式から現象を説明する
- 1ラグランジアンを作るL＝T − U＝½ m x² − U(x)……
- 2道すじに沿ってLを積分し、作用Sを求めるS＝∫t₁t₂ L(x, x) dt……
- 3真上に投げた球で、道すじのずらし方と作用の変化を見るx(t)→x(t) ＋ ε η(t)，η(t₁) ＝ η(t₂) ＝ 0……
- 4Lを展開し、作用の1次の変化を求めるδS＝ε ∫t₁t₂(∂L／∂x · η＋ ∂L∂x · η)dt……
- 目的：どんなηについても成り立つ条件を出すため、積分の中をηでくくりたい。ηを含む項が邪魔になる。
- 5ηを含む項を部分積分し、ηでくくるδS＝ε ∫t₁t₂[∂L／∂x− ddt(∂L／∂x)]η dt……
- 6どのずらし方でもδS ＝ 0になる条件を求めるddt (∂L∂x)＝∂L∂x……
- 7停留条件からニュートンの運動方程式を導くm x＝−dUdx……
- 8ばねで作用の2次の変化を計算するS(A) − S₀＝(m A² τ4)[(πτ)² − km]……
- 9角度で振り子の運動を表すL＝½ m ℓ² θ² ＋ m g ℓ cosθ→θ ＝ −(gℓ) sinθ……
- 発展：ほかの運動への応用
- 10二重振り子にも使えるL(θ₁, θ₂, θ₁, θ₂)→方程式 2 本……
- 11ハミルトニアンに書きかえるH ＝ p x − L，x ＝ ∂H∂p，p ＝ −∂H∂x……
- 12角度と一般化運動量の平面に描くH(θ, p)＝一定……
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