので、そのままだと波が何十メートルにもなってしまう）。重力は縮めず 9.81 m/s² のまま使っています。

1-2. 波の速さ

深い海の波の位相速度は波長だけで決まります。

ω = √(g k),  k = 2π / λ,  c = ω / k = √(g / k)

31.7m の波は約 7.0 m/秒、0.4m の波は約 0.8 m/秒。長い波ほど速いので、時間が経つと 8 本の山の位置関係が変わり続け、同じ形が戻ってきません。

1-3. とがった山：ガーストナー波

sin の足し算だけでは、山も谷も同じなだらかさになります。本物の海は山がとがり、谷がなだらかです。そこで水の粒を、上下だけでなく進む向きにも動かします（ガーストナー波／トロコイド波）。

// 1 本ぶん（Q はとがりの強さ、表の「とがり」）
float phase = k * dot(dir, xz) - omega * t;
y  += A * cos(phase);
xz += dir * (Q * A * sin(phase));   // ← これで山がとがる

1-4. 白波は「面積がつぶれた所」

ガーストナー波では、山の頂上で水面の面積がつぶれます。つぶれ具合はヤコビアン（座標を変えたときの面積の伸び縮み）で測れます。

J = 1 − Σ Qᵢ Aᵢ kᵢ cos(phaseᵢ)
J が 0 に近い ＝ 面積がつぶれている ＝ そこが白波

作品では J が小さいほど白い泡を濃く乗せています。白波の位置を手で描いてはいません。

2. 空・雨・かすみ

2-1. 雲

同じノイズを大きさ半分・濃さ 1/1.35 倍にして 8 回重ねます（glsl.js の fbm）。

value = Σ (1/1.35)ⁿ · noise(2ⁿ · p)

濃さの減り方 g と大きさの比 2 から、ハースト指数 H = log(1/g) / log 2 ≒ 0.43 になります。自然の雲で測られているフラクタル次元（Lovejoy 1982、約 1.35）に合わせた値です。

2-2. 雨

雨粒は毎秒 7m で落ち、風は毎秒 17m。足し算（ベクトルの合成）で斜めに降ります。

tanθ = 17 / 7  →  θ ≒ 68°（鉛直から）

2-3. かすみ（遠くほど暗い）

光は濁った水・空気の中を進むと、進んだ長さに対して指数関数的に弱まります（ランベルト・ベールの法則）。

T = exp( −(0.012 d + 0.0069 D) )
d：横に進んだ距離(m)   D：水の深さ(m)

水では約 100m ごとに半分になります（0.0069 × 100 ≒ 0.69 ＝ ln 2）。

3. 体

3-1. 寸法

const SEG = 240;          // 節の数
const STEP = 1.25;        // 節の間隔 (m)
// 全長 = 240 × 1.25 = 300 m

太さは頭から尾へ、次の式で決めています（creature.js）。

const radiusAt = i => {
  const s = i / SEG;
  return 5.2 * Math.pow(Math.sin(Math.PI * Math.pow(Math.min(s + 0.030, 1), 0.42)), 0.62);
};

いちばん太い所で半径 5.2m（直径 10.4m）。0.42 乗にしてあるので太い所が前寄りになり、尾へ向かってゆっくり細くなります。

3-2. 体の向き（背中がどちらを向くか）

節は「前の節の向きを受け取って、道が曲がったぶんだけ回す」形で向きを決めます（平行移動の枠＝Bishop frame に近い考え方）。角度は範囲のない数として持ち続け、毎回いちばん近い向きを選ぶので、360° をまたぐ瞬間に裏返りません。

4. 泳ぎ

4-1. うねりと速さの関係

体をうねらせて進む生き物（ウナギ型）の速さは、次の関係で決まります。

U = f · λ · slip
f：ひとふりの回数(1/秒)   λ：体を伝わる波の波長(m)   slip：すべり(0〜1)

解説の最後のページで泳いでいる個体は、λ = 195m、slip = 0.75、U = 24 m/秒 とし、そこからひとふり 6.1 秒を計算しています（数字を決め打ちしていません）。

const om = 2 * Math.PI * (U / SLIP) / LAM;   // 1.03 rad/s → 周期 6.1 秒
const off = AMP * Math.sin(2 * Math.PI * back / LAM - om * t);

振れ幅 AMP = 14m（左右に ±14m ＝体長の約 9%）。本物のウナギ類の尾の振れ幅もおよそ体長の 1 割です。

4-2. 24 m/秒という見積もりの根拠

体が大きくなるほど、ひとふりは遅くなります。出せる力は筋肉の体積（体長の 3 乗）に、水の抵抗で失う力は（断面積 × 速さの 3 乗）＝（体長の 2 乗 × v³）に比例するので、

L³ ∝ L² v³   →   v ∝ L^(1/3)

体長 30m・全力 10 m/秒のシロナガスクジラを基準にすると、300m の体では 10 × 10^(1/3) ≒ 21〜24 m/秒。作品の見せ場で出る最大 150 m/秒は、この見積もりをはるかに超えた「演出」です（下の「9. 物理から外したところ」を参照）。

5. 水との作用

5-1. 浮く・沈む

F = ρ V g        （アルキメデスの原理）
a = ( s − 1 ) g   s：その節が水につかっている割合（0〜1）

体の密度は水と同じ（ρ体 = 1）としています。全部沈めば浮きも沈みもしない、水から出た分だけ重さが勝って落ちる、という形です。

5-2. 水の抵抗

速さを「体に沿う向き」と「横切る向き」に分け、それぞれ 2 乗で効かせます。横向きは 25 倍効きます。細長い体が水を横に押すのは、とても大変だからです。

v  = v∥ + v⊥
a∥ = −k v∥²
a⊥ = −25 k v⊥²      k ≒ 0.010（太さの半径＋1m から決めている）

この差があるおかげで、体は「頭が通った跡」をなぞるように進みます。

5-3. 顔を水に戻す

道の山が水面を越えると頭が空中に出ます。本物の生き物なら首が疲れるので、ただ落ちるより速く下げます。

Δy = −½ A u²      A = 5g ≒ 49 m/s²     u：鼻先が水から出てからの秒数

戻すのは鼻先が水面下 10m に届くまで。そこから元の道へ 3 次曲線でなめらかにつなぎます。

5-4. 水面を割る

体が水に入るとき、穴を開けるのは先頭だけ。後ろの節は開いた穴を通ります。

入るとき：先頭 π r²、続く体 π ( r² − r穴² )
出るとき：持ち上がった水の膜がちぎれて  y = v₀ t − ½ g t²

5-5. 押しのけられた水（マリンスノーの流れ）

1m 進むごとに押しのける水は π r²。その水は体の横へ回り込みます。広がりの輪の半径は、

r(d) = √(g d) × （後ろへの距離） ÷ v

6. 泡（キャビテーション）

速く動く物のまわりでは圧力が下がり、常温のまま水が沸きます。起きるかどうかはキャビテーション数 σ で決まります。

const RHO = 1025, P_ATM = 101325, P_VAP = 2300;   // 海水の密度 / 大気圧 / 20℃の飽和蒸気圧
const cavSigma = (depth, v) => (P_ATM + RHO * 9.81 * depth - P_VAP) / Math.max(0.5 * RHO * v * v, 1);

σ がその場所ごとのしきい値 σᵢ より小さいと沸きます。作品では、首のすぐ後ろ（頭から 0〜12m）で σᵢ = 0.6、それより後ろで 0.3、とげの先で 1.0。とげの先がいちばん沸きやすい設定です。

泡は 3 つの入れ物に分けて持っています。

const CAV_P = 40000;    // 圧力で沸く泡（短命・毎コマ数千個）
const CAV_AIR = 20000;  // 水面から巻き込んだ空気（5〜15 秒残る）
const CAV_BRK = 30000;  // 砕けた波の泡

7. 光

7-1. 水面の反射（フレネル）

正確なフレネルの式ではなく、シュリック近似を使っています。

float fres = 0.022 + 0.978 * pow(1.0 - clamp(dot(N, V), 0.0, 1.0), 5.0);

0.022 は水の垂直入射での反射率（屈折率 1.33 から求まる値）。浅い角度ほど 1 に近づき、遠くの水面が空を映します。

7-2. 濡れた皮膚

水から出た所は、しばらく濡れて見えます。

戻る光 = 入った光 × 0.78         （濡れると暗くなる）
滴る水の反射 = 1 − (出てからの秒) ÷ 3     （3 秒で乾く）

8. 解説の 16 項目 ↔ 実装

#	解説での言い方	実際に使っている式	場所
01	波は足し算	sin 8 本の重ね合わせ＋ガーストナー	`sea.js WAVES`
02	遠くほど暗い	T = exp(−(0.012d + 0.0069D))	`sea.js` かすみ
03	道も波の足し算	周期の違う sin の合成で道を作る	`route.js`
04	コークスクリュー	進む向きの回りに回す（回転行列）	`route.js MOVE_HELIX`
05	高さに天井をつける	y′ = B + K(1 − e^(−(y−B)/K))	`route.js`
06	曲がりの急さ	R = h / (2 sin(θ/2))（正弦定理）	`swim.js`
07	顔を水に戻す	Δy = −½ A u²、A = 5g	`route.js`
08	浮く・沈む	a = (s − 1) g	`swim.js`
09	水の抵抗	a∥ = −k v∥²、a⊥ = −25k v⊥²	`swim.js`
10	体の向き	a = v²/R、cos τ = 2g ÷ 0.6a	`swim.js`
11	速さが水を沸かす	σ = (p₀ + ρgh − pᵥ) ÷ ½ρv²	`sea.js cavSigma`
12	水面を割る	π r² と π(r² − r穴²)、放物運動	`sea.js emitAirSheet`
13	体が濡れる	0.78 倍＋3 秒で乾く	`rig.js`
14	押しのけられた水	π r²、√(g d) の広がり	`sea.js updateSnow`
15	空の表現	fbm（半分の大きさ・1/1.35 の濃さ）	`glsl.js NOISE`
16	大学の知識	ヤコビアン・ポテンシャル流・フレネル・乱流	解説ページ内

9. 物理から外したところ（正直な一覧）

作品は「高校の式で動く」ことを大事にしていますが、そのままでは成り立たない所もあります。隠さずに書きます。

海の大きさを 1/5 に縮めた。 重力は 9.81 のまま。300m の体に本物の嵐の波を合わせると、波高が数十メートルになり、地球では起こりえない海になるため
体は力学で解いていない。 先に道を決め、その上に体を乗せています（?knobs=1 で見られる「本物の物理だけで泳ぐ」は実験用）。抵抗・浮力・向きは、その道の上での見え方を決めるために使っています
抗力はレイノルズ数を使っていない。 係数 k と「横は 25 倍」で近似しています
向きは力のつり合いではなく角度で決めている（cos τ = 2g ÷ 0.6a）。重力を強め、遠心力を弱めた値です
泡の数と寿命は見た目で決めた。 沸く条件（σ）は物理ですが、1 コマに出す個数や消えるまでの秒数は、見え方から選んだ値です
光は近似。 フレネルはシュリック近似、体の中の散乱（SSS）も簡単な近似です
最大秒速 150m は演出。 体長からの見積もり（4-2）は 21〜24 m/秒。水中の乗り物で最速の部類（泡に包まれて進む魚雷）でも約 100 m/秒です

10. 動く見本（1 ファイルで動きます）

→ 動く見本を開く

解説の 01〜16 を全部入れた、1 つのファイルです。ブラウザで開けば動きます。コードはそのファイルの中に全部あり、【01】〜【16】 の番号で、どこがどの項目か分かるようにしてあります。

番号	見本の中でやっていること
01	8 本のガーストナー波（値は 1-1 の表と同じ）
02	深さで暗くなる（e^(−0.0069 D)）と、遠くのかすみ
03	道は作品のものを 1 本そのまま（`page/route.js` の見せ場）。深さ 68m の闇から上がって、窓の前を横切り、また潜る
04	体を進む向きのまわりにねじる（つまみ「ねじり」）
05	道が水面より上へ行かないように、指数で頭打ちにする
06	3 点を通る円（外接円）から、曲がりの半径を出す
07	頭が水から出たら 5g で引き戻す
08	節ごとの沈み具合 s から a = (s − 1) g
09	抵抗 −k v²（上下は 25 倍）。進む速さも抵抗とつり合う所に落ち着く
10	曲がりの半径から傾きを出して、体を倒す
11	キャビテーション数 σ から泡を出す
12	水面をまたいだ所から、しぶきが放物運動で飛ぶ
13	水から出た所は 0.78 倍に暗くなり、3 秒で戻る
14	体のまわりの粒が、押しのけられて外へ流れる
15	空の雲（半分の大きさ・1/1.35 の濃さで 6 回重ねる）
16	ヤコビアンがつぶれた所を白波にする

動かし方：ドラッグで回す／ホイールで寄る／R でもとの追いかけに戻す。つまみは 4 つ（進む速さ・波の高さ・うねりの振れ幅・ねじり）。
画面の左上に、いま計算している数字（ひとふりの秒数・沈み具合・σ・曲がりの半径・傾き）が出ます。

自分のパソコンで動かすとき：ファイルを保存して、先頭にある読み込み先の 1 行をこれに替えてください。

<script type="importmap">
{ "imports": { "three": "https://cdn.jsdelivr.net/npm/three@0.160.0/build/three.module.js",
               "three/addons/": "https://cdn.jsdelivr.net/npm/three@0.160.0/examples/jsm/" } }
</script>

入っていないもの：体の見た目（うろこ・とげ・目・口の中）、書き出したメッシュ（約 20MB）、雨、マリンスノーの細かい作り。体はただの筒です。この見本は仕組みを読むためのものです。

11. 使ってよい条件

この技術ノートの文章と、動く見本のコードは CC0 1.0（パブリックドメイン）です。
誰でも、何にでも、名前を書かずに使えます。商売に使っても構いません。連絡も要りません。

作品「リヴァイアサン」の形・見た目・書き出したデータ（.glb）・写真についても、権利を主張しません。使いたい人は使ってください。

ひとつだけ、はっきり書いておきます。この作品と、ここに書いた方法を、作った本人（アトリエファクトリー）が今後も自由に使えることを前提としています。誰かが同じ内容で権利を主張して、こちらの利用を止めることはできません。この文書は日付とともに公開されており、それ自体が「先に世に出ていた」という記録になります。

12. 出どころ

ガーストナー波：F. J. Gerstner (1802)。海面表現としては J. Tessendorf の一連の資料が有名
シュリック近似：C. Schlick (1994)
雲のフラクタル次元 1.35：S. Lovejoy (1982)
乱れの −5/3 則：A. N. Kolmogorov (1941)
浮力：アルキメデスの原理
リヴァイアサン：旧約聖書「ヨブ記」41 章。寸法の記述はない。「300 パラサング」はタルムードの記述

制作：アトリエファクトリー（aTELiER FACTORY）

リヴァイア算 技術ノート