水の波は、高さが波長にくらべて小さいうちは重ね合わせが成り立つ（足し算でよい）。大きくなると成り立たなくなり、山がとがって、やがて砕ける。

そこでこの作品は、8 本の sin を足した上で、水の粒を進行方向にも動かして山をとがらせている（トロコイド／ガーストナー波）。足し算だけでは出ない「本物の海の形」はここから来る。

関連用語：重ね合わせの原理、うなり、位相差、フーリエ級数、トロコイド波

2つは同じ光を見ていないから。横（距離）は、見ている物から目までまっすぐ届く光。水に吸われる分に加えて、水の粒で横に散らされて外れた分も失う。縦（深さ）は、上から降ってくる日の光。散らされた光も、だいたい下へ進み続けるので、まだ届く。だから縦のほうが減りにくい。

本物の海でも、まっすぐ届く光の減り方（ビーム減衰）は、降ってくる光の減り方（拡散減衰）より大きい。ただし作品の0.012と0.0069は、見た目で決めた値で、本物の海で測った値ではない。

関連用語：ランベルト・ベールの法則、減衰係数、光学的厚さ、対数スケール

水面も、体が進む道も、長さの違う sin を足したもの。同じ作り方をしているので、海のうねりと体の動きが同じ呼吸になる。

周期の違う波を足すと、繰り返しが戻ってくるまでがとても長くなる（最小公倍数が大きい）。だから見ていても同じ動きに見えない。

関連用語：周期と振幅、位相、合成波、リサジュー図形、うねり

u は、進む向きに直角で、水平な向き。進む向きが (a, b, c) なら、u は (−c, 0, a) の向き。進む向きとの内積が 0 になるので、直角だとわかる。

w は、進む向きにも u にも直角な向き。3つ目の向きを作るこの計算は「外積」と呼ばれ、大学で習う。

どちらも長さを 1 にそろえてから使う。そうすると、半径 r の円がそのまま r の大きさで描ける。

関連用語：回転行列、外積、法線ベクトル、フレネ標構

ザトウクジラは、魚の群れの下から上へらせんを描いて泳ぎながら、泡をはき続ける。泡は筒のような「網」になり、魚を真ん中に集める。そこへ下から口を開けて突っこむ。

ウミガメ、サメ、ペンギン、クジラの仲間も、同じ速さで何周もぐるぐる回ることがわかっている（東京大学などの研究、2021年）。えさ探し、求愛、道さがし、地球の磁場を測る、などが考えられているが、はっきりした理由はまだわかっていない。

ただしウナギやウミヘビのような細長い生き物は、体を左右にくねらせて泳ぐ。道のまわりをずっと回り続ける泳ぎ方は、作品のための工夫。

押しつぶしたあとの高さ y′ を、もとの高さ y で微分すると、傾きは e^−(y−B)/K。基準の面（y = B）では e⁰ = 1 になる。基準より下は押しつぶさないので、傾きはもともと 1。つなぎ目の左右で傾きが同じなので、道はなめらかにつながる。

上限でただ切り落とすと、傾きが 1 からいきなり 0 になる。そこで道が折れ曲がる。

上へ行くほど傾きは 0 に近づく。高い山ほど、ほんの少ししか上がらなくなる。

関連用語：漸近線、飽和、指数減衰、ソフトクリップ

3点を A, B, C とし、AB = BC = h（5m）。B で向きが θ だけ変わると、三角形の角 B は 180° − θ。二等辺三角形なので、角 A と角 C はどちらも θ/2。

正弦定理 AB / sin C = 2R に入れると、h / sin(θ/2) = 2R。だから R = h / (2 sin(θ/2))。

h = 5m で R が 8m 以上になるのは、θ が約 36° 以下のとき。

関連用語：曲率、曲率半径、正弦定理、円周角の定理

長い体の生き物は、首や頭をとても速く動かせる。ヘビが頭を突き出すときの加速度は、研究で平均 約 19g（190 m/s²）、速いもので 28g。体の大半が水の中にあれば、水を押して首を動かせる。

5g は大きく見えるが、この体は秒速 約90m で泳ぐ。a = v²/R から、秒速 90m で 5g は半径 約165m のゆるいカーブで下を向くのと同じ。作品の道のふだんの曲がりは、真ん中の値で 6〜16g。下へ戻す 5g は、ふだんの曲がりより小さい。

全身が空中に出ていたら、押すものが無いので重力 g でしか落ちない。

関連用語：自由落下、放物運動、初速度、3 次曲線でのなめらかな接続

潜る角度は 27° まで（前へ 1m 進むあいだに 0.5m 下がる。tan 27° ≒ 0.5）。体が遅い所では、式どおりだと V 字に刺さって首が折れるため。

元の道へは 3 次の曲線で戻す。つなぎ目で高さも傾きもそろえるので、道が折れない。

100本の道で、1周に水の上にいる時間の合計は 357 秒 → 169 秒になった。

節の太さを半径 r の円とみて、水面の高さを h、節の真ん中の高さを y とすると、s = ( h − y + r ) ÷ 2r（0 より小さければ 0、1 より大きければ 1）。

本当は円の断面なので、つかった面積の割合は直線にはならない。作品では、高さの割合で近くしている。

関連用語：浮力、平均密度、排水量、復元力、メタセンター

ヘビやウナギが体を波打たせて前へ進めるのも、この差があるから。体を横へ振って水を押すと、横切る向きの大きな抵抗が、体を斜め前へ押し返す。沿う向きの抵抗は小さいので、前へはすべるように進める。

抵抗は F = ½ ρ C A v²。横切る向きは面積 A も係数 C も大きい。太さ 10m の体で計算すると、横切る向きと沿う向きで約 88 倍ちがう。作品では 25 倍にしている。

関連用語：抗力、抗力係数、レイノルズ数、法線成分と接線成分

重力は、傾き τ を 2g sin τ の強さで戻す。遠心力は、体の縦を曲がりの向きにそろえようとして 0.6a · ½ sin 2τ の強さで傾ける（sin 2τ なので、内側にそろえても外側にそろえても落ち着く）。

つり合うのは 2g sin τ = 0.6a · ½ sin 2τ = 0.6a sin τ cos τ のとき。両辺を sin τ で割ると cos τ = 2g ÷ 0.6a。

関連用語：向心加速度、見かけの力（遠心力）、バンク角、角速度

向きを角度で表すと、同じ向きに 0°、360°、720° … といくつも名前がつく。「いちばん近い名前」を毎回えらぶと、差が 180° を超えたとたんに反対回りの名前のほうが近くなり、体が急に逆へ回る。

そこで、合わせたい向きの角 a を測ったあと a + round((一個前の角 − a) ÷ 2π) × 2π とする。これで、いつも一個前の続きの数になる。傾きそのものも範囲を持たない数のまま足していき、角度として使うのは最後に背中の向きを作るときだけ。

力の足し方も差をそのまま使わず、重力は sin(差)、遠心力は sin(2 × 差) ÷ 2 にする。向きの差だけで決まるので、体が何回転しても壊れない。

後ろの節は、前の節の「上」を、進む向きが変わったぶんだけ回して受け取るだけ。こうすると、道がねじれていても取り合いが起きない。前は毎回「世界の上」へ少しずつ寄せ戻していて、道がねじれると裏返った。

σ = σᵢ になる深さ h = ( σᵢ · ½ρv² − p₀ + pᵥ ) ÷ ρg より浅いと沸く。

秒速 50m なら、体は深さ約 28m、とげの先は約 118m まで。秒速 86m なら、体は約 103m、とげの先は約 367m まで沸く。

沸いた水蒸気の泡は、圧力が戻ると 0.06〜0.2 秒でつぶれる。作品では、泡の 8% を「溶けていた空気の泡」として、5〜12 秒残してゆっくり浮かせている。

関連用語：キャビテーション、飽和蒸気圧、ベルヌーイの定理、キャビテーション数

体が水に入るとき、水面に穴を開けるのは先頭だけ。後ろの節は、すでに開いた穴を通る。だから入った瞬間に押しのける量は π r²、続く節は π(r² − 穴²) になる。

出るときは、体にくっついて持ち上がった水の膜がちぎれて、放物運動で飛ぶ。

関連用語：円の面積、放物運動、スプラッシュクラウン、表面張力

研究では、乾いたときに光の 0.3〜0.6 を返す物がいちばん変わり、その値が 0.1 ほど下がる。砂なら 0.35 から 0.25 くらい（約 0.7 倍）。

手の皮膚のようになめらかな所は、濡れてもほとんど暗くならない。かわりに、水の膜が鏡になって光る。

水の膜があると、光は膜の中で何度も散らばり、外へ出るまでに吸われる回数が増える。だから戻る光が減る。

関連用語：フレネルの式、鏡面反射と拡散反射、屈折率、ブリュースター角

見える大きさは、本当の大きさを距離で割ったものに比例する（相似）。3mm の粒は、窓から 26.5m 先で 0.2 画素。小さすぎて写らない。

そこで作品では、本物の海にある大きいかたまり（1〜5cm、1 立方 m に 0.05 個）だけを 1,900 個置いた。粒は波といっしょに円を描いて揺れ、1 日に 130m の速さで沈む。

粒は水のゆらぎでも少しずつ動く。そのため、体が通ってできたすじや空いた所は、時間がたつと混ざって、また一様な散らばりに戻る。

グラフの f は画面の大きさで決まる数。3mm が 26.5m 先で 0.2 画素になるので f ≒ 1,770。

関連用語：排除体積、相似比と体積比、連続の式、流線

乱流は、大きな渦から小さな渦へエネルギーが渡り続けるので、これという大きさを持たない（コルモゴロフの −5/3 則）。雲や雨の縁の複雑さを測ると、直線の 1 と面の 2 の間、およそ 1.35 次元になる（Lovejoy 1982、2007 年に再確認）。大きさ半分・濃さ半分で重ねる作り方は、この「倍率を変えても同じ」という性質をそのまま真似ている。

空へ貼るときは、見ている向きを上を向いた成分で割り、頭の上の平らな板に映している。だから水平線に近いほど模様が横に伸びる。

関連用語：等比数列、自己相似、フラクタル次元、1/f ゆらぎ、コルモゴロフの −5/3 則

強さは波と同じ突風の値から決める。（突風 − 0.7）÷ 0.8 を 0.15〜1 に収めたものが、降らせる粒の数の倍率になる。風が強まると、傾きが寝て粒も増える。空に風速計は映らないので、この 2 つが風の変化そのものに見える。

雨は奥行きのある箱の中に降らせる（作品は 200m×22m×132m に毎秒 5,000 粒）。だから遠い雨ほど短く、暗く見える。

どれも人の名字で、同時に、その人が見つけた仕組みの名前でもある。

ヤコビ（カール・ヤコビ／ドイツ／1804〜1851）は、座標を別の座標に移したとき面積や体積がどれだけ伸び縮みするかを表す行列式を作った。その値がヤコビアン。波が砕ける所では、この値が 0 になる。

フレネル（オーギュスタン・フレネル／フランス／1788〜1827）は、光を波として扱い、境目で返る光の割合を出す式を作った。灯台のレンズにも名前が残っている。

コルモゴロフ（アンドレイ・コルモゴロフ／ソ連／1903〜1987）は確率の数学を作った人。1941 年に、乱流の渦の大きさと速さの関係（1/3 乗の法則）を出した。

ランベルト（ヨハン・ランベルト／1728〜1777）とベール（アウグスト・ベール／1825〜1863）も人の名字。光が物の中を進むほど弱くなる割合を表す。

関連用語：ヤコビアン、ポテンシャル流、フレネルの式、乱流の統計、ナビエ–ストークス方程式

泡が白いのは、小さな空気の玉が集まっているから。空気と水の境目が何百枚も重なり、どの色の光も同じように跳ね返すので白く見える。

作品では、水面のマス目 1 つぶんの面積の縮み方 J を頂点ごとに計算し、J が 1.02 から −0.05 へ近づくほど泡を強くする。そこへ体のまわりの泡・通った跡・すじを足す。

式：水の粒は x = x₀ − A sin(k x₀ − ωt)、y = A cos(k x₀ − ωt) と円を描く（トロコイド）。ω = √(gk)。のっぺりさせない工夫：でたらめな雑音で泡のふちを崩し、強さは 0.93 で止めて真っ白に振り切らせない。色は灰青 (0.46, 0.55, 0.60) と白 (0.97, 0.99, 1.00) の間で決め、泡の下の水も少し明るくする（白い水は光を散らすから）。この項目の模型は、同じ考えの簡単版で J が 0.30 → 0 に近づくほど白を混ぜている。

作品のマリンスノーは、いちばん近い体の節を探し、その節の太さ a と速さ U を使って、体の軸に直角な面の中で u = (a² / r²)(2(U · r̂) r̂ − U) を計算している。これが円柱のまわりの流れ（双極子）そのもの。

そこへ軸にそった引きずり（体に近いほど強く、exp(−(r − a) / a) で弱まる）を足し、体の中に入ってしまった粒は表面まで押し出す。粒は水の速さに 1 秒あたり 5 の割合で追いつく。

流れの筋は ψ = U y (1 − a² / r²)。体の表面にそった速さは 2U sinθ で、真正面と真後ろは 0（よどみ点）。体は太さが場所ごとに違うので、節ごとの a を使う。右の模型は、同じ式をまっすぐな筒 1 本で見せたもの。

空気から水へ入るときは全反射は起きない。どの角度でも少しは中へ入る。すれすれに近づくほど返る割合が 1 に近づくだけ。全反射は逆向き（水から空気）のときで、法線から約 48.8 度より寝た向き（水面からは約 41.2 度より浅い向き）で起きる。

式はマクスウェルの方程式の境界条件から出る。光の揺れの向きが 2 通り（s と p）あって返り方が違い、その平均が目に見える反射になる。

p だけが 0 になる角があり、ブリュースター角という。水では法線から 53.1 度（水面からは 36.9 度）。ここで返った光は揺れの向きがそろうので、偏光サングラスで水面の照り返しだけを消せる。

式の中身：r_s = (cosθⁱ − n cosθ_t) / (cosθⁱ + n cosθ_t)、r_p = (cosθ_t − n cosθⁱ) / (cosθ_t + n cosθⁱ)。θⁱ は水面に垂直な線から測った入る光の角、θ_t は中へ進む光の角。

作品では、この式をそのまま解かず、近い形の簡単な式 0.02 + 0.98(1 − cos)⁵（シュリックの近似）を使っている。右の模型は本物のフレネルの式で描いている。

フラクタルは 2 種類ある。決まった形をくり返すもの（コッホ曲線・シダの葉）と、形はちがうのに散らばり方が同じもの（雲・海岸線・山の稜線）。後者をでたらめフラクタルという。空は後者で、拡大しても同じ形は出てこない。出てくるのは同じ荒れ方。

縦と横で縮み方もちがう（自己アフィン）。横を 2 倍にのばすと、濃さは 2^H 倍。作品は H = 1、乱流どおりなら H = 1/3。本物は無限に段が続くが、作品は9 段だけなので、500 倍ほどの範囲でだけフラクタル。

乱流は、大きな渦が小さな渦に分かれ続けるだけなのでこれという大きさを持たない。渦の速さの差は大きさの 1/3 乗 δv(ℓ) ∝ ℓ^1/3、エネルギーの分け前は E(k) ∝ k^−5/3（コルモゴロフ 1941）。雲や雨の縁を測ると約 1.35 次元（Lovejoy 1982）。